TALIUM

caleulëes par la formule

de H. Eiaenlohr.

TAUCU

eaiadëes

d'aprfts

rhypoUirse

dcFnaod.

On voit que ces expériences paraissent contraires à l'hypothèse de Fresnel; mais il faut examiner si le principe de ces expériences est absolument incontestable, et nous allons faire voir qu'il n'en est pas ainsi. En effet, pour trouver les formules qui nous ont servi à comparer les résultats de l'expérience avec ceux qui sont donnés par l'une ou l'autre des hypothèses sur la direction des vibrations, nous avons admis que les vibrations longitudinales de Téther sont de nul effet. Or, en admettant cette nullité d'action des vibrations longitudinales, il est impossible d'expliquer les phénomènes que présente la réflexion à la surface des métaux et aussi à la surface des corps transparents dans le voisinage de l'angle de polarisation complète, (^auchy admit que les vibrations longitudinales se transmettent en effet, mais s'affaiblissent très-rapidement.

361. Reelierclies de M. Elaenlolir. — M. Fr. Eisenlohr a appliqué l'hypothèse de Gauchy aux phénomènes dont nous nous occupons ^^l II est arrivé à la formule suivante, en représentant para et j3 les angles des plans de polarisation du rayon incident et du rayon diffracté avec la normale au plan de diffraction^ par ^ une constante proportionnelle au rapport des coefficients d'absorption des vibrations longitudinales dans les deux milieux, c'est-à-dire dans le verre et dans l'air, divisé par la longueur d'ondulation , et en admet-

^'') Pogg. .1/111., GIV, 3'i7. — .l/m. (le cliim. et tie pliys.^ (.*{), LV, 5o4.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FRESiNEL. 513 tant l'hypothèse de Fresnel,

I + K* sin* - ^"°g^° cos(l9-fl') *""g*-

On peut comparer cette formule avec rexpérience. A cet effet, on déduit la valeur de k^ de l'une des expériences. Dans le tableau précédent cette valeur a été calculée à l'aide de la seconde expérience. Puis on calcule à l'aide de celte valeur de k^ la valeur de jS dans les autres expériences. On voit dans le tableau que l'accord entre les nombres trouvés par la formule de M. Eisenlohr et ceux que donne l'expérience est satisfaisant. Le phénomène est donc en réalité plus complexe que nous ne l'avions supposé, et il est surtout remarquable en ce qu'il met en évidence mieux que tout autre l'existence des vibrations longitudinales.

Si la diffraction était produite dans un seul milieu, on pourrait calculer le coefficient d'absorption des vibrations longitudinales dans ce milieu. Ici on ne peut calculer qu'une moyenne entre les coefficients d'absorption dans l'air et dans le verre. On trouve ainsi qu'en

traversant une épaisseur de -^ de millimètre l'amplitude des vibralions longitudinales est réduite dans le rapport de lo^^*' à i.

F. — Influence du mouvement de la terre sur la rotation du plan

DE polarisation.

362. WÈéwimtkowÈ du plan de p^larisntion sous l'Influence du mouirement de te terre. — Nous avons vu que , si l'on fait traverser k un rayon lumineux polarisé une série de lames à faces parallèles , en désignant par a et j8 les angles des plans de polarisation du rayon incident et- du rayon transmis avec le plan d'incidence ^ et par^ le nombre des lames, on a (3A1)

L'angle /S, qui dépend de t et de r, dépend par suite de l'indice de réfraction, de sorte que tout ce qui fait varier l'indice doit aussi changer la rotation du plan de polarisation.

Supposons qu'on fasse arriver sur une lame à faces parallèles un rayon parallèle à la direction du mouvement de la terre, la vitesse de la lumière sera altérée, et par suite aussi l'indice de réfraction, qui est égal au rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Il semble au premier abord qu'il faille ajouter la vitesse de la terre aux vitesses de la lumière dans les deux milieux ou l'en retrancher. Mais, en réalité, les choses se passent comme si on ajoutait à la vitesse de la lumière dans l'air la vitesse de la terre, et à la vitesse de la lumière dans la lame le produit de la vitesse de la terre par la puissance réfractive de la lame ^^K

On est j)orté à croire, d'après cela, que l'on doit trouver une différence dans la direction du rayon réfracté, suivant que le rayon parallèle à la vitesse de la terre se propage dans le même sens que cette vitesse ou en sens opposé. Cependant il n'en est rien, car, h cause du phénomène de l'aberration, la direction que nous attribuons à un rayon lumineux n'est pas sa direction réelle, mais bien cette direction légèrement modifiée par le mouvement de la terre. Or, cette nouvelle altération de la direction du rayon iréfracté compense la première, et la direction du rayon réfracté est la même que si la terre était immobile ^^K Mais il n'y a aucune compensation semblable pour la déviation du plan de polarisation, de sorte que, suivant le sens dans lequel marche le rayon parallèle au mouvement de la terre, il doit y avoir une différence entre les déviations du plan de polarisation.

363. Expériences de lU. PâBeAu* — M. Fizeau a vérifié par l'expérience cette conclusion de la théorie ^^\ 11 faisait arriver sur un polariseur et ensuite sur une pile de glaces un rayon parallèle au mouvement de la terre; ce rayon était reçu sur un analyseur. 11 retournait l'appareil de façon à recevoir sur l'analyseur un rayon parallèle au premier, mais de sens contraire, et reconnaissait que la position du plan de polarisation avait changé.

(') Voir, dans le tome IV du présent ouvrage ( Cofi/ëiwirM df physifpie)^ les Lorons sur lu vitesse de la lumière.

î*) Voir ibid.

^^^ C /?., XLIX , 7 I 7. — .Imm. dr rhim. H fie phys., (3), L VIII, i •»().

\PPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FRESNEL. Slo

Celle expérience présente des difficultés, car l'indice de réfraction est altéré d'une quantité qui provient de l'addition, au numérateur et au dénominateur du rapport qui représente cet indice, de

quantités moindres que -j^ de la valeur de chacun de ces termes. H faut donc, pour rendre le phénomène visible, employer des piles de glaces, mais alors la direction du plan de polarisation du rayon transmis tend à devenir perpendiculaire au plan d'incidence, et l'appareil devient de moins en moins sensible lorsqu'on augmente le nombre des glaces.

