partie de A,; nous désignerons par A, la cinquième partie de A,, et

par Bj la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à A,. Puisque la

grandeur A^ est S fois plus grande que A,, la grandeur Bp qui

correspond à A,, devra de même être 5 fois plus grande que B^:

puisque la grandeur A, est 4 fois plus grande que A„ la grandeur B^

doit être 4 fois plus grande que B,; B^est donc la somme de quatre

grandeurs égales à B3, dont chacune est la cinquième partie de B,:

le rapport =7 est donc, comme le rapport-^, égal k^- La proposition B| A, o

est démontrée.

Pour en finir avec ce sujet, disons quelques mots des grandeurs inversement proportionnelles,

361. Les grandeurs que Ton a définies jusqu'à présent comme proportionnelles sont dites aussi directement proportionnelles: l'adverbe directement peut se sous-entendre ; l'adverbe inversement ne se sous-entend jamais.

Deux grandeurs (A), (B) sont dites inversement proportionnelles si elles sont liées de telle façon qu'à un état déterminé de l'une corresponde toujours un état déterminé de l'autre et si, désignant par A,, Aj deux états de la première et par B,, B, les deux étals correspondants de la seconde, on a toujours

S'il en est ainsi et si Ton considère la grandeur (A) dans divers états Aj, Aj, A3, ... et la grandeur (B) dans les états correspondants Bp B„ B„ ...; si l'on désigne par a^ a„ a,, ... les nombres qui mesurent A^ A,, Ag, ..., par ôj, 6,, Ô3, ... les nombres qui mesurent Bj, Bj, B3, ..., les deux suites

seront inversement proportionnelles. En effet, on a, par exemple,

Aj Oj B, A,

et puisque Ton doit avoir -r^r^y on aura aussi ~ =7?.

Aj B, flg 6j

Le produit de deux termes correspondants pris dans les suites

sera toujours le même ; les deux suites

dp di, ^f »..,

seront directement proportionnelles.

Inversement, si les grandeurs (A), (B) sont liées de telle façon que, en désignant par a^, a„ a,, ... les nombres qui mesurent la première grandeur dans les états A,, Aj, A,, ... et par *,, ô„ Ô3, ... les nombres qui mesurent la seconde grandeur dans les états Bj, B,, B3, . .. , qui correspondent à A,, A,, A,,..., les deux suites

^lï ^lï ^81 •••»

soient toujours inversement proportionnelles, les grandeurs (A), (B) seront inversement proportionnelles.

Exemples. II y a une inflnité de rectangles qui ont la même surface; chacun de ces rectangles est déterminé si Ton se donne Tune de ses dimensions, la base ou la hauteur; supposons que A,, A„ A,, ... soient les bases (le quelques-uns de ces rectangles et B|, B^, Bs, ... les hauteurs correspondantes; si, en prenant le mètre pour unité de longueur, les bases A|, A^i A3, ... sont mesurées par les nombres aj, a,, a,, ... et les hauteurs Bj, B,, B|, ... par les nombres 6^ 63, 6„ ..., les deux suites

a,, a^f «8» •••> ^1» ^tf ^8» •••

sont inversement proportionnelles; car chacun des produits ai6|, 0363, (tib^y ... représente la surface de ces rectangles en mètres carrés.

Ainsi la base d'un rectangle d'une surface donnée est inversement proportionnelle à sa hauteur.

Si l'on considère des tonneaux, de volumes différenls, contenant des vins difTérents et tels que chaque tonneau coûte le même prix, le volume de chaque tonneau sera inversement proportionnel au prix du litre devin qu'il contient.

Si l'on considère des ouvriers dont chacun fasse la même besogne dans le même temps, le temps nécessaire pour faire une besogne déterminée sera invei*sement proportionnel au nombre d'ouvriers employés pour la faire.

S'il s'agit, par exemple, de creuser un fossé d'une certaine longueur, cette longueur devra, en effet, être égale au produit du nombre de mètres que creuse chaque ouvrier en une heure par le nombre d'heures de travail.

Si diverses escouades d'ouvriers pour lesquels chaque heure de travail est payée le même prix, ont travaillé des temps différents et ont reçu chacune la même somme totale, le nombre d'ouvriers qui composent chacune de ces escouades est inversement proportionnel au temps pendant lequel elle a travaillé.

362. Revenons au cas général et reprenons les mêmes notations.

Si on désigne par (A), (B) des grandeurs inversement proportionnelles, et par A^, A, des états de la première, par Bp B, les états correspondants de la seconde, on aura

Aj Bj A, Bj

Si le premier rapport est égal à un nombre entier n, c'est-à-dire si la grandeur Aj est la somme de n grandeurs égales à A„ B, devra de même être la somme de n grandeurs égales à Bj, c'est-à-dire que Bp qui correspond à Ap sera la Vi'*"*® partie de B, qui correspond à Aj. C'est ce qu'on exprime en disant :

Si deux grandeurs d'espèces (A), (B) sont inversement proportionnelles, lorsque Tune d'elles devient n fois plus grande, Tautre devient n fois plus petite.

