CONSTITUTION DE LA LUMIÈRE NATURELLE ET DE LA LUMIÈRE
PARTIELLEMENT POLARISÉE"'.
188. Explicatl^ii des propriétés 4c la lumière naturelle •u partiellement polarisée au majen 4e la sueee— lau rapl4e au 4e la simultanéité 4e iribratlans 4lflérentes. — La
forme la plus générale que puisse affecter la vibration d'une molécule d'éther est, comme nous l'avons vu précédemment (45), l'ellipse; cependant, ni la lumière polarisée elliptiquement, ni la lumière polarisée circuiairement ou rectilignement, n^ reproduisent les propriétés de la lumière naturelle ou de la lumière partiellement polarisée : il y a donc lieu de rechercher quelle est la constitution de ces deux dernières espèces de lumière.
La manière la plus simple de rendre compte des phénomènes que présenle un rayon naturel ou un rayon partiellement polarisé consiste à admettre, comme Frosnel l'a proposé pour la première fois, qu'en un point donné d'un tel rayon la forme et l'orientation de l'ellipse décrite par la molécule vibrante et la phase de la vibration subissent des variations très-fréquemment répétées, l'intensité et la période des vibrations demeurant seules constantes. On conçoit alors que, si le rayon est reçu sur un analyseur biréfringent , l'intensité de chaque image est variable d'un instant à l'autre, mais parait, à cause de la rapidité avec laquelle s'accomplissent ces variations, conserver une valeur uniforme qui, suivant la manière dont s'eflFectuent les changements que subissent les vibrations, peut être dépendante ou indépendante de Torientation de l'analyseur, mais qui dans aucun cas ne peut se réduire à zéro. De plus, un rayon ain^:i constitué doit évidemment conserver ces propriétés en traversant une lame cristallisée assez mince pour ne pas séparer les deux rayons issus de
^') Pour plus de dëveloppements , voyez, dans ie tome 1*'des Œuvres de Verdeiy le Mémoire intitule : Étude sur la constitution de la lumière non polarisée et de la lumière partiellement polarisi^e. On peut consulter aussi le mémoire de Stokes : On the Composition and Résolution ofPolarized î.ight from différent Sources (Catnbr. Trans.. IX, 399).
la double réfraction. Le rayon sera d'ailleurs naturel ou partiellement polarisé suivant que les différentes polarisations qui se succèdent rapidement en un point de ce rayon se compenseront exactement on bien d'une manière incomplète.
Nous avons déjà eu occasion, lorsqu'il s'est agi d'expliquer la non-interférence des rayons émanés de deux sources physiquement distinctes (28), de parler de ces changements rapidesîquij surviennent dans l'état vibratoire d'une source lumineuse et d'en indiquer les causes.
Un |)oint important, c'est que les propriétés de la lumière naturelle, de même que l'impossibilité de faire interférer des rayons provenant de deux sources distinctes, s'expliquent tout aussi bien par la coexistence de vibrations diverses dans un espace très-resserré que par leur succession dans un temps très-court. Soit, par exemple, un gaz incandescent qui, comme on sait, émet toujours et dans toutes les directions de la lumière polarisée : à un instant donné, une des molécules du gaz émet des vibrations polarisées d'une manière déterminée, mais une molécule voisine émet des vibrations polarisées d'une autre manière, et, à chaque instant, il y a compensation exacte entre les polarisations diverses sur une très-petite étendue de la flamme; en sorte que, si l'on regarde celte flamme avec un analyseur biréfringent, l'intensité lumineuse est réellement variable d'un point à l'autre dans chaque image à l'instant considéré, mais que ces variations, insensibles à cause de leur grand nombre, donnent l'apparence d'une intensité uniforme indépendante de l'orientation de l'analyseur. La durée de l'incandescence pourrait donc se réduire indéfiniment sans que la lumière émise offrit des traces sensibles de polarisation. Cette considération est peut-être nécessaire pour expliquer dans certains cas l'absence de polarisation de la lumière électrique. En effet, il n'y a rien d'impossible à ce que la durée de certaines étincelles descende à un dixmillionième de seconde; les expériences de MM, Fizeau et Foucault permettent d'ailleurs de supposer que le mouvement vibratoire d'un de leurs points ne subisse pas de perturbations pendant la durée d'un million de vibrations. Dans ces conditions, le nombre des alternatives de vibrations que pourrait offrir la lumière serait au plus
de 60 pour une longueur d'onde égale à ©"".oooS, puisque pour cette longueur d'onde le nombre des vibrations est d'environ 600 triliions par seconde. Il serait bien difficile qu'un aussi petit nombre d'alternatives sufRt à compenser les unes par les autres les diverses polarisations, et il semblerait, si on n'avait égard aux considérations que nous venons d'indiquer, que la lumière de l'étincelle dût offrir des traces de polarisation.