Pour lever cette difficulté, M. Fizeau disposait plusieurs piles de glaces à la suite les unes des autres, de façon que le plan d'incidence sur chaque pile fût successivement à 90 degrés du plan d'incidence sur la pile précédente; on obtient ainsi une rotation du plan de polarisation de plusieurs circonférences sur laquelle l'in- Buence du mouvement de la terre est assez sensible. Par suite de cette disposition, il y a nécessairement une dispersion considérable de la lumière; aussi les piles de glaces étaient-elles achromalisées.

En constatant la différence entre les déviations du plan de polarisation du rayon réfracté suivant le sens dans lequel se propage le rayon, M. Fizeau a donné une nouvelle preuve physique du mouvement de translation de la terre; mais il est évident que le phénomène dépend du mouvement absolu de la terre, de son mouvement par rapport à l'éther, et non de son mouvement par rapport au soleil. Le mouvement réel de la terre nous est inconnu: il n'y a dont pas à chercher dans les expériences de M. Fizeau des vérifications numériques de la théorie.

L'importance de ces expériences, c'est de prouver, comme celles dont nous avons parlé plus haut, que les corps pondérables en se déplaçant n'entraînent avec eux qu'une partie de l'éther qu'ils contiennent, d'où l'on conclut nécessairement que la densité de l'éther n'est pas la même dans tous les corps, et ce dernier principe se relie intimement, par les lois de la réflexion et de la réfraction, à celui de la perpendicularité des vibrations au plan de polarisation.

G. — Comparaison de la théorie de Fresnel avec les théories de Neumaxn

ET DE Mac Cdllagh.

3 6 A . HypotliMe* de MeuaMum et de Mae C?ull»i?li muw la

eonstltutien de Tétlier. — Il semble que les vérifications qui précèdent soient une justification complète de la théorie de Fresncl. Cependant on n'a vérifié en réalité que des formules, et si des principes autres que ceux de Fresnel peuvent conduire aux mêmes formules, il y aura au moins incertitude sur l'exactitude de la théorie.

C'est là précisément ce qui est arrivé. Neumann ^*^ et Mac Cullagh^^^ ont presque simultanément' obtenu des formules identiques à celles de Fresnel , en partant de principes différents. Ce qui les a engagés à s'écarter de la théorie de Fresnel , c'est surtout la singularité de ce principe, qu'il y a identité entre les composantes du mouvement vibratoire parallèles à la surface de séparation, mais non entre les composantes perpendiculaires à cette surface. Ils ont préféré admettre l'identité du mouvement sans aucune restriction, ce qui conduit à trois équations incompatibles. Parmi les autres principes posés par Fresnel, il en est encore un auquel ils crurent pouvoir toucher : c'est celui qui admet que dans les différents milieux la densité de l'éther est différente et son élasticité constante. Neumann et Mac Cullagh partirent d'une hypothèse sur la constitution de l'éther opposée à celle de Fresnel; ils admirent que la densité de l'éther était constante dans tous les milieux et son élasticité variable.

En partant de ces bases, ils ont trouvé que les trois équations incompatibles dans le cas* où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence se réduisent h deux : ce sont celles qu'a trouvées Fresnel pour le cas oii la lumière est polarisée dans le plan d'incidence; et réciproquement les formules qu'ils obtinrent pour le cas de la lumière polarisée dans le plan d'incidence furent identiques à celles qu'avait trouvées Fresnel pour le cas de la lumière polarisée perpendiculairement à ce plan. Pour rétablir l'accord entre les résultats de l'expérience et ceux de leur théorie, ils furent donc obligés d'admettre, contrairement à l'hypothèse de Fresnel,

(') Abhandl. Berl. Akad., i835, pari. I, p. i.

<=») PkiL 3%., (3), VII, apfj; X, ^13. ~ /r. TVww., XXI, 17.

que les vibrations sont parallèles au plan de polarisation. On retrouve alors pour chaque cas des formules identiques à celles de Fresnel. Ainsi, lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence, le principe de la continuité du mouvement de part et d'autre de la surface donne les deux équations

(i — t?) cos t = a cos r, (i +i^)sint^ttsin r,

et le principe des forces vives fournit l'équation

(i — 1?2) Xcos /= ii^X'cos r,

1» » , X sîn i

d ou , en remarquant que j, = -- — : i

( 1 — r^) sin I cos t = u^ sin r cos r.

Cette troisième équation est compatible avec les deux autres, car, en la divisant par l'une des deux premières, on retrouve l'autre.

365. Compamismi entre la tliéerle de Presnel et eelle de Mae C^ullaffli et de Meumaiiii* — On voit que , tant qu'on ne considère que les phénomènes de la réflexion et de la réfraction, il est impossible de se prononcer d'une manière décisive entre la théorie de Fresnel et celle de ses adversaires. Il est vrai que , lorsqu'on essaye d'établir la théorie de la double réfraction sur la propagation du mouvement vibratoire dans les milieux cristallisés, on est conduit à supprimer certains termes dans les équations différentielles de façon à les simplifier, et que cette suppression entraine comme conséquence que les vibrations sont parallèles au plan de polarisation. Mais on peut obtenir le même résultat en établissant entre les coefficients certaines relations qui supposent les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Il n'y a donc là aucun argument décisif en faveur de l'une ou l'autre des deux théories.

Remarquons que dans la théorie de Neumann et Mac Cullagh on n'arrive à des formules conformes à l'expérience qu'en admettant simultanément le parallélisme des vibrations au plan de polarisation et la constance de la densité de l'éther dans les différents milieux,

tandis que, dans la théorie de Frcsnel, on admet simultanément la perpendicularité des vibrations au plan de polarisation et la variation de la densité de Féther d'un milieu à l'autre. Il y a donc corrélation entre ces hypothèses prises deux à deux, et, si on peut démontrer expérimentalement que la densité de Féther est variable d'un milieu à l'autre, on aura par là même prouvé que les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation. Or, en admettant avec Neumann et Mac Cullagh la constance de la densité de l'élher dans les différents milieux, on rencontre des difficultés insurmontables pour expliquer l'aberration, et en général l'influence du mouvement des milieux pondérables sur les phénomènes optiques. Il faut admettre, en efl^t, si la densité de l'étherest constante, que l'élher reste en repos pendant le mouvement des milieux que traverse la lumière, ou qu'il se meut en entier avec ces milieux; or, l'une et l'autre de ces hypothèses sont en désaccord avec les expériences do M. Fizeau.

