PLUS GRAND C0M5IUN DIVISEUR

de ma et de b, ou dire que le plus grand commun diviseur de ma et de b est le même que le plus grand commun diviseur de a et de b, c'est dire la même chose.

143. On obtient deux conséquences importantes de ce théorème en supposant successivement que A, que Ton regarde toujours comme premier à m, divise le produit ma ou soit premier avec a.

!• Si b divise le produit ma, il est le plus grand commun diviseur de b et de ma, et par suite de b et de a, puisqu'il est premier avec m : il divise donc le nombre a. Par suite :

Si un nombre divise un produit de deux fadeurs et qu'il soit premier avec fun d'eux, il divise Vautre.

Par exemple, 6 divise 60 = 12x5; il est premier avec 5, il divise donc certainement 12 ; 15 divise aussi 60, il ne divise aucun des facteurs 12,5, mais il n'est premier avec aucun d'eux.

2* Si b est premier avec a comme avec m, il est premier avec ma, puisque le plus grand commun diviseur de b et de ma doit être 1, comme le plus grand commun diviseur de b et de a. Donc :

Tout nombre qui est premier avec les deux facteurs d'un produit est '^yremier avec ce produit,

La première proposition est une des propositions les plus importantes de l'arithmétique, et c'est la facilité avec laquelle elle se déduit de la considération du plus grand commun diviseur qui est la raison de Tordre adopté dans la présente théorie.

La seconde proposition se généralise comme il suit :

144. Si un nombre est premier avec tous les facteurs d'un produit, il est premier avec ce produit.

Le théorème est démontré quand le produit ne comprend que deux facteurs ; supposons qu'il en contienne trois, p,q, r, et supposons le nombre a premier avec chacun des nombres p.q^r : je dis qu'il est premier avec le produit /)çr; en effet, étant premier avec p,^, il est premier avec pç; étant premier avec p^ et r, il est premier SL\ecpq Xr=^pqr. Du cas de trois facteurs, on passe au cas de quatre, cinq,... facteurs. La proposition est générale.

Si deux produits sont tels que chaque facteur de l'un soit premier avec chaque facteur de l'autre, les deux produits sont premiers entre eux.

Soient en effet abc, pqrs les deux produits ; supposons que a, b, c soient respectivement premiers avec p,q,r,s : a sera premier au produit pqrs, de même è et c; pqrs étant premier k a, kb, k c, sera premier à leur produit abc.

Ainsi 3 est premier avec 4, 5, 7, il sera premier à leur produit 140;

3 et 13 sont premiers à chacun des nombres 4, 5, 7 : le produit 3 X 13 = 39 sera premier au produit 4x5x7 = 140.

Gomme cas particuliers des théorèmes précédents, on aura, en supposant les facteurs égaux dans chaque produit, les théorèmes suivants :

Si deux nombres sont premiers entre eux, Vun d'eux est premier avec toute puissance de Vautre; toute puissance de F un sera premihe avec toute puissance de Pautre.

Ainsi 7 et 5 sont premiers entre eux : il en est de même de 7 e\ de 5» = 125, de 5' et de 7* = 2401 (*).

145. Quand un nombre est divisible par plusieurs autres gui sont premiers entre eux deux à deux^ il est divisible par leur produit.

Supposons que le nombre A soit divisible par les nombres a, b^ premiers entre eux ; soit q le quotient de A par a, on aura

\=aq\

le nombre é, premier à a, divise le produit aq; il doit donc diviser le facteur j; si q' est le quotient, on aura

et par suile

q = bq',

Kz=aq = a {bq') = abq\

ce qui montre que A est divisible par ab et que le quotient de la division est q' .

Supposons maintenant que A soit divisible par les nombres a, é,r, premiers entre eux deux à deux : A étant divisible par les deux nombres a, 6, premiers entre eux, est divisible par leur produit ab, mais ce produit est premier au troisième nombre c (n* 144), puisque c est premier à chacun des facteurs a,6; A étant divisible par les deux nombres ab et e, premiers entre eux, est divisible par leur produit abc.

Du cas de trois nombres a, b, c, on passera au cas de quatre nombres, a^b.c^d, etc.. : la proposition est générale. Il convient de la rapprocher du théorème du n* 104, en vertu duquel on obtiendra le même quotient final en divisant successivement le nombre A par les différents facteurs du produit, ou par le produit.

1. L*ordre que j'ai adopté dans les numéros précédents (142-14;) a été indiqué par Lejeune Dirichlet. (V. Dedekiud, Vorlesungen ûber Zaldentheorie.)

PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE. m

§ 2. — Plas petit comman maltiple.

146. Un nombre A, différent de zéro, est dit commun multiple de plusieurs nombres a,6,c,... s'il est divisible par chacun d'eux.

Des nombres a, 6, c,... étant donnés, le produit de ces nombres, multiplié par un facteur arbitraire, est un commun multiple de ces nombres ; ceux-ci admettent donc une infinité de communs multiples ; parmi ces communs multiples, il y en a un qui est plus petit que tous les autres ; en effet, de deux choses Tune : ou il n'y a pas de commun multiple plus petit que le produit des nombres a, A,e,..., alors ce produit est le plus petit commun multiple cherché ; ou il y a quelque commun multiple inférieur k ce produit ; mais les nombres inférieurs à ce produit abc. élant en nombre limité, il en est de même des communs multiples inférieurs à abc, ; parmi ceux-ci, il y en a un qui est plus petit que tous les autres.

147. Si les nombres a,A,c,... sont premiers entre eux deux à deux, il résulte du théorème précédent que tout commun multiple de ces nombres est un multiple de leur produit abc. : ce produit est donc le plus petit commun multiple des nombres a,A, c,... et tout commun multiple de ces nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple. Cette proposition va être généralisée et nous allons montrer que les multiples communs à deux ou plusieurs nombres s'obtiennent en multipliant l'un d'eux par un nombre arbitraire.

148. Considérons d'abord deux nombres, a, b; soit D leur plus grand commun diviseur; soient «', b' les quotients de la division de a^b par D; on a

et les nombres a', b' sont premiers entre eux. Tout multiple de a s'obtient en multipliant a par un certain nombre m; il peut donc se représenter par a'Dm. Si l'on veut que ce nombre soit un multiple de b, il faut choisir m de façon que a'Dm soit divisible par b ou ^'D; si q est le quotient, on aura

a'Dm = b'Dq,

ou, en divisant par D,

il faut donc que b' divise a^m ; or il est premier avec a', il faut donc qu'il divise m. Réciproquement, si m est divisible par b'y il en sera

Ul LEÇONS D'AUITHMÉTIQUE.

de même de a'wi, et par suite a'mD sera divisible par b'D = b (n** 120). Ainsi tout commun multiple de a et de A s'obtiendra en mettant dans le produit a'Dm, à la place de m, un multiple de b' et, réciproquement, tout nombre obtenu de cette façon est un multiple commun de a, 6; or, tout multiple de 6' est de la forme kb\ k étant un nombre quelconque; donc, tout multiple commun de a, b est de la forme

a'Dx{kb')=a'b'D>:k,

et réciproquement : on voit donc que les multiples communs de a, b sont les mêmes nombres que les multiples de a' b'D ; on les obtiendra tous en donnant à k les valeurs t, 2, 3,... Le plus petit est a'6'D. Par exemple, le plus petit multiple commun de 360 et 172 est égal

au produit de 172 par -7- = 90 : il est 15480 ; les multiples de 15480

sont les multiples communs de 360 et 172.

Si les nombres a, b sont premiers entre eux, on a D = 1, a' = a, b' = ô, et la démonstration précédente montre que les multiples communs de a, b sont les mêmes nombres que les multiples de leur produit : c'est la proposition du n® 145.

Le nombre a b'D s'appelle plus petit commun multiple des nombres a, b] celte dénomination est évidemment justifiée. On peut l'écrire

ab\ ou a'ô, ou encore -— ; car on a vu, n** 118, que pour diviser par D

le produit «4, il suffisait de diviser par D Tun de ses facteurs : —

est donc la même chose que a'b. Nous sommes parvenus au théorème suivant :

Le plus petit commun multiple de deux nombres s'obtient en divisant leur produit par leur plus grand commun diviseur; les multiples communs de deux nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun multiple.

149. Si l'on a maintenant plusieurs nombres, a, b, r, d par exemple, et que l'on cherche les communs multiples de ces nombres, on peut remplacer deux d'entre eux, a, b par exemple, parleur plus petit commun multiple M ; les multiples communs de a, b étant les mêmes nombres que les multiples de M, il est clair que les multiples communs de a, 6, c, d seront les mômes que les multiples communs des nombres M, c, d; si l'on désigne maintenant par M' le plus petit commun multiple de M et de c, il est clair que les communs multiples de M, c, d seront les mêmes que les com-nuns multiples de

PLUS PETIT COJklMUN MULTIPLE. Iî3

M', d; enfin, si Ton désigne par M*" le plus petit commun multiple de M', d, les communs multiples de M', d seront les mêmes nombres que les multiples de M^.