Ainsi on doit prendre également en considération la succession et la coexistence des vibrations diversement polarisées, pour rendre compte des propriétés de la lumière naturelle ou partiellement polarisée, mais il n'est pas nécessaire de traiter à part des effets de ces deux causes, car tout ce qu'on peut dire de l'une peut se répéter de l'autre. Nous nous bornerons donc, conformément à l'usage général, à considérer les effets d'une succession rapide de rayons diversement polarisés, et nous sous-entendrons toujours l'^et identique de leur juxtaposition dans un espace trè&-resserré.
189. C«iiditl«iui aumqucUé* d«it mtMmÊmMr^ mi mjmièmne 4c iribrati«iui peur «oiuitltuep 4e Mm lumière ■aturelle. —
La lumière naturelle est caractérisée par deux propriétés essentielles :
1^ Lorsqu'un rayon de lumière naturelle rencontre sous l'incidence normale un cristal biréfringent, il se divise en deux rayons dont les intensités sont indépendantes de l'orientation du cristal ^^K
a* Un rayon de lumière naturelle conserve cette première propriété après son passage à travers une lame cristalline à faces parallèles, trop peu épaisse pour séparer l'un de l'autre les deux rayons issus de la double réfraction , et assez faiblement biréfringente pour ne pas établir de différence sensible entre leurs intensités.
Le système des vibrations diverses et diversement orientées dont la succession rapide constitue la lumière naturelle doit donc satisfaire à deux conditions : il faut d'abord que, si l'on projette à chaque
^') On dit le plus eoavent que ces deux rayons sont égaux en inlensité , mais cela n'est pas théoriquement vrai, et, même dans les corps fortement biréfringents, la différence peut être rendue sensible à Texpérience. Voyez à ce sujet les recherches photomélriqiirs de M. Wilde, Ann, de chim, et âfiphyt.^ (3), LXIX , 2.38.
instant la molécule vibrante sur un pian mené par la direction du rayon , la composante du mouvement vibratoire ainsi obtenue , considérée pendant un temps très-court mais suffisant pour contenir un nombre très-grand d'alternatives de vibrations, ait la même intensité moyenne, quelle que soit l'orientation du plan considéré; en outre, il est nécessaire que la même propriété subsiste après qu'on a soumis le rayon naturel h une action qui n'altère pas le rapport des intensités des composantes du mouvement estimées suivant deux directions rectangulaires, et qui ajoute une quantité constante à la différence de leurs phases. Nous allons nous proposer de trouver l'expression analytique de ces conditions et faire voir qu'il est possible d'y satisfaire.
Soient, dans un plan perpendiculaire à la direction d'un rayon lumineux non polarisé, deux axes rectangulaires quelconques. L'une quelconque des vibrations qui se succèdent en un point du rayon à de très-courts intervalles pourra être représentée pat deux équations de la forme
;r = asinairf r-p + a) »
y ===6sin2ff VT"^'^)' ou, en faisant ùir fq-,-f «j =^, û7r(/3— a) =-^,
^ = a sin Ç , y = 6 sin ( Ç -t- ^),
On n'ôterarien à la généralité de ces équations, et on rendra la discussion plus facile, en supposant que a et 6 sont toujours positifs, pourvu qu'on regarde S comme susceptible de recevoir toutes les valeurs comprises entre zéro et an; les valeurs comprises entre zéro et 'JT répondront dans cette hypothèse à des vibrations polarisées elliptiquement de gauche à droite, et les valeurs comprises entre n et STT à des vibrations polarisées elliptiquement de droite à gauche.