Toutes ces difficultés disparaissent si l'on admet que Féther est inégalement dense dans les différents milieux, et que l'excès de la quantité d'éther qui existe dans un corps sur la quantité d'élher qui remplirait un espace vide de même volume se meut seul avec le corps. Nous sommes ainsi obligés de revenir à la théorie de Fresnel, et de continuer à admettre, comme nous l'avons fait jusqu'ici, que les vibrations de la lumière polarisée se font perpendiculairement au plan de polarisation.

RÉPLEIIOIS DE lA LUMIÈRE À LA SURFACE DES CORPS CRISTALLISÉS

RIRÉFRINGENTS.

Nous ne nous sommes occupés jusqu'à présent, dans l'étude des lois de la réflexion et de la réfraction, que du cas où le milieu sur lequel se réfléchit la lumière est isotrope, c'esl-à-dire où ce milieu est amorphe ou cristallisé dans le système cubique. Les phénomènes de la réflexion et de la réfraction pour un corps isotrope ne dépendent que de l'angle d'incidence et de la position du plan de polarisation des rayons incidents par rapport au plan d'incidence. Nous allons maintenant traiter le cas où l'un des milieux n'est plus isotrope, mais bien biréfringent et par conséquent cristallisé dans un système autre que le système cubique. Les phénomènes de la réflexion et do la réfraction à la surface du corps biréfringent dépendent alors do quatre éléments : l'angle d'incidence, la position du plan de polarisation des rayons incidents par rapport au plan d'incidence, la position du plan d'incidence par rapport à la face réfléchissante, el enfm la position de cette face réfléchissante |)ar rapport aux axes du cristal.

366. Premières expérieMees de Brewster. — C'est en 1819 que Brewster^') publia les premières lois expérimentales de la réflexion de la lumière sur la surface des corps cristallisés. Il opéra sur le spath et sur le bichromate de plomb : ce sont là deux cristaux très-fortement biréfringents, et les substances de cette nature sont rares. Des cristaux comme le quartz, le sulfate de chaux, qui sont peu biréfringents, ne donneraient que des eflets peu marqués. De plus, les deux corps cristallisés qu'employait Brewster sont l'un et l'autre à un axe et répulsifs : on évite ainsi la complication qui a lieu pour les cristaux à deux axes, et les résultats sont plus comparables, les cristaux étant de même espèce.

Brewster est arrivé aux lois expérimentales suivantes.

^'' Phil. Traii»., iSi(),|). i45.

1^ L'angle de polarisation complète dépend de la position du pian d'incidence et de la face cristalline sur laquelle la réflexion s'effectue. Sur une même face, Brewster, en faisant varier la position du plan d'incidence, a reconnu que l'on a, en désignant par Ç l'angle de polarisation complète, par co l'angle du plan d'incidence avec la section principale du cristal, par a et )8 deux constantes,

(P = a + (jS— a) sin^w,

/3 étant plus grand que a.

Pour 61=0, on a <P = a, et, pour «==-, on a ^==^. Donc

l'angle de polarisation complète est maximum ou minimum suivant que le plan d'incidence est perpendiculaire ou parallèle à la section principale. On peut présumer que le contraire a lieu pour les cristaux attractifs.

2° Tandis que dans les milieux isotropes la lumière réfléchie sous l'angle de polarisation complète est entièrement polarisée dans le plan d'incidence, pour les milieux cristallisés cette coïncidence n'a lieu que si le plan d'incidence est parallèle ou perpendiculaire à la section principale. Dans ce cas, en effet, tout est symétrique dans le cristal par rapport au plan d'incidence, et il n'y a aucune raison * pour que le plan de polarisation de la lumière réfléchie soit plutôt d'un côté que de l'autre de ce plan. Mais, pour toute autre position du plan d'incidence, le plan de polarisation de la lumière réfléchie fait un certain angle avec le plan d'incidence : cet angle est généralement très-petit et ne dépasse pas a ou 3 degrés.

Pour rendre le procédé plus sensible, Brewster employait un artifice qui consistait à plonger la surface réfléchissante dans un liquide; la déviation du plan de polarisation de la lumière réfléchie augmente alors d'autant plus que l'indice du liquide se rapproche plus de celui du cristal. Avec l'essence de cannelle, dont l'indice est presque égal à l'indice ordinaire du spath , la déviation du plan de polarisation est presque de 90 degrés.

367. Expériences d' Auguste deebeck. — En i83i, Auguste Seebeck ^^^ reprit le travail de Brewster. Il n'a pas examiné la

t'^ Po/^. i4nfi., XXI, 290; XXII, 196.

CORPS CRISTALLISÉS BIRÉFRINGENTS. 521

totalité des phénomènes ; il s'est borné à déterminer l'angle de polarisation complète sur un grand nombre de faces cristallines et pour beaucoup de positions différentes du plan d'incidence.

L'appareil dont il se servit était celui qui a été décrit plus haut (338); seulement il était disposé de telle sorte qu'on pût faire tourner la face réfléchissante autour d'un axe perpendiculaire à cette face, de façon à avoir un grand nombre de positions différentes du plan d*incidence.

Il y a encore une autre cause de complication dans le mécanispie de l'appareil, c'est que, le plan de polarisation du rayon réfléchi changeant de direction, on est obligé de faire tourner un peu le Nicol pour l'amener à la position où il y a extinction de l'image extraordinaire. Malgré ces difficultés, Seebeck est arrivé à de bons résultats, et la concordance des observations avec les formules théoriques doit les faire regarder comme propres à représenter les phénomènes.