Réciproquement, si deux grandeurs d'espèces (A), (B), liées entre elles de façon que Tune soit déterminée quand l'autre est déterminée, sont telles que Tune devenant n fois plus grande, l'autre devienne toujours n fois plus petite, ces deux grandeurs sont inversement proportionnelles.

En effet supposons que les grandeurs d'espèces (A), (B) vérifient cette condition : désignons par ApA, deux grandeurs de la première espèce, par Bp B^ les grandeurs correspondantes de la seconde. Supposons que Ton ait

c'est-à-dire que Âj soit la somme de quatre grandeurs égales à la cinquième partie de Â,; désignons par A, cette cinquième partie, et par B3 la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à A,. Par hypothèse, la grandeur A, est égale à cinq fois A,, donc B^ est la cinquième partie de 83; A, est égale à quatre fois A,, donc B, est le quart de B,; en résumé, B^ s'obtient en divisant en 5 parties égales la grandeur B„ qui est la somme de 4 grandeurs égales à B^ ; si donc on prend B) pour unité, Bg sera mesuré par le nombre 4, et B,, qui est le cinquième

de B3, par le nombre -; c'est dire que le rapport ~ est bien égal

5 Dl

§ 6. — Système métrique; monnaies.

363. L'unité monétaire est le franc. D'après la loi du 18 germinal

an III, le franc est constitué par 5 grammes d'argent au titre de --.

C'est-à-dire que c'est un poids de métal de S grammes dans lequel il

y a un poids d'argent égal à 5 Xtt =4,5 en prenant le gramme

pour unité.

Le seul sous-multiple du franc qui soit usité est le -centime ou

centième partie du franc.

Cette unité est, actuellement, théorique : les pièces d'un franc ne

sont pas au titre r- •

264. D'après la convention monétaire (6 novembre et 23 décembre 1865), à laquelle ont adhéré la France, la Grèce, l'Italie, la

Suisse et la Belgique, des pièces d'or sont frappées au titre de jrr dont

les valeurs, en francs, sont inscrites au tableau suivant, dans la colonne de gauche, et les poids, en grammes, dans la colonne de droite :

Les mêmes Ëtats frappent des pièces d'argent dont les valeurs

et les poids sont de même inscrits ci-dessous, avec les mêmes unités :

La pièce de 5 francs (argent) est seule au titre de rr-i les autres

pièces d'argent sont au titre de tt^t^-

Ainsi, dans une pièce d'or de 10 francs, le poids d'or pur s'obtient

comme le produit 3,2258 X tt: ; il est égal à 2*,90 à un centigramme

près. De même le poids d'argent pur contenu dans une pièce d'un franc est 4«,175.

On frappe en outre des pièces de bronze dont les valeurs respectives sont données ci-dessous, en prenant toujours le franc pour unité :0,10; 0,05; 0,02; 0,01. Le poids d'un centime en bronze est 1 gramme.

Les poids des monnaies ne peuvent pas être réalisés exactement : on admet pour chaque espèce de monnaie une tolérance^ les pièces pour lesquelles l'écart entre le poids réel et le poids théorique dépasse cette tolérance doivent être rejetées. La loi fixe aussi les dimensions des monnaies : on trouvera dans V Annuaire du Bureau des longitudes, en particulier, tous les renseignements désirables à cet égard.

365. Le prix d'un certain poids d'argent monnayé (c'est-à-dire de monnaie d'argent) s'obtient très aisément au moyen des nombres précédemment donnés.

En effet ce prix (n* 357) est proportionnel au poids. Il suffit donc

d'avoir le prix d'un gramme d'argent monnayé ; puisque 5 grammes

d'argent monnayé valent 1 franc, 1 gramme d'argent vaut -, en

prenant le franc pour unité, ou 0,20. Le prix d'un poids quelconque d'argent monnayé s'obtiendra en multipliant 0,20 par le poids d'argent évalué en grammes. Ainsi le prix d'un kilogramme d'argent monnayé est 200 francs.

