Ces explications justifient la règle suivante

Pour diviser un nombre a par un nombre é, on écrit sur une même

90 LEÇONS DARITHMËTIQUE.

horizontale le dividende à gauche, le diviseur à droite ; on les sépare par un trait vertical ; sous le diviseur, on trace un trait horizontal ; c'est sous ce trait qu'on placera le quotient chiffre par chiffre. On sépare à la gauche de a un nombre tel que le quotient de la division de ce nombre par b ait un chiffre et n'en ait qu'un, ou, comme Ton dit, un nombre qui contienne ô et qui ne le contienne pas dix fois : ce nombre est le premier dividende partiel. L'ordre des unités qu'exprime au dividende le dernier chiffre de ce dividende partiel est l'ordre des plus hautes unités du quotient : le quotient de la division du premier dividende partiel par le diviseur, est le premier chiffre du quotient ; on fait le produit du diviseur par ce chiffre et on écrit ce produit au-dessous du premier dividende partiel, de manière que les unités de même ordre se correspondent ; on tire un trait sous le produit et Ton écrit au-dessous la différence entre le premier dividende partiel et ce produit; cette différence est le premier reste partiel ; on forme le second dividende partiel en plaçant, à droite de ce reste, le premier des chiffres négligés au dividende, ou, comme l'on dit, en abaissant ce chiffre ; en plaçant, au dividende, un point au-dessus du chiffre qu'on a abaissé, on se souviendra que c'est à ce chiffre qu'on est resté; le quotient de la division du second dividende partiel par le diviseur donne le second chiffre du quotient; on écrit au-dessous du second dividende partiel le produit du diviseur par ce second chiffre, on tire un trait, on écrit au-dessous la différence entre le second dividende partiel et ce produit; cette différence est le second reste partiel ; à droite on abaisse le chiffre du dividende qui suit celui qu*on vient d'abaisser et l'on fortne ainsi le troisième dividende partiel, qui fournira de même le troisième chiffre du quotient, etc. ; quand on aura abaissé le dernier chiffre du dividende, on aura formé le dernier dividende partiel, qui, divisé par le diviseur, donne le chiffre des unités du quotient. En retranchant de ce dernier dividende partiel le produit du diviseur par ce chiffre, on obtient le dernier reste partiel qui est aussi le reste de la division. 11 est à peine utile de dire que lorsqu'on est amené à écrire au quotient quelques zéros, la multiplication et la soustraction correspondantes se font sans aucune écriture.

108. Lorsque l'opération comporte un assez grand nombre de chiffres au quotient, il est très avantageux de former, comme on l'a expliqué au n* 92, une table des neuf premiers multiples du diviseur; cette table permet de supprimer les essais dans chaque division partielle ; elle fournit à coup sûr le chiffre correspondant du quotient et réduit ainsi l'opération à une suite de soustractions.

Voici un exemple d'une division faite ainsi, en utilisant la table du n» 92 :

109. La preuve de Topération se fait en multipliant le diviseur par le quotient et en ajoutant le reste au produit; on doit retrouver le dividende, comme somme.

110. Lorsque le diviseur n'a qu'un chiffre, on n'adopte pas la disposition précédente. On se contente d'écrire le dividende et, au fur et à mesure, les chiffres du quotient, obtenus au fond toujours par le même procédé, mais sans écrire ni les produits partiels, ni les restes partiels. Soit, par exemple, à diviser 97042256 par 7. On dira : le quotient pour 9 est 1 et il reste 2 ; le quotient pour 27 est 3 et il reste 6 ; le quotient pour 60 est 8 et il reste 4 ; le quotient pour 44 est 6 et il reste 2 ; le quotient pour 22 est 3 et il reste 1 ; le quotient pour 12 est 1 et il reste 5 ; le quotient pour 55 est 7 et il reste 6 ; le quotient pour 66 est 9 et il reste 3 ; le quotient est donc 13863179 et le reste 3. Avec un peu d'habitude, on peut même faire de cette façon les divisions par un nombre de deux chiffres.

111. Nous avons à faire sur la division quelques observations analogues & celles que nous avons faites sur la multiplication.

Soient a le dividende et b le diviseur; désignons par n ei p leurs nombres de chiffres. Pour effectuer la division, on sépare d'abord un nombre qui contienne b sans le contenir dix fois : ce premier

dividende partiel a ;> ou p -|- ^ chiffres ; il fournira un chiffre au quotient; chacun des n — p ou n — p — 1 chiffres restant au dividende fournira aussi un chiffre : il y aura au quotient n — p — 1 ou n — p chiffres.