Il y avait encore dans ces expériences une difficulté d'un autre ordre. Nous avons vu que pour les corps isotropes il est nécessaire, en vue de l'exactitude des résultats, d'opérer sur des surfaces récemment polies. Seebeck crut donc devoir employer des faces cristallines récemment clivées ou récemment polies. Or, dans le spath dont se servait Seebeck, tous les phénomènes de la réfraction ont lieu d'une manière symétrique tout autour de l'axe du cristal; il doit donc en Hre de même pour la réflexion. Cependant des faces clivées et des faces polies, également inclinées sur Taxe, ne donnèrent pas le même angle de polarisation. Cette divergence se remarquait surtout sur les faces polies avec du rolcothar; la déviation du plan de polarisation y était moindre que sur les faces naturelles. Seebeck pensa qu'il pouvait rester dans le colcothar un peu du sulfate de fer qui sert à le préparer et que sa réaction sur le carbonate de chaux du spath donnait du sulfate de chaux, de sorte que les propriétés du cristal devaient se rapprocher de celles du sulfate de chaux, moins biréfringent que le carbonate de chaux.

La substitution de l'oxyde d'étain au colcothar ne donna pas de meilleurs résultats : il se formait du stannate de chaux. Il fallut se servir d'une substance qui fùl sans action chimique sur le spath, et

Vkrdet, VI, — Optique, [I. 3'j

en même temps très-fine; c'est pourquoi Seebeck employa pour polir les faces cristallines de la craie pulvérulente. Alors les résultats devinrent identiques pour les faces naturelles et pour les faces artificielles également placées par rs^port à l'axe du cristal. Seebeck exécuta six séries d'expériences sur le spath :

I ° Sur des faces artificielles parallèles à l'axe et aux faces naturelles du prisme hexagonal;

2** Sur des faces artificielles inclinées sur l'axe de 97 degrés et parallèles aux faces du premier rhomboèdre aigu;

3° Sur des faces naturelles inclinées sur l'axe de lib^ai'h" (faces du rhomboèdre fondamental);

/i° Sur des faces artificielles de même inclinaison, mais de situation différente ;

5^ Sur des faces artificielles inclinées de 6& degrés sur l'axe et parallèles k celles du premier rhomboèdre obtus ;

6" Sur des faces perpendiculaires à l'axe.

II n'est pas possible d'opérer sur des faces naturelles parallèles à celles du premier rhomboèdre aigu et du premier rhomboèdre obtus, parce que ces faces ne s'obtiennent pas par le clivage.

Voici les principaux résultats expérimentaux obtenus par Seebeck.

i"* Sur une même face la formule de Brewster,

(P = a-|- (jS— a) sin^û;,

ne représente pas les phénomènes avec une approximation suflisanto. Il est probable que la vraie loi s'exprime par une formule de la forme

/(<P)=/(«) + [/(/S)-/(«)]«in««;

a et /S sont les angles de polarisation complète dans la section principale du cristal et dans la section perpendiculaire , et varient euxmêmes avec la position de la face réfléchissante par rapport à Taxe du cristal. Quant à la fonction/, c'est probablement une fonction trigonométrique simple et qui s'écarte peu de la proportionnalité à la variable entre certaines limites.

9** (l'est pour déterminer a et /3 que Seebeck fit une série d'expé-

CORPS CRISTALLISES BIREFRINGENTS. 523

riences dans la section principale sur des faces inclinées d'un anf^Ic variable 6 sur une face peq)endiculaire à Taxe, et il constata qu'en désignant par a et c les angles de polarisation complète pour une face parallèle à Taxe et pour une face perpendiculaire à Taxe, la formule, lorsque le plan d'incidence est la section principale, est

a =« sin^ 6 + c cos^ 6 ,

dans laquelle les quantités a et c sont des constantes qui ne dépendent que du cristal, puisque ce sont les angles de polarisation complète, lorsque, le plan d'incidence coïncidant avec la section principale, la face réfléchissante est parallèle ou perpendiculaire à l'axe. De même, A et c étant les angles de polarisation complète , lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à la section principale, sur une face réfléchissante parallèle à Taxe et sur une face perpendiculaire à l'axe,

on a

^ = hs\r?0 + c cos2 6.

La quantité c a ici la même valeur que dans l'expression de a, toute section étant principale pour une face perpendiculaire à l'axe.

Ces formules ne représentent les phénomènes qu'avec une approximation égale à celle des formules de Brewster. Il est donc probable que les vraies formules sont

/.(/S)=/i(t)sin^«+/,(c)cos^<?,

la fonction yi étant probablement de la même espèce que la fonction/.

On a employé une méthode expérimentale pour découvrir la forme des fonctions / et /j. Ces fonctions doivent être exactement proportionnelles aux variables pour certaines valeurs de ces variables et approximativement proportionnelles pour les autres valeurs. Les fonctions doivent croître avec leurs variables et s'annuler avec elles; /i, i, c sont des constantes qui ne peuvent dépendre que des indices de réfraction du cristal , et même b a probablement avec ces indices une relation assez simple. La quantité 6, en effet, n'est autre que l'angle de polarisation complète pour une face parallèle à l'axe,

quand le plan d'incidence est perpendiculaire à Taxe. Dans ce plan « les deux rayons réfractés se comportent comme des rayons ordinaires ayant des indices différents (1^1); il y a donc de l'analogie avec ce qui se passe pour les corps isotropes. Or, sur les milieux isotropes, lorsqu'un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence rencontre la surface sous l'angle de la polarisation complète, il ne se réfléchit pas, et la tangente de l'angle de polarisation complète est égale à l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier. Ici c'est le rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence qui donne le rayon ordinaire, puisqu'il est polarisé dans ia section principale ; son indice est donc l'indice ordinaire du cristal n. Tout étant symétrique par rapport au plan d'incidence et à celui de la section principale, et les molécules du cristal étant placées symétriquement par rapport au rayon incident, ce rayon se comportera probablement comme un rayon .tombant sur un milieu isotrope, et on peut admettre que l'on a

tang b = n.

