Considérons maintenant trois grandeurs. A, B, C

Si deux grandeurs A, B sont commensurables à une troisième C, elles sont commensurables entre elles^ et le nombre qui mesure A quand on prend B pour unité est égal au rapport des nombres qui mesurent A et B quand on prend C pour unité.

Supposons d'abord que ces derniers nombres soient des entiers, 3 et S, par exemple. Cest une commune mesure de A et de B,

contenue 3 fois dans A, 5 fois dans B; le rapport de A à B est -.

Supposons maintenant que les nombres qui mesurent A et B,

quand on prend C pour unité, soient des fractions; rien n*empôche

de supposer ces fractions réduites au même dénominateur; elles

3 5 seront, par exemple, égales à - et =. Dire que, si J*on prend C pour

3 5 unité, A et B sont mesurés par les nombres - et -, c'est dire que si

on divise C en 7 parties égales et que Ton désigne Tune de ces

parties par C, C est contenu 3 fois dans A, 5 fois dans B; C est une

commune mesure de A et de B; on est ramené au cas précédent, le

rapport de A à B est -, qui est bien le rapport des fractions -, -.

Ce théorème, avec la notation des rapports, s'exprime par Tégalité

\ B le second membre est le quotient exact des deux nombres -, -•

327. Si A est commensurable à B, et que Bsoù commensuraùle à C, A est aussi commensurable à C, et le nombre qui mesure A quand on prend C pour uni té y est le produit du nombre qui mesure A quand on prend B pour unité par le nombre qui mesure B quand on prend Cpour unité.

Que A soit commensurable à C, c'est ce qui résulte, d'après le théorème précédent, de ce que ces deux grandeurs sont, par hypothèse, commensurables à B. Dès lors le théorème énoncé résulte du précédent : Soient, en effet, a' et b les nombres qui mesurent respeclivement A et B quand on prend C pour unité; soit a le nombre qui

mesure A quand on prend B pour unité; on doit avoir a= -7 el,

par suite, a' = ab.

En employant la notation des rapports, cette proposition s'exprime par Tégalité