C'est-à-dire du double do leur produit

85. Dans le cas particulier^ OÙ Ton ac = a, rf = ô, cette formule devient

{a — b){a — 0) = aa-'ab + bb^ha ;

d'ailleurs pour effectuer le second membre on peut faire la somme aa + bb et en retrancher la somme ab -{-ba; en d^autres termes, on a

(a — b){a — b)z=aa-\-bb^ {ab + ba],

ou encore, puisque (a — b) {a — 6), aa, bb sont les carrés de a — b, a, b et que les nombres ab^ ba sont égaux,

{a - by = a» + 6» — 2ab.

En d'autres termes, le carré de la différence entre deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres, diminuée de leur double produit.

86. Soit enfin à multiplier la somme de deux nombres a, b par la différence des deux nombres c, d. Pour multiplier la somme a-^b par le nombre c — rf, il suffit d'en multiplier les deux parties par r — d et d'ajouter les produits ainsi obtenus, ce qui donne

a(c — rf) + 6 (c — rf);

mais les deux produits a(€ — rf), b{c — d) sont respectivement égaux k ac — ad, bc — bd, leur somme est donc égale à

[ac — ad) + {bc — bd) = ac — ad-^-bc — bd : on a

(a + 6) (c — d) =1 ac — ad -{- bc — bd,

87. Dans le cas particulier où Ton a c=: a^ d=zb^ cette formule devient

(a -f *; [a — b) =: aa — «A + ôa — bb ;

on voit que Ton a à retrancher le nombre ab, puis à ajouter le nombre égal ba\ ces deux opérations peuvent être supprimées et Ton a finalement

[a + *) (a — 6) = aa — bb = a^ — 6«;

en d'autres termes, le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés. En particulier si Ton suppose 6 = 1 , on a

Les propositions précédentes peuvent être étendues et généralisées. Les méthodes que Ton a exposées s'appliquent sans peine à la multiplication de deux expressions obtenues en faisant une suite d^additions et de soustractions sur des nombres déterminés. Au lieu de deux pareilles expressions, on pourrait en considérer trois, développer le produit des deux premières, puis le produit du résultat par Ist troisième. C*est en Algèbre qu'on apprendra à effectuer de la façon la plus simple et la plus générale des opérations de cette nature.