I. lOOOOO

que ces vitesses sont rigoureusement égales ^^l

Le pouvoir dispersif de l'air et des autres gaz, s'il n'est pas entièrement nul, est du moins extrêmement petit, et, par suite, la vitesse de propagation dans ces milieux ne varie que très -peu avec la couleur; aussi ne commet-on pas d'erreur appréciable en admettant que les indices de réfraction d'un milieu solide ou liquide pour les différentes couleurs conservent entre eux un rapport constant, lorsqu'on prend successivement ces indices par rapport au vide et par rapport à l'air.

167. Relafloii entre l'iDdlce de réffraetion d'un milieu par rapport au iride et la longueur d'ondulation dans le wide. — Soient, pour les rayons d'une couleur déterminée :

(') Les coloralions qu^ont présentées certaines étoiles temporaires , par exemple celles qui ont été observées par Tycho-Brahé et par Kepler, variaiont d^me manière tout à fait irré- (julière et no peuvent élre attribuées qu'à de grands phénomènes physiques ou chimiques s'opérant à la surface de ces astres ( très-probablement , diaprés les dernières recherches spectroscopiquos, à des ronflagratious où Pliydrogène joue un rolo actif). (L.)

THEORIE DE CALCHY. 17

Via vitesse de propagation dans le vide; X la longueur d'ondulation dans le vide; V la vitesse de propagation dans un milieu solide ou liquide; / la longueur d'ondulation dans ce milieu; n l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide. D'après ce que nous venons de voir, la vitesse V ne dépend pas de X, et on a, quelle que soit la couleur de la lumière,

V étant une constante.

On tire de là

et, en portant cette valeur dans la formule (i o) qui, pour le cas actuel , prend la forme

il vient d'oii

Cette équation donne l'indice de réfraction n en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide; elle ne peut être résolue que par approximation. Les coefficients a, b, c, dy.,. décroissent trèsrapidement, et par suite, si X n'a pas une valeur excessivement petite, il en est de même dans l'équation (i i) des termes contenus dans la parenthèse. On aura donc une première valeur approchée de n en s'arrétant au premier terme, ce qui donne

en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation (i i), on obtient une seconde valeur plus approchée

ViRinrr, VI. — Optique, II. a

en continuant de même, on voit que, quel que soit le degré d'a|)

proximation auquel on s'arrête, on aura toujours pour ^ une expres-

sion de la forme

où les coefficients A^, Bj, C, décroissent très-rapidement, de même» que a, i, c, ... .On en déduit pour l'indice de réfraction une expression de même forme

Dans cette formule les cocflicients A', B', C, ... ne dépendent que de la constitution du milieu ; ces coefficients doivent décroître rapidement, mais l'expérience seule pourra faire connaître leur valeur pour chaque milieu et indiquer combien de termes il faut prendre dans le second membre de l'équation (19) pour avoir une valeur suffisamment approchée de l'indice de réfraction.

On peut remarquer seulement que, l'indice de réfraction allant en augmentant à mesure que la longueur d'ondulation diminue, le coefficient B du second terme doit être positif.

168. ITériilcfitions eiKpérinieDtales des formules de dispersion. — Pour comparer à l'expérience la formule (12), il faut s*arrêter après un certain nombre de termes et déterminer les coefficients des termes conservés, soit au moyen d'un nombre d'observations égal à celui de ces termes, soit en faisant concourir toutes les observations au calcul des constantes par la méthode des moindres carrés ou par la méthode d'interpolation que Cauchy a développée dans son Mémoire sur la dispersion. En prenant un nombre croissant de termes dans le second membre de l'équation (1 s), on peut trouver ainsi combien de termes il faut conserver pour que les résultats du calcul et ceux de l'expérience ne diffèrent que de quantités qui soient de l'ordre des erreurs d'observation.

Cauchy s'est servi, pour vérifier sa formule, des indices de réfraction déterminés par Frauenhofer. Il s'est cru obligé de prendre quatre termes pour obtenir des résultats concordants: mais il est

facile de voir que, pour le degré d'exactitude que comporte en général la détermination des indices de réfraction, il est plus que suffisant de s'arréler après le troisième ternie; la formule {12) devient alors

Lorsqu'on n'a pas besoin d'une très-grande précision, on peut même se contenter des deux premiers ternies, c'est-à-dire réduire la formule à

La formule ainsi simplifiée se prête à une méthode de vérification peu compliquée et qui a été indiquée par Béer ^'l Soient, en effet, Xi, X2, X3 les longueurs d'ondulation dans le vide de trois rayons de couleurs différentes; Wj, ng, Wj les indices de réfraction correspondants. En admettant la formule (i3) comme exacte, on aura

d'où

«i = A' + ^. W2 = A' + ^» n^=^A' + ji^

n,-n, = B'(^,-^j). '*3"''i^B'(x;-Xî)

1 1 ri^-n, Aï Al

"3-^1 ~ 1 1 A3 Aj

Pour s'assurer de l'exactitude de la formule (i3), il suffira donc de chercher si les différences des indices de réfraction sont proportionnelles aux différences des carrés des inverses des longueurs d'ondulation. Béer a reconnu que les indices de réfraction déterminés par Frauenhofer suivent t;ette loi d'une manière suffisamment satisfaisante.