Le raisonnement est général et Ton voit que : 1* Étant donnée autant de nombres qu'on veut, il existe un nombre m tel que les multiples communs des nombres donnés soient les mêmes nombres que les multiples de m ; ce nombre m s'appelle le plus petit commun multiple des nombres donnés;

2* Dans la recherche du plus petit commun multiple de plusieurs nombres, on peut remplacer deux ou plusieurs de ces nombres par leur plus petit commun multiple.

Par exemple, le plus petit commun multiple de 360, 172, 18, 21 est

le même que le plus petit commun multiple de 15480 (qui est le plus

petit commun multiple de 360 et de 172) et de 126 (qui est le plus petit

commun multiple de 18 et de 21); et comme 18 est le plus grand

commun diviseur de 15480 et de 126, le plus petit commun multiple

cherché est égal au produit de 15480 par-rô' = '^ î i^ ^st donc i083H0.

150. Il ne sera pas inutile de remarquer que le théorème fondamental « les multiples communs à deux ou plusieurs nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun multiple » peut être déduit directement de la notion de plus petit commun multiple.

Soit en effet M le plus petit commun multiple des nombres a,b,c,,,, tel qu'il a été défini au n* 146 et soit M' un commun multiple de ces nombres; si M' n'est pas divisible par M, soit M" le reste de la division de M' par M; M" devra être divisible par a, 6, c,... (n« 134) ; M" est donc un commun multiple de a, b, c,...; mais M" est plus petit que M ; M ne serait donc pas le plus petit commun multiple.

151. Cette proposition entraine la proposition analogue relative au plus grand commun diviseur.

On observera d'abord que si le commun multiple de plusieurs nombres D, D', D'',... figure parmi ces nombres, c'est certainement le plus grand d'entre eux. Ceci posé, soient a, 6, c,... plusieurs nombres et D,D',D",.., tous leurs communs diviseurs; les nombres a, 6, c,... étant des multiples de D, D', D",... seront divisibles par leur plus petit commun multiple, qui ainsi fera nécessairement partie des nombres D, D', D",... et sera donc le plus grand d'entre eux. On a ainsi une seconde démonstration de la propriété fondamentale du plus grand commun diviseur (*).

152. La condition nécessaire et suffisante pour que M soft le plus petit commun multiple des nombres a, 6, c,... est que M soit divisible par chacun de ces nombres et que les quotients soient premiers entre eux,

. 1" Si M est le plus petit commun multiple de a, 6, c,..., les quotients obtenus eu divisant M par «, 6, c,... sont premiers entre eux : désignons, en effet, ces quotients par a', 6', c',..., on aura

M= cm' = 66' =c& = ...;

.•ii a'y b'y c',... avaient un diviseur commun h autre que un, on pourrait poser

a' = ka", b' =^hb", d =Ac",..., et par suite

M = m"k = bb"k = cd'k = ... ,

M serait donc divisible par h et l'on aurait

^ = aa" = bb" = ce" = ...;

j serait donc un commun multiple de a, 6, c, ..., et M ne serait pas le plus

petit commun multiple de ces nombres.

2" Si M est un commun multiple, mais non le plus petit commun multiple de a, 6, c,..., les quotients de la division de M par a, 6, c,... ne sont pas premiers entre eux.

Soit en effet m le plus petit commun multiple de a, 6, c,... et soient

a\ 6', c',... les quotients -, -^, —,...; on aura

m = aa' = 66' = ce' = ...;

d'ailleurs M est divisible par m; soit h le quotient, qui, par bypothèse, est plus grand que un : on aura

M = mA = au' h = bb'h = c&h = ...,

d'où Ton déduit que les quotients de la division de M par a, 6, c,... sont respectivement a'A, 6'A, c'A,...,et qu'ils admettent le diviseur commun /i(*).

153. Quand on multiplie ou qu'on divise plusieurs nombres a, 6, c,... par un même nombre h, le plus petit commun multiple des nombres rt, 6, c,... est mxdliplU^ on divisé par h, (Les divisions de a, 6, c,... par h sont supposées se faire exactement.)

Soit, en effet, M le plus petit commun multiple de a, 6, c,...; Hh sera divisible par ah, bh, ch,,,. et les quotients sont les mêmes que les quotients de

I. Ces dérnonstrations ne «^appuient que sur la définition du pltu petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres, et sur la propriété fondamentale « Tout multiple de plusieurs nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple » ; elles font exactement pendant aux démonstrations du n« 141, pour le plus grand commun diviseur.