Si l'on prenait pour unité de monnaie une pièce d'or fictive pesant le même poids qu'une pièce d'un franc en argent, on aurait, pour

évaluer ensuite en francs une somme quelconque évaluée avec cette unité fictive, à faire un changement d*unité (n* 327), c'est-à-dire à multiplier la somme, évaluée avec Tunité fictive, par le nombre qui représenterait le prix, en francs, de cette unité fictive. Ce nombre est fixé par la loi, il est égal à 15,5. D'où la règle suivante :

Pour évaluer^ en francs^ le prix d'un certain poids d'or monnayé, on évalue le prix du même poids d'argent monnayé et l'on multiplie le résultai par 15,5.

Ainsi, le prix d'un kilogramme d'or monnayé est

200 X 15,5 = 3100, en prenant le franc pour unité.

Exemple. Quel est le prix d'une pièce d'or monnayé dont le poids est 32,25806 en prenant le gramme pour unité? Ce prix, en prenant le franc pour unité, est mesuré par le nombre

La différence entre ce nombre et le nombre 100 que donne le tableau du n" 364 est 0,000014 c'esl-à-dire quatorze fois la dix-millième partie d'un centime.

366. La valeur intrinsèque d'un lingot d'or ou d'argent est, par défînition,

la valeur du métal fin que contient ce lingot, calculée en supposant que

4 gr. 50 d'argent pur valent 1 franc, et que le prix du même poids d'or

pur soit 15,3. — On rappelle que 4 gr. 50 est le poids d'argent pur contenu

dans une pièce (théorique) d'un franc au tilre de r^'

Dans celte hypothèse, en nyiltipliant 4,50 par le prix d'un gramme d'argent pur, on doit trouver 1 comme produit; inversement, en prenant le

frauc pour unité, le prix d'un gramme d'argent pur sera j-mâ ~ âk ~ q'

Hleprixd'ungrammed'or pur sera - X 15,5 = -rp' Les deux fractions - et

-3- réduites en fractions décimales, conduisent aux deux fractions périodiques 0,222... et 3,444... . On voit que la valeur intrinsèque d'un kilogramme d'argent pur est 222 fr. 22, à un centime près, celle d'un kilogramme d'or pur est, à la même approximation 3444 fr. 44. En général, pour avoir la valeur intrinsèque d'un lingot d'argent ou d'or, on calculera le nombre qui mesure le poids de métal fin, en multipliant par le titre le poids du lingot

2 31 évalué en grammes, et l'on multipliera ce nombre par -ou —-suivant qu'il

s'agira d'argent ou d'or.

Ainsi la valeur intrinsèque de la pièce d'un franc (argent) réelle au litre 0,835 sera

la fraction r-r^, réduite en fraction décimale, donne la fraction périodique

C'est, pour les monnaies étrangères, la valeur inlrinsèque qui sert de base au chantje,

367. La valeur au tanf des matières d'or et d'argent est la valeur intrinsèque diminuée des frais de fabrication pour le monnayage.

Cette retenue, d'après la loi du 31 octobre 1879, est supposée proportionnelle au poids de mêlai fin contenu dans le lingot considéré : elle s'ob-

tient en multipliant ce poids, évalué en grammes, par le nombre -r^

pour l'or, par le nombre ^^rjrr pour l'argent.

Pour avoir la valeur au tarif d'un lingot, on calculera donc la valeur intrinsèque, la retenue et l'on fera la différence. Ainsi les valeurs au tarif du kilogramme d'or aux titres i et 0,900 sont respectivement, en francs, 3437 et 3093,30 ; les valeurs au tarif du kilogramme d'argent aux mêmes titres sont 220,56 et 498,50.

J'extrais ces exemples de l'excellent Traité cT Arithmétique commerciale de M. Brasi]ier(*), où j'ai d'ailleurs largement puisé pour les renseignements d'ordre pratique.

368. Enfin, chaque jour la cote officielle de la Bourse publie la tdeur commerciale du kilogramme d'or et d'argent, telle qu'elle résulte de roiïre et de la demande. Si cette valeur est notablement supérieure à la valeur au tarif, il en résulte un danger pour l'État dont^les monnaies risquent d'être accaparées par les marchands d'or et d'argent : c'est une crise monétaire. Le danger peut se produire dans l'autre sens, si la valeur commerciale est très inférieure à la valeur au tarif. Enfin, un autre danger résulte de ce que le rapport entre la valeur commerciale de Tor et de l'argent peut différer notablement du rapport légal i5,5 : il est actuellement beaucoup plus grand ; c'est pour cette raison que la convention monétaire limite pour les différents États qui l'ont adoptée la quantité de monnaie d'argent qui peut être frappée. C'est la méine raison qui fait rechercher les payements en or.

Par exemple, le 21 mai 1893, la cote officielle de la Bourse donnait les nombres suivants :

Or en barre, à 1000/1000, le kil. 3437 francs. 1 à 2 Voo prime. Argent en barre à 1000/1000, le kil. 218,89. 365 à 378 Voo perte.