POL\RISATI0> CHROMATIQUE DE LA LUMIERE PARALLELE
Nous allons nous proposer de rendre compte des colorations qui se produisent lorsqu'un faisceau polarisé de lumière blanche est reçu sur un analyseur après avoir traversé une lame cristallisëe biréfringenle. Nous supposerons d'abord que les rayono qui tombent sur la lame cristallisée sont parallèles; dans ce cas, tous les rayons traversent la lame cristallisée dans la même direction et soufi la même épaisseur; chacune des images que donne l'analvseur doit donc présenter alors une teinte uniforme en tous ses points. Nous nous occuperons en premier lieu du cas où les rayons parallèles sont normaux à l:i lame rrislallisée. Comme cette lame est toujoun; supposée assez mince pour ne pas séparer les deux rayons réfractés auxquels donne Daîssancc chacun des rayons incîdenis, ces deux rayons réfractés continuent à suivre le môme chemin au sortir de la lame, et la différence de marche qu'ils présentent résulte uniquement dans ce cas de ce qu'ils ont traversé la lame avec des vitesses inéjjales.
A. — LuniÉBii NonutLE à i..\ lave CHtsTALLisÉi. 1 95. CmtmTHtimn dM IniNg** dniui l'nBal7«eur. — Prenons pour plan de fijjure (fig. yj un plan perpendiculaire à la direction des rayons incidents; considérons en particulier un de ces rayons, et soient PP' la trace sur le plan de la figure du plan primitif de polarisation de ce rayon, II' celle de la section principale de la lame cristallisée, SS' celle de la section principale de l'analyseur; désignons par t et par n ''»■'- les angles que font avec le plan
primitif de polarisation les sections principales de la lame cristallisée et de l'analyseur.
100 POLARISATION CHROMATIQUK.
Représentons par sin stt ^ Tun des mouvements vibratoires simples
dont la superposition constitue la lumière blanche sur le rayon incident, ce qui revient à prendre pour unité l'intensité de ce mouvement vibratoire, qui est dirigé perpendiculairement à PP'; en pénétrant dans la lame cristallisée, ce mouvement se décompose en deux autres dont l'un, dirigé perpendiculairement à II', est représenté par
COSl Sm fÀTTTft
et constitue le rayon ordinaire, tandis que l'autre, parallèle à II' et représenté par
— sinisinaTT fj-o
constitue le rayon extraordinaire.
Si l'on désigne, comme nous l'avons fait précédemment, par 0 et E les épaisseurs de deux lames d'air telles, que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire emploient respectivement pour traverser ces lames d'air des temps égaux à ceux qui leur sont nécessaires pour traverser la lame cristalline, le mouvement vibratoire au sortir de la lame cristallisée a pour expression sur le rayon ordinaire
. . t costsm97r,pi
et sur le rayon extraordinaire
... /t , 0-E\ — sm t sm 27r [t^ H r— 1
Dans la figure 7, OL représente le mouvement vibratoire sur le rayon ordinaire, et OK le mouvement sur le rayon extraordinaire; si l'on projette ces deux longueurs sur SS' et sur une droite perpendiculaire à SS', on voit que le mouvement qui s'effectue perpendiculairement à SS', c'est-à-dire le mouvement vibratoire du rayon ordinaire dans l'analyseur, est représenté par OF-I-OG, c'est-à-dire par
sin i sin(t — « sin 27r (^H 5— ) + cost cos(t — «) sin qtt^i
et que le mouvement qui s'effectue parallèlement à SS' et qui constitue le rayon extraordinaire dans l'analyseur est représenté par OM — ON , c est-à-dire par
— sintcos(i — «)sina7r L-pH T~^)+ cost sin(/ — «) sin aws-. •
On a donc, pour les intensités o? et ^ du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire au sortir de l'analyseur,
ûi^ = sin ^î sin *^ ( i — « ) + cosV cos ^ ( ' — »')
-h a sini cost sin(t— «) cos(t — «)cosa7r — ^— »
gî =^ eos*-^ t sin^ ( i — «) + sin^ t cos^ (* — *)
— Qsini costsin(t — ») cos ('--«) cosqtt — r— ^•
En remplaçant cos qtt — T" P^r i — a sin^w ^ \ ces expressions se simplifient et deviennent
fii>^ = cos^« — Sin 21 sma (i — «)sm-7r — ? — »
c*=-sm^« + sm at sma [t — sjsm^Ts — j— •
Les valeurs de oi^ et de e^ sont fonctions de la longueur d'ondulation X, car en premier lieu X entre explicitement dans le second terme de chacune de ces valeurs, et de plus la différence de marche 0 — E dépend elle-même de X. Les intensités des différentes couleurs simples dans chacune des images fournies par l'analyseur ne sont pas en général proportionnelles à ce que sont ces intensités dans la lumière hlanche, et par suite chacune de ces images est colorée.