Suivant deux autres axes rectangulaires menés dans le même plan, la même vibration elliptique aura pour composantes
^' ==: X cos û> 4- y sin ctf, y' =^ — j? sin« + y cosw,
Verdbt, VI. — Optique , II. 6
83 POLARISATION CHBOMATIQIE.
eo d^.<)lgnant par oê Fangle de l'axe des x avec Taxe des x : en développant les valears de x et de y, il vient
;r' ^= ia cos6û + h cos Jsin») sin^ -h ^ sin J sin» cos^, y'^- f — tf sînfii;-^ icosJcosûi) sîn(p-h&sin Jcos^cos^.
Si Ton reçoit le rayon normalement sur un cristal biréfringent orienta de façon que les plans de vibration des deux rayons auxquels il donne naissance soient parallèles aux axes des x' et des y\ dont la direction est tout à fait arbitraire, les intensités de ces deux rayons seront proportionnelles aux intensités des composantes représentées par les deux dernières équations, et par conséquent égales à
m' [a^ cos^ cj + fP^ sin* ca + aab cos S sin of cos o^)
et à
n' (a' sin* û> + i* cos' o) — aab cos S sin cj cos û)) ,
m et n étant deux coefficients très-voisins de l'égalité, mais non exactement égaux. Ces expressions dépendent de l'angle oi, mais elles varient d'un instant à l'autre avec les paramètres a, b, S^ et, pour que le rayon jouisse de la première propriété de la lumière naturelle, il faut et il suffit que les valeurs moyennes, prises pendant un temps très-court, mais assez long pour contenir un nombre très-grand d'alternatives , soient indépendantes de œ. Donc , en désignant généralement par M (z) la valeur moyenne ainsi définie d'une quantité quelconque z, il faut et il suffit que les expressions
M (a*) cos'û; + M (i*) sin^cû + aM [ah cos S) sinûi cos«
et
M (a*)8in'û;+M (i*) cos'ûj— aM (ab cos S) sin ù> cos cû
gardent les mêmes valeurs quel que soit 6), et par suite que l'on ait
M(a') = M(i2), M(aicos^) = o.
La même propriété devant subsister encore après le passage du rayon à travers une lame cristalline, et en particulier lorsque la section principale de cette lame est parallèle à l'axe des x, il faut et
LUMIÈRE iNATLRELLE. 83
il suffit qu'en appelant e la différence de phase qui s'ajoute dans ce cas à la différence S^ c'est-à-dire la quantité que nous avons dési^^née
précédemment par 9w — t—^i on ait, quel que soit e,
M [ab cos (^+ e)] = G , d'où
M [ab cos^) = G, M (aAsin<y) = g.
Ainsi les trois conditions suivantes caractérisent toute succession rapide de vibrations jouissant des propriétés par lesquelles on définit la lumière naturelle :
(i) } M(a6cos^)== 0,
yi[absmS) = o.
11 n'est pas difficile de prouver que , si ces conditions sont satisfaites relativement à deux axes rectangulaires OX et OY, elles le seront aussi par rapport à deux autres axes rectangulaires OX' et OY'. Si, en effet, on représente le mouvement vibratoire décomposé suivant ces nouveaux axes par les équations
x' = a' sin Ç/, y' = b' sin (^'-f- S') ,
on doit avoir, d'après ce qui précède^
a' sin ^ = (a C08 ûi + i cos S sin cj) sin ^ -h ^ sin S sin â; cos ^, ft'sin(Ç'-f-(J*)==(— asinû) + 6cos^cosû;) sin^4-isin^cosû)cos^,
et par suite, en vertu des règles du calcul des interférences,
a!^ = fl^ cos^ cj + bl^ sin^ û> -f- aa6 cos S sin 6i cos a> ,
6'^ «= à^ sin^ ù) + b^ cos^ oj — Qab cos S sin â; cos &> ,
,, . 6 sin (^ sin Cl)
tang (<p' — (p) = 7 ^. — -»
"^ ^^ acosa> + 6cosd sma>
/-/ A -\ 6sin<îcosû>
tang(<p'-t-J~(p) = : -. — -.
On déduit de là par un calcul facile
a'6'cos^=a6 cos^(cos^û; — sin^û;) — («^— i^) sincy cosû;,
ciy sin y=ab sin Sj
et il est évident, à l'inspection de ces formules, que, si les conditions (i) sont satisfaites, on a, quel que soit 6i, c'est-à-dire quelles que soient les directions des nouveaux axes,
M(fl'6'cos^) = o, M(a'6'sin^') = o.