Quant aux deux autres angles ri et c, ils ne se déterminent plus aussi simplement, car il n'y a plus de symétrie par rapport au plan de polarisation du rayon polarisé perpendiculairement à la section principale; aussi le rayon extraordinaire ne suit-il plus ia loi de Descaries, comme dans le cas précédent. On a donc cherché empiriquement les expressions de a et de c. On a trouvé ainsi les deux formules

tang « = n y/^, iangc=my/ZEï,

où n représente l'indice ordinaire du cristal et m l'indice extraordinaire.

Ces trois formules paraissent s'accorder assez bien avec l'expérience. On arrive en effet aux résultats suivants :

VALEURS GALCDLies .

, . , VALEURS ORSKRTEFS.

par les formules.

b ôS^/iq' r>8-56'

CORPS CRISTALLISÉSBIRÉPRINGENTS. 525

Seebeck a encore observé un certain nombre de phénomènes évidents par eux-mêmes, mais non ramenés à des lois' par les expériences précédentes.

i"" Sur une face perpendiculaire à Taxe tout se passe comme sur un corps isotrope. Tous les plans d'incidence étant alors identiques, la rotation du plan de polarisation du rayon incident ne dépend pas de la position du plan d'incidence.

a** Si le rayon incident est polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence, le plan de polarisation de la lumière réfléchie ne coïncide plus avec celui de la lumière incidente, à moins que le plan d'incidence ne soit une section principale ou que, la, face réfléchissante étant parallèle à l'axe, le plan d'incidence ne soit perpendiculaire à la section principale. En efl'et, sauf les deux exceptions signalées, les vibrations sont symétriques par rapport au plan d'incidence, mais non par rapport aux axes du cristal.

S"* La rotation du plan de polarisation de la lumière incidente dépend de la position de la face réfléchissante par rapport aux axes du cristal , et aussi de la position du plan d'incidence.

k"* Dans une section principale, les phénomènes sont symétriques de part et d'autre de la normale à la surface réfléchissante. Cela résulte des expériences et ne pouvait être prévu, car ici il n'y a plus nécessairement symétrie par rapport à l'axe du cristal.

368. Tentatives «le deebeelL pour établir la théorie «le la réilemioii sur lee eorps eristallisée. — Seebeck, pour établir les lois de la réflexion sur les corps cristallisés biréfringents, a cherché à les déduire par extension des principes posés par Fresnel, au moyen de raisonnements analogues à ceux que l'on fait pour les corps isotropes, à cela près que dans les cristaux biréfringents l'indice de réfraction n'est pas constant. Cette analogie ne peut se justifier rigoureusement , mais elle lui a donné des formules s'accordant d'une manière suffisante avec les résultats des expériences.

Seebeck s'est borné au cas où le plan d'incidence coïncide avec la section principale du cristal. Il admet le principe de la continuité du mouvement restreint aux composantes parallèles à la surface de séparation des deux milieux, et le principe des forces vives.

536 ilÉFLEXION ET RÉFIUCTIO» DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

Si la lumière incidente est polarisée |)erpcndlculai rement au plan

d'incidence, c'est-ù-dire perpendiculairement à la section principale,

I il n'y a qu'un rayon ré-

I fracté , le rayon extraordi-

; noire. Le principe de con-

' tinuité, appliqué comme

dans le cas des mîlieui

isotropes (313), donne

l'équation

(i — w) cost='« cosr.

Mais il faut remarquer ''*■ **■ que pour les crislaui bi-

réfrinijents cette équation n'est pas rigoureusement exacte, mais seulement approchée, car, les ondes n'étont pas sphériques dans le cristal, les vibrations des rayons réfractés sont obliques sur ces rayons.

Il faut maintenant appliquer aussi au cas actuel le principe des forces vives. Soit (fig. 69) Cl un rayon incident; il n'y a dans le cas actuel qu'un rayon réfracté, le rayon extraordinaire, et, pour trouver la direction de ce rayon , nous n'avons qu'à appliquer la construction de Huygbens. Prenons sur l'intersection du plan d'incidence avec ta face du cristal et à partir du point I une longueur 11 égale à rrr-; menons par le point I une droite IK parallèle à l'axe du cristal et une droite perpendiculaire; sur ces deux droites prenons des longueurs lA et IB telles, que l'on ait lA =-, IB^^* n et m étant les indices ordinaire et extraordinaire du cristal; construisons une ellipse ayant pour demi-axes 14 et IB; menons par le point r une tangente l'P à cette ellipse et joignons le point P au point I; IP sera le rayon extraordinaire.

Soient IHBS et l'MNL les bases des prismes d'éther pris dans les deux milieux cl tels que le mouvement du premier prisme se communique au bout d'un certain temps au second. Si nous désignons par V et U ces volumes, par t> et u les amplitudes du rayon incident et du rayon réfracté, par A la densité de l'étlierdansle second milieu.

COUPS CRISTALLISÉS BIRÉFRINGENTS. 527

la densité de i'éther daas le premier milieu étant prise pour unité, le principe des forces vives donnera l'équation

V(i-t)2) = AUt|2.

sin r

La densité A n'est pas ici en raison inverse du carré de -; — ^

1 SU) l

car Tindice est variable et A est constant; mais, pour avoir une équation de même forme que dans les milieux homogènes, Seebeck n'en pose pas moins, en négligeant la variation de l'indice,

Q étant égal à -r— ^ • o sini

Si l'on a pris RI = rH = irsin i= 1 , comme la largeur IH du prisme est égale à ircosî = 7: — T^ le volume V sera représenté, en prenant pour unité la hauteur du prisme, par

*r cos i V =— : r •

sin I Quant au volume U, il a pour expression

I'M.MN.l=^^ = ^a

sm I siu i SU) {

n n'est pas une constante, mais bien une fonction de l'angle i et de la position de la face du cristal par rapport à l'axe. L'équation des forces vives prend donc la forme

. / „ V tt' cos r

C0Sf(l-r2) = — jj— .

et l'on a, entre les quantités t\ m, t, r, 9, ^, a^ fS^ a^ h, c, uy, n et m, les équations suivantes :

Ji^(p)^fi^a) cos2ey+/(iS) sin^ e,.

