Etant donnée une progression géométrique indéfinie

1, a, fl", a», ...

dont le premier terme est 1 et la raison a, si Ton divise tous les ternies par un nombre b premier à a, les restes se reproduiront périodiquement. 11 existe en particulier une infinité de termes qui fournissent comme reste le nombre un ; si n est le plus petit exposant pour lequel a^ — 1 soit divisible par a, la période des restes se compose de n termes différents. Déterminer cette période dans le cas où a = 2, 6 = 23. La proposition précédente, dont diverses conséquences seront développées dans le

chapitre dernier, est le fondement de la théorie générale des caractères de divisibilité dans un système de numération dont la base est a.

111. Si a^ est premier à 6 et si 6' est premier à a, le plus grand commun diviseur de a et de 6 sera le même que le plus grand commun diviseur de aa' et de bb'.

112. Si le plus grand commun diviseur des nombres m, 6, c est Tunité, le plus grand commun diviseur des trois nombres ma, b, c est le même que celui des trois nombres a, b, c,

113. Si d est le plus grand commun diviseur de a et de 6 ; si d' est le plus grand commun diviseur de a' et de 6 et si d et d' sont premiers entre eux, le plus grand commun diviseur de aa' et de b sera dd',

114. Si Ton applique la méthode pour chercher le plus grand commun diviseur à deux termes consécutifs de la suite de Texercice 20, on trouvera comnne restes successifs les termes précédents de cette suite. Deux termes consécutifs de cette suite sont premiers entre eux.

115. Dans la suite de Texercice 30, on sait (Ex. 59) que Ton a

Démontrer que le plus grand commun diviseur de u„j • ^^ ^^ ^^ ^'m ^^^ ^^ même que celui de u^ et de u^; ce plus grand commun diviseur est égal à u^^ en désignant par d le plus grand commun diviseur de m et de n,

116. On considère 7i nombres a, b, c, ... ; on prend le plus grand commun diviseur de deux quelconques d'entre eux, et Ton conserve tous les nombres différents a', y, c', ... que l'on peut obtenir ainsi ; on opère sur a\ b\ c', ... comme on a fait sur a, 6, c, ..., etc.. Au bout d'un nombre fini d*opérations, on aura le plus grand commun diviseur des nombres proposés.

117. Dans Topération du plus grand commun diviseur, il est impossible que plus de deux restes consécutifs tombent entre deux mêmes termes de la suite de l'exercice 20; s'il en tombe deux, il n'y en aura aucun dans l'intervalle suivant.

En partant de là, montrer que l'opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres. (Ex. 24.)

118. Le plus petit commun multiple de deux nombres est 96; l'un de ces nombres est 6, quel peut être l'autre?

119. Si m est premier à 6, le plus petit commun multiple de ma et de b est ^al au produit par m du plus petit commun multiple de a et de 6.

120. Soit A le plus grand commun diviseur des p nombres ai, Ai, ... a ; soit B le plus grand commun diviseur des g nombres 6|, 6s, ..., 6 : le plus grand commun diviseur des pq produits que l'on peut former en prenant un facteur parmi les nombres ai, a^, ..., a et l'autre facteur parmi les nombres 6i, bt, ..., 6^, est AB.

Ce théorème subsiste quand on remplace les mots « plus grand commun diviseur u par les mots « plus petit commun multiple ».

121. Si le plus grand commun diviseur des nombres m, a, 6 est Tunité, le plus grand commun diviseur de m et de ab est égal au produit du plus grand commun diviseur de m et de a par le plus grand commun diviseur de m et de b,