190. C^iuititufion de» systèmes de iribratloiis les plus simples qui puissent former de la lumière naturelle» —
Les conditions que nous venons de trouver peuvent être satisfaites d'une infinité de manières qu'il est inutile de spécifier, mais il est intéressant de rechercher quelle est la combinaison de vibrations la plus simple qui y satisfasse. Une vibration à polarisation constante ayant des propriétés parfaitement distinctes de celles de la lumière naturelle, il faut au moins deux espèces de vibrations diverses alternant l'une avec l'autre. Soient a^, 6^ , ^^ et 02, 62, ^2 ^^^ paramètres caractéristiques des deux vibrations, t la durée pour laquelle on prend la moyenne des expressions a\ l^^ ah cos S et ah sin ^, m^ et m^ les fractions de cette durée qui appartiennent aux deux modes de vibrations; on aura
M (fl^) = m^af + in2a2,
M (a6 cos<î) = m^aj)^ cos^j + 1112^2 ^2 ^^^^ ^2 ^ M (fltsin^) = Wifljii sin^i + m2a2^2sin52»
et par suite, si la succession alternante de ces rayons possède les propriétés de la lumière naturelle,
1 m^a\ + m^a\ = myh\ + m^b\, (a) . r WiC/161 cos^i + W2fl2^2 cosJ'2== 0,
( m^aih^smSi + m^a^h^smS^^- 0.
On déduit immédiatement de ces deux dernières équations
tang^i = tang<Î2^ c'est-à-dire
La première hypothèse conduit immédiatement à
^1^1 ^1 H" W*2fl2 ^2 ^^ ^ '
et, comme les quantités m^, nts, aj» o^, ^i, &2 ^^^^ positives, d'après ce que nous avons supposé plus haut, cette relation ne peut être sa^ tisfaite qu'autant que Ton a
ou
62 = 0, aj = o ,
ce qui montre que les deux rayons doivent être polarisés à angle droit l'un sur l'autre, et que leurs intensités doivent être en raison inverse de leurs durées. La seconde hypothèse indique que les deux vibrations doivent être polarisées elliptiquement en sens contraires et donne de plus la condition
en la combinant avec la première des équations (s), on trouve facilement
d'où
et par suite
Les équations des deux rayons dont l'alternance peut constituer de la lumière naturelle sont donc
Xi = «1 sin ^, a?2= h y^ sin^,
yi = *isin(^ + J'i), y2 = -«iy5shi((p + ^i).
Il est évident que les deux vibrations ainsi définies i^ont polarisées
elliptiquement en sens contraires, qu'elles s'exécutent suivant des ellipses semblables, mais tellement orientées que le grand axe de Tune coïncide avec le petit axe de l'autre, et que leurs intensités sont en raison inverse de leurs durées relatives. Cette solution comprend comme cas particulier la précédente, car deux vibrations rectilignes perpendiculaires l'une à l'autre peuvent être regardées comme deux ellipses semblables placées de manière que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre : en outre, comme dans des vibrations rectilignes il n'y a rien d'analogue aux deux sens de la polarisation elliptique, on peut toujours les assimiler à deux vibrations elliptiques de polarisations opposées.
En ayant égard à cette remarque on peut énoncer comme il suit le résultat des calculs précédents :
La lumière naturelle peut résulter de l'alternance de deux espèces de vibrations elliptiques seulement, pourvu :
1** Que les intensités de ces vibrations soient en raison inverse de leurs durées;
2" Que l'une des vibrations puisse être considérée comme dérivée de l'autre par une rotation de 90 degrés et par une réduction des axes dans un rapport déterminé;
3° Que les deux polarisations elliptiques soient d'espèces contraires.
M. Slokes a proposé d'appeler rayons contrairement polarisés deux rayons polarisés elliptiquement qui satisfont aux deux dernières conditions. En adoptant cette définition on peut dire que le moyen le plus simple d'obtenir de la lumière naturelle consiste à faire alterner l'un avec l'autre deux rayons contrairement polarisés, les durées de leurs alternatives étant inversement proportionnelles à leurs intensités. Un nombre quelconque de coupleis de rayons contrairement polarisés satisfaisant à ces conditions est encore une solution du problème.
Le théorème qu'on vient de démontrer donne une infinité de . manières de constituer de la lumière naturelfe ; mais il y en a encore une infinité d'autres sur lesquelles nous présenterons quelques remarques générales.