112. Examinons ce qui arrive quand on augmente le diviseur d*une unité.

Soient Ç' et r le quotient et le reste, on a :

a = 6qr + r = (6 + l)qr + r — y;

si r est égal ou supérieur à j, r — q manifestement inférieur à é+l sera le reste de la division de a par 6 + 1^ le quotient sera q\ si r est plus petit que q^ le quotient de la division de a par b-{-\ sera certainement inférieur à g. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que le quotient d'une division ne change pas quand on augmente le diviseur (Tune unité est que le reste soit au moins égal au quotient.

Si r est plus petit que q^ mais si Ton sait que q est au plus égal à 6, il est aisé de vérifier que le quotient de la division de a par ô + 1 est g — 1 ; en effet, Tégalité a=bq -^r entraîne la suivante :

et Ton voit que b-\-\ — {q — r) est inférieur à ô + 1 , puisque q — r est au moins égal à un.

Donc, dans tous les cas, si le quotient ne dépasse pas le diviseur, en augmentant ce diviseur d'une unité, on obtiendra le même quotient, peut-être diminué d'une unité. Si le dernier chiffre du quotient, dans la première opération, n'est pas un zéro, on est sûr que les chiffres précédents seront les mêmes dans les deux opérations.

Ces remarques s'appliquent évidemment aux divisions partielles que l'on a à effectuer dans les divisions de a par b ou par A 4- 1 .

1® Quand on divise a par é, tant que les restes partiels sont supérieurs ou égaux à la partie écrite au quotient, on est sûr que les chiffres obtenus au quotient sont les mêmes que les chiffres correspondants dans la division de a par è -|- 1 .

2° Quand on divise a par 6, tant que la partie écrite au quotient ne dépasse pas 6, on est sûr que le nombre écrit au quotient est le même que le nombre correspondant dans la division de a par ô -|- 1 , ou que le second nombre est égal au premier diminué d'une unité.

113. Si dans le diviseur on remplaçait les A* derniers chiffres par des zéros, on ne pourrait qu'augmenter le quotient; mais si en faisant cette nouvelle division, on s'arrête avant que la partie écrite

au quotient dépasse le diviseur, on est sûr que cette partie est égale à la partie correspondante du quotient véritable, ou à cette partie augmentée d'une unité de Tordre du dernier chiffre. On est toujours certain qu'il en est ainsi tant que le quotient aura un chiffre de moins que le diviseur. — On n^aura aucun doute sur l'exactitude des chiffres trouvés, si le dernier reste est supérieur à la partie écrite au quotient.

Soit, en effet, à diviser 1898765 par 48579. D'après une remarque qui a été faite au n» 106, le quotient cherché est au plus égal au quotient de la division de 1898765 par 48500 et au moins égal au quotient de la division de 1898765 par 48600; tant que les deux divisions fourniront les mêmes chiffres au quotient, ces chiffres seront exacts; si Ton effectue la division de 18987 par 485, tant que la partie écrite au quotient ne dépassera pas 485, on sera assuré que cette partie sera égale à la partie correspondante du quotient de la division par 486 ou à cette partie augmentée d'une unité. Sauf cette erreur possible d'une unité, qui ne porte d'ordinaire que sur le dernier chiffre, cette partie sera donc la même que la partie correspondante du quotient dans la division de 1898765 par 48579; Topération est faite ci-dessous :

Le reste 72 est ici plus grand que la partie écrite au quotient; les deux chiffres 3, 9 sont sûrement exacts; ils seront les deux premiers chiffres du quotient de la division de 1898765 par 48579 : 39 est le nombre de centaines du quotient de celte division.

On voit comment cette méthode permet de simplifier la recherche des premiers chiffres du quotient dans une division.

Exemple. Trouver les huit premiers chiffres du quotient de la division de 10»opar3l41o926o3o89.

On veut avoir 8 chiffres au quotient : conservons-en 9 au diviseur, le quotient sera certainement inférieur au diviseur : en calculant les 8 premiers chiffres du quotient de la division de lO^o par 3141592650000, ou de 10*« par 314159265, on sera sûr de ces 8 chiffres, sauf Terreur possible d'une unité sur le dernier. On trouve comme quotient 31830988 et comme

reste 205696180 : ce reste étant supérieur à la partie écrite au quotient, il n'y a, ici encore, aucun doute sur l'exactitude des huit chiffres.

114. On pourra établir d'une façon analogue la proposition suivante :

Lorsque, dans une division, le quotient est inférieur d'au moins deux unités au diviseur, en diminuant le diviseur d'une unité, on augmente au plus le quotient d'une unité.

Exercices.