/j («) =/i (a) sin2 e +/i (c) cos^e,

./;(/3)==/(A)sin^ff+/,(0cos^e^ (i - r) COS I =^ M cos r,

/ nv m'cos/- (, - r2)cos*-— ^^

sinr

Gomme la quantité Q, a été supposée égale à z- — ' 1^ àewL dernières équations sont celles qui ont lieu pour les milieux isotropes dans le cas oii la lumière est polarisée perpendiculairement au plan

d'incidence. On a donc

tang(i-r) tang(i-i-r)

et, pour t + r= 90 degrés, il vient t;=o ; t est alors langle de polarisation complète et égal à l'angle que nous avons désigné par Ç. Cet angle (p peut être déterminé en fonction de 0, m, n. A cet effet, il suffit de remarquer que, en désignant par x^ et y„ les coordonnées du point P où la tangente menée par le point I' touche l'ellipse, on a

:r,=y,tangr,

et puisqu'ici l'angle i est égal à l'angle (p de la polarisation complète et que l'on a par conséquent ^ + r= 90 degrés,

y„— a?„tang(p.

Or les coordonnées x^, y^ peuvent facilement se calculer en fonctions de 0,^, m et 11. En remplaçant dans l'équation précédente x^ et y, par leurs valeurs, on aura entre ^, 0, m et n une relation qui peut se mettre sous la forme

On a d'ailleurs, du moins approximativement, d'après ce que nous avons vu plus haut,

tanga=« y ^|. tangc = m y ^^77'

d'où

Nous pouvons donc écrire

sin^^=sin^rtsin^9 + sin^ccos'^d.

CORPS CRISTALLISÉS BIRÉFRINGENTS. 529

En comparant cette équation avec celle qui a été posée précédemment, et qui est

/i(«)=/i(«)sin^fl+/,(c)cos2e,

on voit que la fonction y^ parait devoir être un sinus au carré. On doit se demander alors si, dans l'équation

/(^)=/(«)cos'"+/(^)"n«â,,

la fonction/ n'est pas de mémo forme que^^, ce qui donnerait

sin* (p = sin^ a cos^ cû + sin^ j8 sin^ ûi.

En donnant aux fonctions / et yj la forme sin^, on satisfait du reste aux conditions que nous avons indiquées plus haut comme devant être remplies par ces fonctions. De plus, il se trouve que ces fonctions donnent les formules qui sont le mieux d'accord avec les expériences. On peut donc admettre que les formules où les fonctions y* et/; ont reçu la forme sin^ ont la valeur de formules empiriques que toute théorie devra expliquer. Cela est vrai, du moins pour les cristaux peu biréfringents, comme le sont presque tous les cristaux connus; mais il est probable que, si les indices m et n différaient notablement Tun de Tautre , les formules cesseraient d'être applicables.

369. Tliéorle «le Neiinumii. — Après Seebeck, Neumann a fait de son côté un travail qui est une véritable théorie de la réflexion sur les milieux cristallisés ^^K Mais cette théorie est fondée sur l'uniformité de densité de l'éther, sur la continuité absolue du mouvement, et par conséquent aussi sur le parallélisme des vibrations au plan de polarisation. Ces principes , comme nous l'avons vu précédemment (365), sont en contradiction complète avec les expériences de M. Fizeau. Quoi qu'il en soit des bases de la théorie de Neumann, nous allons néanmoins, sans entrer dans les détails des calculs, faire connaître les équations fondamentales auxquelles cette théorie l'a conduit et les vérifications expérimentales qu'il a faites de ces ré-

<'î Ueber den Einfimt der Kryttaljiàchen bei der Réflexion deë LickleB, Berlin , 1 835. — Pogg' Ann. , XL, ^197.

sultats. Dan8 l'hypothèse de Ncumann, les vibrations du rayon extraordinaire sont perpendiculaires h la section principale, et, par suite , leur direction est déterminée ; quant aux vibrations du rayon ordinaire, elles sont dans le plan de la section principale et perpendiculaires au rayon : leur direction est donc aussi connue.

Gomme les vibrations perpendiculaires ou parallèles au plan d'incidence n'y restent pas en général, il n'y aurait aucune simplification à supposer la lumière incidente polarisée parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence. Nous prendrons donc immédiatement le cas général , et nous désignerons par $ l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence. Le mouvement vibratoire du rayon incident peut se décomposer en deux, dont l'un est perpendiculaire au plan d'incidence et a pour amplitude sin0» et l'autre est dans le plan d'incidence et a pour amplitude cos0. Cette dernière composante peut elle-même se décomposer en deux autres : l'une parallèle ii la surface réfléchissante et ayant pour amplitude cos0cost, l'autre perpendiculaire à celte surface et ayant pour amplitude cos0sint. Désignons par a et a! les angles des vibrations du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire avec la normale au plan d'incidence, par /3 et /3' les angles de ces mêmes vibrations avec la trace du plan d'incidence sur la surface réfléchissante , enfin par y et yMes angles des vibrations avec la normale à la surface réfléchissante. En appelant v et v' les amplitudes des composantes des vibrations du rayon réfléchi suivant le plan d'incidence et suivant une perpendiculaire à ce plan , u et u' les amplitudes des vibrations du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, le principe de la continuité du mouvement appliqué aux composantes suivant les trois axes, qui sont la normale au plan d'incidence, la trace du plan d'incidence sur la surface réfléchissante et la normale à cette surface, donne les équations suivantes :

(i) s\nO+v'=ucosa-hu'cosa\

(•i) (cosô — »)c0Sï = MC0S/3+li'C0SiS',

(3) ( cosfl — v) sin t = tt cosy + u' cosy .