Considérons d'abord un système de/? — 1 vibrations rectilignes, entièrement arbitraires. Le système satisfera toujours à l'une des
conditions caractéristiques de la lumière naturelle, puisque, <^ ne pouvant être égal qu'à zéro ou à ir, on aura nécessairement
M (a6sin^) = o.
Désignons maintenant par A, B, G les valeurs des trois expressions M (a^), M (6^), M (a6 cos^), c'est-à-dire faisons
mial + m^a2+ . . . +»»^iû,«i = A, iwi 6f + 1112 6^ + . . . +m^ii2 i^B,
pour que le système jouisse des propriétés de la lumière naturelle , il suffira d'ajouter à ce groupe une p^^^ vibration définie par les paramètres ^p9 b^^ f^p et satisfaisant aux conditions
mpaJ + A = mp6J + B, ±m^a^b^ + G = o,
ce qui a lieu si m^ a^, m^ b^ sont respectivement les racines positives des équations
;j2 + (A~B)z-C2=o, ^2 JA-B)z-C2 = o,
et si Ton fait ^== o ou ^=7r suivant que G est positif ou négatif. 11 y a donc une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations rectilignes , sans qu'il soit nécessaire que ces vibrations se répartissent en groupes de rayons contrairement polarisés.
Un calcul tout à fait semblable montrerait qu'il y a aussi une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une forme déterminée, et a fortiori ayec des vibrations elliptiques de formes diverses. Il est toujours nécessaire qne dans ces divers systèmes les deux espèces opposées de vibrations elliptiques existent simultanément, car avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce on pourra satisfaire aux conditions
M(«2) = M(62), M{abcosS)^o,
mais non à la condition
M(/ï6sin<î)=-o,
(dfsinS étant toujours positif ou toujours négatif suivant que, «Jetant compris entre zéro et v ou entre ir et stt, les vibrations sont polarisées de gauche à droite ou de droite à gauche.
191. Imitetion de» propriétés de te lumière iiatureUe à l'aide de I» retetion d'un rayon polarisé. — L'impossibilité d'obtenir de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce fournit l'explication des résultats obtenus par M. Dove dans ses expériences sur la rotation des rayons polarisés ^^K Si l'on fait tourner rapidement un prisme de Nicol sur lequel arrive de la lumière naturelle, le faisceau émergent a toutes les propriétés de la lumière naturelle; mais si l'on fait tourner avec la même vitesse et dans le même sens que le prisme de Nicol une lame de mica, le faisceau émergent, formé de vibrations elliptiques identiques dirigées dans tous les azimuts, produit les mêmes phénomènes de polarisation chromatique qu'un faisceau polarisé circulairement. Pour obtenir de la lumière naturelle, il aurait fallu laisser le prisme de Nicol immobile et faire tourner la lame de mica, ce qui aurait changé le sens de la polarisation elliptique à chaque demi-révolution.
Au point de vue d'une théorie tout à fait rigoureuse, ces expériences de M. Dove sont plutôt une imitation des propriétés de la lumière naturelle qu'une reproduction exacte de sa constitution. Un rayon polarisé dont le plan de rotation tourne avec une vitesse uniforme doit être, ainsi que l'a fait remarquer M. Airy^*^ considéré comme étant réellement la superposition de deux rayons polarisés circulairement en sens contraires, dont les périodes de vibration ne sont pas les mêmes. Soient en effet
y = asin&isinâ7t (7 + *)'
les équations d'une vibration rectiligne qui fait avec l'axe des x un angle ûj; si l'on suppose que cj varie proportionnellement au temps»
<'J Pogg, Afm.y LXXI, 97.
(«) Undulatory Theory o/Ligkt, arl.*i85 (3* édition).
