VALEURS APPROCHÉES D'UN NOMBRE DONNÉ

diffère à peine de -.

250. Considérons encore les valeurs approchées par défaut de — ày

près et à - près ; on trouvera sans peine qu'elles sont respectivement

- et -=-; c'est la première qui est la plus approchée de —, car elle

est la plus grande. Ainsi, si Ton se donne deux nombres a, a' tels que a' soit plus petit que a, la valeur approchée d'un nombre A à a près, par défaut, peut être plus grande que la valeur approchée à od près, par défaut. Le lecteur reconnaîtra sans peine que cette circonstance ne se présentera jamais si Ton aa = na\ n étant un nombre entier.

251. Etant donnée une fraction - à termes entiers, si Ton cherche

ses valeurs — , — - — approchées à - près, par défaut et par excès,

1 une de ces valeurs sera un nombre entier puisque Tun des nombres

consécutifs K et K + 1 est certainement pair.

U importe de remarquer que cette valeur s'obtient sans peine

quand on cherche le plus grand entier contenu dans - ; si Ton désigne

en effet par q ce nombre entier et par r le reste de la division de a par b au sens de la théorie des nombres entiers, on a

La fraction 7- sera inférieure à - si l'on a 6 >> 2 r ; si l'on a ^< 2r, 0 Z

elle sera supérieure ou égale à -. Dans le premier cas, la différence

entre r et ût est moindre que r ; C' est la valeur cherchée. Dans le 0 2

second cas cette différence est au moins égale à ~, et l'on a

la différence entre y + 1 et ^ est au plus égale à -, c'est 9 + 1 qui est le nombre entier que l'on cherche.

Il y a donc en général un nombre entier et un seul qui diffère

de - d'une quantité moindre que -. C'est Tune où l'autre des valeurs à 2

a approchées <l6 - à une unité près, par défaut ou par excès, suivant

que b est supérieur ou inférieur au double du reste ; si b était égal

au double du reste, il y aurait deux nombres entiers dont la différence

avec T serait égale à -. Cette circonstance ne se présentera jamais si

b est impair; si la fraction - est irréductible, elle ne pourra se présenter que dans le cas où b est égal à 2.

252. Observons que quand un nombre entier ou décimal est écrit dans le système décimal, on obtient immédiatement ses valeurs approchées à 1, 10, 100, 1000, ... près, par défaut; il résulte immédiatement de la définition et Ton vérifie sans peine par Tapplicatioa de la règle précédente que ces valeurs s'obtiennent en supprimant la partie décimale, s'il y en a une, puis en remplaçant successivement par des zéros, un, deux, trois, ... chiffres à droite; ainsi les valeurs approchées à 1, 10, 100 près, par défaut, de 2847,5023 sont respectivement 2847, 2840, 2800. On peut observer encore que la détermination du quotient de deux nombres entiers, chiffre par chiffre, revient à la détermination de ce quotient à .... 1000, 100, 10, 1 près, par défaut.

§ 5. — Division de deux nombres décimaux.

253. On a vu au n° 228 comment on peut écrire, sous forme de fraction ordinaire, le quotient exact de la division d'une fraction décimale par une fraction décimale. On peut ensuite, si l'on veut, réduire cette fraction ordinaire en fraction décimale, en calculant un, deuxt trois, ... chiffres décimaux : c'est ce qu'on appelle joouwer la division jusqu'aux dixièmes, aux centièmes, aux millièmes.... On peut toujours employer le procédé du n° 228 ; c'est-à-dire s'arranger de manière que le dividende et le diviseur aient le même nombre de chiffres décimaux, puis supprimer les virgules et opérer la réduction en fraction décimale ; on peut aussi profiter des remarques qui suivent.

254. Supposons le diviseur entier : soit, par exemple, à diviser

3141,593 ou r par 2718; d'après le no203, le quotient exact