Los angles a, ^.y , a\ /3', y contenus dans ces formules peuvent

CORPS CRISTALLISÉS BIRÉFRINGENTS. 531

élre déterminés en fonctions de certaines quantités, en s'appuyant sur la construction de Huyghens. En désignant par ^ Tangle de l'onde plane ordinaire avec la face réfringente, par 4^' Tangle de* fonde plane extraordinaire avec la face réfringente, par N l'angle de la normale à la face réfringente avec l'axe du cristal , par ai l'angle du plan d'incidence avec la section principale, par x l'angle de la normale aux ondes ordinaires avec l'axe du cristal, par x' l'angle de la normale aux ondes extraordinaires avec l'axe du cristal , on trouve

sinNsin&; , cosNsintL — sinNcos>l'cos6ii

cosa= : » cosa = — ; — -, »

suix smx

//v) ^ cosJ/(cosNsin>L~sinNco8J/cosû;) ^, sinNcosxt'sinû;

(4)( cosiS= ^^ -, -S cosi8= 7—^, y

^ ^ » ^ sHix smx

sîntI/(cosNsin>{/— sinNcostLcoso;) , sinNsintl/'sinû; 1 cosy-= ^-^ ^ \ cosy = ;— ^ •

En appelant V et V les volumes des prismes d'éther pour les rayons ordinaires et les rayons extraordinaires dans lesquels se transporte au bout d'un certain temps le mouvement vibratoire d'un prisme d'éther d'un volume égal à l'unité pris dans le milieu incident, le principe des forces vives donne l'équation

sin r cosr

L'expression de V est , d'après ce que nous avons vu plus haut ,

-» i et r étant les angles d'incidence et de réfraction du sini sint ^

rayon ordinaire, lesquels sont liés par la relation sint = nsinr; on

a de même V' = ^-:— •— ^^ — r- Mais il s'agit ici du rayon extraordi-

sin i sin i o j

naire, et il faudra calculer r' en s'appuyant sur la construction de Huyghens. En substituant à V et V leurs valeurs, l'équation des forces vives devient

/ / 2 , /.i\ u*8in4/cos>^ I \ ' / smtcosi

sin I cos i \ «* — (a^ — &*) cos* x' J '

533 lïÉFLËXlON ET RÉFSACTIO» DE LA LUMIÈRE POLARISËB.

les lettres a et 6 ayant la signification qu'on leur donne ordinairement

dans la thëorie de la double réfraction.

Si l'on réunit cette équation (5) auiî trois équations (i), (s), (3) dans lesquelles on remplace cos<x, cosa', cos/3, cos^', cos^, cosy' par leurs valeurs données par les équations (A), on aura quatre équations qui permettront de déterminer les composantes v et v' de l'amplitude du rayon réfléchi, et tes amplitudes u et u' du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire en fonctions des angles i, 0 et N qui doivent être donnés dans chaque cas particulier, et des an^es x- ;c', 4') ^' qui se déduisent des angles donnés par la construction de Huyghens.

370. ExpérleHce* de lVeua«»Bn. — Neumann a vérifîé par l'expérience les formules auxquelles il était parvenu. L'appareil dont il se servait (fig. "joi) se compose d'un cercle horizontal gradué G qui porte un limbe vertical gradué L , mobile autour de son diamètre vertical. Le cercle C est concentrique à un cercle C au centre duquel on place le cristal A ; ce cercle C peut tourner dans le cercle C , qui est gradué sur tout son contour. Un tube horizontal T, à l'extrémité B duquel on place une lampe, contient une tourmaline et amène ainsi un rayon polarisé rcclilignement sur le cristal. Le rayon réfléchi ou réfracté est reçu dans un second tube T' qui peut tourner autour du centre et qui porte uo analyseur N à son extrémité. Avant de se servir de l'appareil, il faut le régler. Il faut d'abord amener le limbe vertical à être parallèle à son axe de rotation. A cet effet, on place en son centre une lame réfléchissante et on reçoit sur une lunette borïzonlale l'image, réfléchie par ' cette lame, d'une mire verticale. Sî le miroir, et par suite le limbe, est parallèle à l'axe, en faisant tourner le limbe l'image de la mire restera parallèle à elle-même; s'il en est autrement, on établit le parallélisme par une série de tâlonnements. On cherche ensuite pour quelle position la section principale de la lame cristalline placée au centre du limbe est hu-

CORPS CRISTALLISÉS BIRÉFRINGENTS. 533

rizonlale. Pour cela on laisse à celte lame cristalline une aréte naturelle que Ton place horizontalement : pour s'assurer que cette aréte est bien horizontale, on se sert d'une mire horizontale comme dans le goniomètre de Wollaston; puis, sans déranger l'horizontalité de cette aréte, on place la face du cristal qui doit réfléchir la lumière verticalement et parallèlement au plan du limbe vertical; enfin on fait tourner la face du cristal autour d'un axe horizontal d'un angle égal à celui de la section principale avec l'arête naturelle, angle déterminé par la nature du cristal , et alors la section princi- |)ale est horizontale.

Il faut voir aussi quelles sont les divisions auxquelles correspondent les positions verticales des sections principales de la tourmaline et de l'analyseur. Pour cela, on place horizontalement la section principale de la lame cristalline comme nous venons de l'expliquer, et on fait arriver un rayon incident horizontal; puis on dispose l'analyseur de façon à faire disparaître l'une des deux images. Gomme le rayon incident est dans la section principale du cristal, la section principale de l'analyseur est alors parallèle ou perpendiculaire à celle du cristal, et, par suite, horizontale ou verticale. Enfin on éteint à l'aide de l'analyseur le rayon qui traverse la tourmaline, en plaçant celle-ci convenablement, et on note la position de la tourmaline à ce moment.

Il faut encore connaître la position pour laquelle la face verticale du cristal est perpendiculaire au rayon incident. Pour cela , on reçoit ce rayon d'abord directement dans une lunette, puis on le reçoit dans la même lunette après réflexion sur la lame cristalline, et la moitié de l'angle dont la lunette a tourné est égale à l'angle que fait le miroir avec la direction du rayon incident. On peut donc amener la lame dans une position où cet angle devient droit.

On voit que, par cette disposition, on pourra faire varier l'angle du plan de polarisation du rayon incident avec le plan d'incidence au moyen de la tourmaline; l'angle d'incidence en faisant tourner le limbe vertical autour de son axe vertical, et l'angle du plan de polarisation de la lumière incidente avec la section principale du cristal, en faisant tourner la face réflérhisscinte autour d'un axe horizontal..