j; = rtC0s«ysm2'
en sorte que ôj^fi+vt, on aura
y = asin (|ùt + v<)sin ùtt (îp + «)' et , par une transformation connue ,
jr = ^sînl \-Y~^^) <+a'ï'a + ^iJ + -sinl f-Y" — «'j t+Qua—fiU y=— ^cosj (^+«') < + 9wa+l»J+-cos|^^^ — t;j f + awa— jùi]-
Ges deux dernières équations représentent évidemment la combinai^ son de deux vibrations circulaires de périodes différentes définies par les deux groupes d'équations
j?, ='-sin f-Y-+f) ï+27ra + |ùih
yi = — |cosj^^^+j;j i+3wa+^ij' et
•0:2=- sin (-ôT"" ^) <+awa-— f^h
y2 = |cos[(^-i;)<+awa~|Ez]-
Les mêmes remarques s'appliquent aux deux composantes d'une vibration elliptique et, par suite, à la vibration elliptique elle-même^
Mais, dans toute expérience du genre de celle de M. Dove, la décomposition d'un faisceau polarisé tournant en deux faisceaux de périodes diverses, et, par conséquent, différemment réfrangibles et différemment colorés, est absolument inappréciable. Les nombres
de vibrations de ces deux faisceaux sont représentés par ^ H et
»?; — ^» c'est-à*dire, si l'on suppose que le prisme de Nicol fasse
1000 révolutions par seconde, sont entre eux comme 600 billions plus l'unité et 600 billions moins l'unité, pour une longueur d'ondê égale à o""",ooo5. Il n'y a aucu» moyen d'établir entre de pareil»
cela de résoudre l'équation
tang*ûi4-— p— tangû) — 1 = o.
Donc, quelle que soit la constitution d'un système de vibrations, on pourra toujours trouver deux axes rectangulaires tels, que, par rapport à ces axes, la quantité M (ab cosS) soit nulle : c'est évidemment pour ces axes que les coefficients M (efi) et M (6^) ont leurs valeurs maximum et minimum. Si l'on désigne par O^i et par Oyi les axes pour lesquels G est nul, par A^ et B^ les valeurs que prennent respectivement M (a^) et M (b^) lorsqu'on rapporte le mouvement vibratoire à ces axes, enfin par c^i l'angle formé par l'axe O^i avec l'axe Oxy il vient
Al == A cos^^i + B sin^û>i , Bj = A sin^û^i + Bcos^û)i.
Supposons que les quantités A^ et B^ soient inégales; on appelle alors plan de polarisation partielle le plan qui passe par le rayon et par l'axe Oa?! ou par l'axe Oyi, suivant que l'on a Ai<cBi ou Ai>Bi.
Si les quantités A^ et B^ sont égales, il en résulte que A est égal à B, quelle que soit la direction des axes, et, par suite, que le coefficient G est toujours nul. Il est donc impossible que l'on ait par rapport à deux axes quelconques
sans avoir en même temps
M (a6cos<î) = o.
Gherchons maintenant ce qui se produit lorsque, A| et B^ ayant des valeurs différentes, la lumière partiellement polanisée tombe sur un analyseur biréfringent dont la section principale fait avec le plan de polarisation partielle un angle égal à 6. On aura dans ce cas pour l'intensité de l'image «ordinaire
Aisin^e + B^cos^e,
LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 93
et pour celle de Timage extraordinaire
Aicos^e + Bisin^e.
Les intensités de ces deui images dépendent de l'orientation de l'analyseur : l'intensité de l'image ordinaire est minimum quand 5= 90% c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est perpendiculaire au plan de polarisation partielle, et ce minimum est égal à Bff, l'intensité de l'image extraordinaire est minimum quand ô=o, c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est parallèle au plan de polarisation partielle , et ce minimum est égal à A|. Aucune de ces intensités minima ne peut être nulle, à moins que l'on n'ait Ài= o ou Bj = 0, c'est-à-dire à moins que toutes les vibrations du système ne soient rectilignes et contenues dans un même plan.
Si l'on a A= B et par suite Aj = Bj , les intensités des deux images dans l'analyseur sont indépendantes de l'orientation ; G est alors nul, quelle que soit la direction des axes. Cependant si, en même temps que l'on a A=^ B, D n'est pas nul, le système de vibrations ne cons«> titue pas de la lumière naturelle. Si, en effet, on fait traverser à ces vibrations une lame cristalline, S devient égal à S-i-e; G cesse en général d'être nul, et par suite l'égalité entre les quantités Aj et Bx ne subsiste pas, de sorte qu'après son passage à travers une lame cristalline cette lumière donne, sauf pour certaines valeurs particulières de l'épaisseur de la lame, deux images d'intensités variables dans un analyseur biréfringent. Si, au contraire, la lumière est naturelle, D est toujours nul, et par suite, après le passage de la lumière à travers une lame cristallisée d'une épaisseur quelconque , G reste nul et l'égalité entre les quantités A^ et B| subsiste toujours , d'où il résulte que la lumière naturelle conserve après son passage à travers la lame la propriété de donner dans l'analyseur deux images d'intensités constantes. Gomme nous le verrons plus loin, lorsque A = B sans que D soit nul , la lumière peut être considérée comme résultant de l'addition d'une certaine quantité de lumière polarisée circulairement à de la lumière naturelle.