Après avoir ainsi expliqué le fait général de la coloration des images dans l'analyseur, il nous reste à rendre compte des différentes particularités que présente le phénomène. Remarquons d'abord que l'on a toujours
il en résulte que pour chaque couleur simple la somme des inten-
sites du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire est égale à celle du rayon incident» et par suite qu'en superposant les deux images que donne l'analyseur on reproduit du blanc; ces deux images offrent donc toujours des teintes complémentaires.
Les colorations des images ne dépendent que du second terme des expressions de (^ et de e^, car les premiers termes sont indépendants *de X. Or, si l'on fait varier les angles t et s, ces seconds termes varient, mais en conservant toujours des valeurs proportionnelles à leurs valeurs primitives pour les différentes couleurs simples : chaque image conserve donc toujours la même teinte, du moins tant que le second terme de l'expression de l'intensité de cette image garde le même signe. Lorsque, par suite de la variation des angles t et ^, le signe de ce second terme change, l'image prend une teinte complémentaire de celle qu'elle avait auparavant; chacune des images ne peut donc présenter que deux teintes qui sont complémentaires l'une de l'autre.
Lorsque le second terme des expressions de oP- et de ê est nul pour toutes les valeurs de X, c'est-à-dire lorsqu'on a
sinai sin a (t — «) = o ,
les valeurs de ctP' et de e^ deviennent indépendantes de X, et par suite
les deux images sont incolores. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que
l'on ait
sinat = G
ou
sina(i — «) == o,
ce qui montre que les deux images sont incolores loi*sque la section principale de la lame cristallisée est parallèle ou perpendiculaire au plan de polarisation primitif, et lorsque la section principale de ranalyseur est parallèle ou perpendiculaire à la section principale de la lame cristallisée. Il était facile de prévoir ces résultats : en effet , dans le premier cas, la lame cristallisée ne donne qu'un rayon réfracté; dans le second cas, il y a bien deux rayons réfractés, mais chacune, des images de Tanalyseur ne provient que d'un seul de ces rayons.
LUMIÈRE PARALLÈLE. lOS
Si l'on a «== 0 ou 9 = 90^, c'est-à-dire si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan de polarisation primitif, les quatre positions pour lesquelles on obtient dans le cas général des images incolores se réduisent à deux, et, dans chacune de ces deux positions, l'intensité de l'une des images est nulle.
On voit de plus que, pour chacune des images de l'analyseur, le passage d'une teinte à la teinte complémentaire a lieu lorsque le produit siuQt sin3(t — «) s'annule; ce passage s'effectue donc par l'intermédiaire du blanc.
La coloration des images, dépendant uniquement du second terme des expressions de 6j^ et de e^, est maximum en même temps que le produit sinQt sina (i — «). Pour une même valeur de t, le maximum de coloration a donc lieu lorsqu'on a 9(1 — «) = 90'' ou i — «=45% c'est-à-dire lorsque les sections principales de la lame mince et de l'analyseur forment entre elles un angle de &5 degrés. Le maximum de coloration aura le plus grand éclat possible si, en même temps que t — «= 45% on a at = 90** ou t = 45% c'est-à-dire si le plan de polarisation primitif fait un angle de 45 degrés avec la section principale de l'analyseur.
La disparition des teintes colorées quand la lumière incidente est naturelle se conçoit sans difficulté. En effet, d'après ce que nous avons vu précédemment (189), un rayon de lumière naturelle, après son passage à travers une lame cristalline biréfringente assez mince pour ne pas séparer l'un de l'autre les deux rayons isssus de la double réfraction, conserve la propriété de donner dans un analyseur biréfringent deux images d'intensités sensiblement égales; il est évident que ces images seront blanches lorsque la lumière incidente est blanche elle-même, puisque dans chacune de ces images Tintensité de chaque lumière simple sera égale à la moitié de ce qu'elle est dans la lumière incidente.