53A REFLEXION ET REFRAGTIOiN DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

C'est ainsi que Neumnnn exécuta sept séries d'expériences :

i"" En touchant seulement à la tourmaline il a cherché pour diverses incidences quel était l'azimut du pian de polarisation du rayon incident lorsque l'image extraordinaire disparaissait dans l'analyseur. 11 a trouvé ainsi que le plan de polarisation ne coïncide pas dans ce cas avec la section principale, mais fait avec elle un certain angle. La différence entre les angles observés et les angles calculés par les formules varie de — 8' à + /i',5.

s^ En cherchant de mémo quel est l'azimut du plan de polarisation du rayon incident quand l'analyseur éteint l'image ordinaire, on trouve des nombres dont les différences avec ceux qui sont déterminés par le calcul varient entre — 9' et + 5'. Il est h remarquer que ces deux azimuts ne font pas entre eux un angle droit; la différence de l'angle des deux azimuts avec 90 degrés peut s'élever jusqu'à a*5'. Mais cette absence de perpendicularité des deux azimuts n'a jamais lieu que dans des conditions où le plan d'incidence fait avec la section principale un angle considérable, et oii le rayon s'éloigne de la direction normale. Si le rayon incident tombe normalement sur la face réfringente , ou si le plan d'incidence coïncide avec la section principale, la perpendicularité est rigoureuse. Ainsi cette remarque n'enlève rien à la précision du prisme de Nicol, où le plan d'incidence coïncide avec la section principale , ni à celle du prisme biréfringent sur lequel on doit recevoir le rayon normalement.

S^-A** La troisième et la quatrième série d'expériences sont corrélatives et consistent à mesurer la rotation du plan de polarisation du rayon réfléchi , lorsque le rayon incident est polarisé dans le plan d'incidence ou dans le plan perpendiculaire, en excluant le cas où le plan d'incidence coïncide avec la section principale ou avec un plan perpendiculaire à cette section.

La rotation du plan de polarisation du rayon réfléchi est plus grande lorsque la lumière incidente est polarisée parallèlement au plan d'incidence, et la théorie montre que, dans ce cas, la rotation peut aller jusqu'à 1 i*/i5'; les écarts entre les nombres observés et les nombres calculés varient entre — 5' et + 1 9'. Lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, la rotation du plan de polarisation du rayon réfléchi ne

CORPS CRISTALLISES BIREFRINGENTS. 535

peut dépasser 4** 8', et les différences entre les nombres observés et calculés varient de — 6' à + 8'.

o'^-G* Réciproquement, si Ton veut que le rayon réfléchi soit polarisé dans le plan d'incidence ou dans le plan perpendiculaire, il faut que le rayon incident soit polarisé dans un plan différent de celui où doit être polarisé le rayon réfléchi. La rotation du plan de polarisation va, comme dans le cas précédent, jusqu a i l'^/itV quand le rayon réfléchi est polarisé dans le plan d'incidence, et alors les différences entre les nombres observés et les nombres calculés varient entre — a 4' et + 35', et jusqu'à A® 8' seulement si le rayon réfléchi est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, et alors les différences varient de — 5' à + 8'.

7"* Enfin la dernière série d'expériences consistait à déterminer l'azimut du plan de polarisation du rayon incident qui donne un rayon réfléchi polarisé dans un azimut donné. Les différences entre les nombres observés et les nombres calculés vîiriaient alors de — 1 6' à +34'.

371. Empérlciices «le De Senarmoiit «oiui rinciiieiiee lionnale. — Lorsque l'incidence est normale , pour les corps isotropes, le rayon réfléchi reste polarisé dans le même plan que le rayon incident. Pour les cristaux biréfringents, il n'en est plus de même. Sauf le cas où la face réfléchissante est perpendiculaire à l'axe du cristal et où par suite tout plan d'incidence est une section principale, le rayon incident polarisé dans un plan qui n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à la section principale, a son plan de polarisation dévié par la réflexion, même sous l'incidence normale. Car le mouvement vibratoire de ce rayon peut se décomposer en deux autres mouvements s'effectuant l'un dans la section principale, l'autre dans un plan perpendiculaire à cette section, et, l'intensité de ces deux composantes étant modifiée d'une manière différente par la réflexion, le plan de polarisation du rayon réfléchi fera un certain angle avec celui du rayon incident.

De Senarmont a constaté cette déviation du plan de polarisation sous l'incidence normale, sans la mesurer. Il se servait à cet effet d'un artifice du à M. Fizeau, et qui permet de recevoir le rayon ré-

536 RÉFLEXION ET BÉFBACTION DK LA LUMIÈRE POLARISÉE, fléchi normalement sans recevoir le rayon incident. On reçoit sur une lame de verre ST (fig. 71) un rayon polarisé AB, pui,s on fait réfléchir normalement le rayon réfléchi par cette lame ST sur une autre lame de verre KL. Le rayoD réfléchi traverse la lame de verre ST et émerge suivant BM. On reçoit ce rayon émergent sur un NIcol et on cherche quelle position il faut donner au prisme pour éteindre le rayon BM. On place alors sur la lame KL une lame cristallisée, et on constate que l'image reparaît dans le Nicol et qu'on ^'■T- peut la faire disparaître de nouveau en tournant

le Nicol de quelques degrés. Mais celte rotation du prisme ne mesure pas la rotation du plan de polarisation due à la réflexion, car le rayon BM a été modifié par sa réfraction à travers la lame ST.

RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE À LA SURFACE DES MÉTAUX ET DES CORPS FORTEMENT RÉFRINGENTS.

A. I4OI9 KXPiRIHENTALBS DE LA RÉlPLBXION METALLIQUE.

Malus avait déjà reconnu que la lumière naturelle, en se réfléchissant sur la surface d'un métal, ne peut se polariser complètement sous aucune incidence. Les lois déduites de la théorie (le Fresnel pour les corps isotropes ne sont donc pas applicables aux métaux; elles ne le sont pas non plus aux corps fortement réfringents. Nous allons étudier les phénomènes particuliers produits par ce genre de réflexion qui a lieu h la surface des métaux et des corps fortement réfringents.