pmÊr$kH§0tWÊÊffmé p^lMrtoécw — l De *e'^:^ qT2e>tian doos reste en- ^om ^ *fi4»Uiin*fr. t^île de «iioîr h l**f divers «^firmes de vibrations ear^déri^ét par de^ laîeurs diverses de* c>:i:ienl> A, B, C, D peii>erj! se r^iaiiîr en un petit nr.mLre de grc»upe>. présentant r\ih*:nu nu elJ^erlJLle de propriétés conimunes, ou s'il faut se borner, diïji*' thii'pje ca5 particulier, à déterminer, [►ar une application des irjéth'>d^ précédente^. l**> propriété^ des di\er> systèmes qu'on rencontrera.
U faut remarquer d^abord qu*à tout système de valeors numériquei^ de^ coefficients A, B, C, D ne répond pas nécessairement an syiiUirne possible de vibrations diversement polarisées. Il est bien évident , par eiemple, que les roeflicients C et D ne sauraient être touft deux très-grands par rapport aux coefficients A et B. Il est rnéme facile de démontrer qu'on a nécessairement, dans tout svstème réel de ii}irations,
AB-(C^ + D*)>o.
En effet, si Ton reprend les notations précédentes (189), on a
AB =« (wiifl^ + m^fl^H ; (iftiiî + «h^H ),
C'+D' = fwiia|6iCOsJ, + m2a2^2COsJ'2H )*
+ (iRifli^i sin^i4- mjflî tjsin J^H )*,
et on groupe aisément les termes de ces deux expressions de manière à leur donner la forme suivante :
(? + D' — mJflJ6^+ mlalbl 4 {-mim^aïa^bi b^cos {S^ — ^2) H
+mpm^flp6^a^ipCos(<5p— «J^)H
Il en résulte que AB — (C^ + D^) se réduit à une somme de termes de la forme
LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 95
Or chacun de ces termes est évidemment plus grand cjue
wi„ fn„ (a„ i. — a„ bj)^.
p 1 \ p 1 îp/'
c'est-à-dire qu une quantité qui est toujours nulle ou positive.
AB — (C^ + D^) est donc nécessairement nul ou positif. Si d'abord on suppose AB — (C^ + D^) égal à zéro, le système est équivalent h une vibration unique, invariable de forme, de grandeur et de position ; car en faisant
tang^= ^y on a
ah cos^= \/aB -==i = C ,
ab %mi= v/ÂB ^ — D.
Si AB est plus grand que C^ -f- D^, il y a une infinité de systèmes satisfaisant aux conditions
M(a2) = A, M(i2) = B, M(aicos^) = C, M(a6sin^)=D.
En effet, AB étant plus grand que C^ + D^, on peut trouver une infinité de groupes de nombres A' et B' tels que l'on ait
Les nombres A', B', C , D peuvent être considérés comme caractéristiques d'une vibration elliptique déterminée, et si l'on suppose que cette vibration alterne avec un système de vibrations qui satisfait aux conditions
M {ab cos^) = 0 , M [ab sinS) = o ,
on aura obtenu un des systèmes caractérisés par les valeurs données de A, B, CD.
Parmi les systèmes en nombre infini qui jouissent tous des mêmes propriétés, il en est un qui, par sa simplicité, offre un intérêt par-
ticulier : c'est le système pour lequel A— A' = B — B', et qui, par conséquent, peut être représenté par un faisceau de lumière naturelle et par un faisceau de lumière elliptique. Ces deux faisceaux sont Tun et l'autre entièrement déterminés. En appelant H la valeur commune de A— A' et de B — B', on a en effet
(A-H)(B-H) = C2+D2, d'où
Ces valeurs sont toutes deux réelles et positives; mais la plus grande étant supérieure à A et à B, la plus petite répond seule à la question, de sorte que
Le double de cette expression est l'intensité du faisceau de lumière naturelle qui peut être censé entrer dans la constitution du faisceau que l'on considère : cette intensité n'est nulle que dans le
cas où l'on a