La disparition des couleurs lorsque la lame cristallisée est un peu épaisse est due à la cause qui fait disparaître les phénomènes d'interférence dans la lumière non homogène, dès que la différence de marche des rayons interférents est égale à un nombre un peu grand de longueurs d'ondulation. Considérons en effet une lumière' simple dont la longueur d'ondulation est X; si le produit sinatsins (t — «)
est positif, rintensité de cette couleur est minimum dans l'image ordinaire et maximum dans Timage extraordinaire, lorsqu'on a
0 — E = (an + i)-; cette intensité est au contraire maximum dans rimage ordinaire et minimum dans l'image extraordinaire, lorsqu'on a 0— E==an-; si le produit sin atsin 0(1 — «) est négatif, ces
conditions sont renversées. La différence de marche 0 — E dépend en réalité de la longueur d'ondulation; mais si, comme cela arrive dans la plupart des cristaux biréfringents connus, la dispersion est très-faible par rapport à la double réfraction, on peut sans erreur sensible supposer 0 — E indépendant de X et poser
0 — E = Me,
m étant une constante et e l'épaisseur de la lame cristallisée.
Si cette lame est épaisse et si, pour une certaine valeur de X, on a
le nombre n aura une valeur considérable, et par suite, pour une longueur d'ondulation X' très-peu différente de X, on aura
0 — E=(Qn + l)-• Donc, lorsque la lame est épaisse, il suffit d'une très-petite variation dans la longueur d'ondulation pour que, dans chacune des images, l'intensité passe du maximum au minimum, ou réciproquement; d'où il résulte, comme nous l'avons vu à propos des interférences, que ces images doivent paraître blanches. Mais, si on analyse la lumière d'une de ces images par le procédé de MM. Fizeau et Foucault, on obtiendra un spectre sillonné par une série de bandes noires parallèles.
Dans l'expérience des anneaux colorés de Newton , l'épaisseur e de la lame d'air pour laquelle la couleur dont la longueur d'ondulation est X présente un maximum doit satisfaire à la relation
lorsque les anneaux sont vus par réflexion, et à la relation
lorsque ces anneaux sont vus par transmission. Donc, lorsque la dispersion est négligeable par rapport à la double réfraction et que par conséquent 0 — E est proportionnel h l'épaisseur de la lame cristallisée, les épaisseurs de la lame cristallisée pour lesquelles une certaine couleur présente un maximum d'intensité dans l'image ordinaire sont proportionnelles aux épaisseurs dé la lame d'air qui, dans l'expérience des anneaux de Newton, donnent à cette couleur son maximum d'intensité par transmission si le produit sinst sinâ {i — s) est positif, et par réflexion si ce produit est négatif. Le même raisonnement étant applicable à l'image extraordinaire, on voit que, si l'on fait varier l'épaisseur de la lame cristallisée, les teintes des deux images dans la lumière blanche se modifient suivant les mêmes lois que celles des anneaux colorés de Newton, c'est-à-dire que les épaisseurs de la lame cristallisée qui donnent naissance aux difl*érentes teintes sont proportionnelles à celles des lames d'air qui produisent les mêmes teintes par réflexion ou par transmission. Si le produit sin9tsin3(t — s) est positif, les teintes de l'image ordinaire correspondent aux couleurs des anneaux vus par transmission, et celles de l'image extraordinaire aux couleurs des anneaux vus par réflexion : c'est l'inverse si le produit sinstsins («— «) est négatif.
En supposant le produit sinst sinâ(t — s) positif, il faut, pour que la teinte de l'image ordinaire dans l'analyseur et la teinte transmise par une lame d'air soient identiques, que l'on ait, pour l'épaisseur e de cette lame d'air,
On retrouve ainsi la loi posée par Young, que nous avons énoncée plus haut (177) et qui est devenue le point de départ de la théorie de la polarisation chromatique telle que nous venons de l'exposer.
196. Action d'une lame eristelllne épmimme mur la lumière pelariflée. — Lorsqu'un rayon polarisé traverse une lame cristalline épaisse, il ne produit, comme nous l'avons vu, aucune coloration dans l'analyseur, mais , suivant la valeur de l'angle t , ce rayon présente au sortir de la lame les propriétés d'un rayon de lumière naturelle ou celles d'un rayon partiellement polarisé.
Lorsque la lame cristallisée est épaisse, le facteur sin^ tt >
prend dans une région très-restreinte du spectre toutes les valeurs comprises entre zéro et i ; on peut donc sans erreur sensible admettre que, pour cette région du spectre, ce facteur a une valeur
constante égale h sa valeur moyenne, c'est-à-dire à -; le même raisonnement pouvant s'appliquer à toutes les régions du spectre, le facteur sin^Tr— ^- — peut être supposé égal à - lorsqu'il s'agira de
déterminer les intensités c^ et e^ des images ordinaire et extraordinaire. Les expressions de ces intensités deviennent par conséquent
û,2= cos^ 8 sin 9t sin a (t — «) ,
e^ = sin^s + - sin at sin 3 (t — s).
