ÉGALITÉ, INÉGALITÉ; VALEURS APPROCHÉES

413. Si les deux nombres rationnels ou non A et B ne sont pas égaux au sens de la définition précédente, c'est qu'il y a un nombre rationnel plus petit que Tun et qui n'est pas plus petit que Tantre : par exemple, un nombre rationnel a plus petit que A et égal ou supérieur à B : on peut toujours supposer que a soit supérieur à B; s*il lui était égal, on remplacerait en effet a par un des nombres rationnels compris entre a et A.

S'il existe un nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B, il est clair que A n'est pas égal à B; il est clair aussi, d'après les conditions (I), que tout nombre rationnel b plus petit que B sera plus petit que il et, par suite (n** 410), plus petit que A : il ne peut donc exister de nombre rationnel plus petit que B et plus grand que A.

Dans ces conditions, on dit que A est plus grand que B, que B est plus petit que A, et l'on écrit

Il résulte de ce qu'on vient de dire que la supposition A > B exclut les suppositions A = B, A < B.

Inversement ces façons de parler ou d'écrire, au moins lorsque les deux nombres A, B sont irrationnels, ne signifient pas autre chose que ceci : il existe un nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B. Au reste, il est clair, par ce qui précède, que cette défmition de l'inégalité reste vraie quand l'un des nombres A, B est rationnel, ou que tous les deux le sont.

S'il existe nu nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B, il en existe une infinité: ce sont les nombres rationnels plus petits que a et plus grands que B, ou plus grands que a et plus petits que A.