Si l'angle t est égal h àb degrés, on a
ûl^= cos^ 8 cos 2« = - »
e^ = sin^« + - cos 3« = - •
Les intensités des deux images sont donc dans ce cas indépendantes de l'angle s et égales chacune à la moitié de l'intensité du rayon incident. Les rayons qui émergent de la lame cristallisée jouissent par suite, lorsque l'angle t est égal h àb degrés, de celte propriété fondamentale de la lumière naturelle, de donner dans un analyseur deux images dont les intensités sont indépendantes de l'orientation de la section principale de l'analyseur. Pour distinguer la lumière ainsi produite de la lumière naturelle, il faut avoir recours à un procédé qui permette de résoudre la lumière blanche en ses éléments, comme dans la méthode de MM. Fizeau et Foucault.
Lorsque l'angle i est diiférent de &5 degrés, les expressions de u' et de e^ peuvent être mises sous la forme
a^ = ces* i cos' (i — ») + sin* i sin^ ( t — *) , e* =^ cos* I si n^ ( I — * ) + sin' i cos* {' — ')•
On voit que les intensités des deux images varient avec l'angle a et ne peuvent jamais s'annuler, d'oiî il résulte que les rayons, en sortant de la lame cristallisée , présentent les propriétés de la lumière partiellement polarisée. Le plan de polarisation partielle est d'ailleurs parallèle ou perpendiculaire à ta section principale de la lame cristallbée, suivant que l'on a cos^i>sin'i ou sin^t>c08*i, c'est-à-dire suivant que l'angle i est inférieur ou supérieur à 45 degrés. Le faisceau qui tombe sur l'analyseur peut être considéré comme formé d'une proportion égale à cos^ i — sin^ i de lumière polarisée et d'une proportion égale à s sin' i de tumière naturelle. Oo a donc ainsi un procédé qui permet d'obtenir de la lumière partiellement polarisée de composition connue, et on peut s'en servir pour graduer les polarimètres.
197. ttupcrpasltlan de deux tomes crtotolllne*. — Nous allons examiner maintenant le cas où la lumière polarisée traverse successivement deuï lames cristallines biréfringentes avant d'être reçue sur l'analyseur. Désignons par e l'angle que fait avec le plan primitif de polarisation la section principale de l'analyseur, par i l'angle que fait avec ce même plan de polarisation la section principale de la première lame , et enfin par a i'angle que font entre elles les sec- '"' ■ tionsprincipalcsdesdeuxlames.
Dans la figure 8, dont le plan est supposé perpendiculaire à la direction du rayon incident, PP' est la trace du plan primitif de po-
iarisation, II' et JJ' sont les traces des sections principales de la première et de la seconde lame, SS' celle de la section principale de l'analyseur.
Au sortir de la première lame, le mouvement vibratoire du rayon ordinaire , qui s'effectue suivant la droite Ot perpendiculaire à 01, est représenté par
t O cost sm ùir
et le mouvement vibratoire du rayon extraordinaire, qui s'effectue suivant 01 , est représenté par
smism !}?r
Si l'on désigne par 0' et E' les quantités qui pour la seconde lame ont la même signification que les quantités 0 et E pour la première lame, on voit qu'au sortir de la seconde lame le mouvement vibratoire du rayon ordinaire , qui s'effectue suivant la droite 0/ perpendiculaire à OJ , est représenté par
/t O-hON . ... ft K-4-(r\ costcosasmî2?r ( j j — 1 — smasmtsmsTr ( », ; — j^
et que le mouvement vibratoire du rayon extraordinaire, qui s'effectue suivant OJ , est représenté par
/t K-hE\ , . . . /( 0-+-E'\ smt cosa smsTr l ft, >- — 1 +cos? sma sm an [^ t — j.
Enfin, dans l'analyseur, le mouvement vibratoire du rayon ordinaire, qui s'effectue suivant la droite Os perpendiculaire à OS, est représenté par
cos t cos a cos (rt + 1 — s) sin 37r ( r-p j- — j
(t E-hO'N T — ^~X — y
+ cosismfl sm(rt4-i — «) smaor ( ^, t- — 1.
On déduit de là pour l'intensité «^ du rayon ordinaire l'expression suivante :