Avant que Cauchy eût publié ses travaux théoriques sur la dispersion, Baden Powell ^^^ avait cherché à représenter par une formule

*) Introduction à la haute Optique ( Irad. de M. Fortbomme), p. 176. '*î Phil. Traïu.j i835, p. 2/19.

empirique l'ensemble des mesures de Frauenliofcr : il s'élail am^tô

à la relation

Sin Tt -r

où (] et D sont deux constantes. (]ette formule se ramène facilement à celle de Cauchy : en effet, si on développe sinTry en ne conservant que les deux premiers termes, ce qui est permis, parce que y est toujours une fraction très-petite, il vient

d'où Ton déduit pour n, en s'arrôtant aux termes en X^. une expression de même forme que celle de l'équation (i 3).

169. liols de la disperalOD dans les milieuiK MréfrlDcents. — Les simplifications qui s'introduisent dans les équations du mouvement vibratoire lorsque le milieu est isotrope, et en vertu desquelles les équations (5) se réduisent aux équations (8), sont dues uniquement à ce que, dans un milieu de ce genre, la normale à l'onde plane peut toujours être regardée comme un axe de symétrie du milieu, quelle que soit la direction de cette onde plane. 11 résulte immédiatement delà que les équations (8) sont applicables, dans le cas d'un milieu cristallisé à un axe, lorsque l'onde plane est parallèle ou perpendiculaire à l'axe unique du milieu, et, dans le cas d'un milieu cristallisé à deux axes, lorsque l'onde plane est perpendiculaire à l'un des trois axes de symétrie du milieu. La formule (lo) se déduisant des équations (8), cette formule peut servir à représenter dans les cristaux à un axe les vitesses des rayons parallèles ou perpendiculaires à l'axe, dans les cristaux à deux axes les vitesses des rayons parallèles à l'un des trois axes de symétrie. L'indice ordinaire et l'indice extraordinaire des cristaux à un axe, les trois indices principaux des cristaux à deux axes s'exprimeront donc à l'aide de formules analogues à la formule (i 2). Seulement les coefficients constants A', B', C',. . . auront des valeurs différentes dans

les crislaux à un axe pour Tindice ordinaire et pour l'indice extraordinaire, dans les cristaux à deux axes pour les trois indices principaux. C'est ce que Béer a vérifié au moyen de la méthode que nous avons indiquée plus haut, en faisant usage, dans le cas des cristaux à un axe, des indices du quartz et du spath déterminés par Rudberg, et, dans le cas des cristaux à deux axes, des indices de l'aragonite et et de la topaze mesurés par le même physicien ^'l

170. Confléquences déduttes par Caucby de rabscnce de dispersion dans le irtde. — Dans un corps quelconque les molécules pondécables doivent être regardées comme beaucoup plus écartées les unes des autres que ne le sont en moyenne les molécules de Téther engagé dans ce corps. Si donc on admet avec Cauchy que le système formé par les molécules pondérables et les molécules d'élher puisse être remplacé par un éther fictif, cet éther devra présenter une discontinuité beaucoup plus grande que f éther du vide, ou, en d'autres termes, les molécules doivent être incomparablement plus rapprochées dans Téther du vide que dans cet éther fictif. C'est probablement en se basant sur cette considération, bien qu'il n'en fasse pas explicitement mention, que Cauchy a été conduit à admettre, pour explicjuer la différence qui existe sous le rapport de la dispersion entre l'élher du vide et celui des milieux pondérables, que l'éther du vide peut, sans erreur sensible, être regardé comme formant un milieu continu, et à chercher quelle doit être, dans cette hypothèse, la forme de la fonction qui lie les forces moléculaires à la distance pour que la vitesse de propagation dans le vide soit in^ dépendante de la longueur d'ondulation.

Si, en effet, on suppose l'éther continu, les sommes composées d'un nombre de termes fini, quoique très-grand, que nous avons considérées jusqu'à présent, se transformeront en intégrales, et l'expression de la vitesse de propagation prendra une forme simple que nous allons déterminer en suivant la marche indiquée par Cauchv.

Rappelons d'abord que, dans un milieu isotrope, on a pour la vitesse de propagation d'une onde plane normale à l'axe des x, et

(') Inlroduclinit à la haute Optique (Irad. de M. Forthomme), p. 95o et 3â8.

sur laquelle les vibrations s'elTectutmt parallèlement à l'axe des y,

V^ = ^. 2^ [<P(r) +4'(r) ^] sin-^ J àœ.

Pour faciliter l'intégration, nous nous servirons de coordonnées polaires : nous prendrons pour origine la molécule m, dont jusqu'à présent nous avons désigné les coordonnées par a?, y, z; nous représenterons par r la distance de cette molécule m à la molécule [i dont les coordonnées sont x+ùkX, y+ùky, z+Az, par co l'angle que fait la ligne myi avec l'axe des x, par 0 l'angle du plan {inix avec le plan des xy. Nous aurons alors

A;r=rcosey, Ay=^ rsinwcosfl.

Pour exprimer en fonction des coordonnées polaires l'élément de masse /ia, nous considérerons l'élément de volume limité par deux surfaces sphériques de rayons r et r + dr ayant pour centre l'origine, par deux plans passant par l'axe des x et faisant avec le plan des xy des angles égaux à 6 et à S + <^^» et enfin par deux surfaces coniques ayant pour axe commun l'axe des x et dont les génératrices font avec cet axe des angles respectivement égaux à co et à (û + rf<y. Cet élément de volume est égal à

f^ûnojdOdrdcû^

et l'élément de masse correspondant {i est représenté par

Hr^ smw dd drdù) ,

D étant la densité du milieu éthéré.

Si l'on porte ces valeurs dans l'expression de V'^, et si l'on suppose le milieu continu, ce qui permet de remplacer la sommation par une intégration , on a

yi = ^ f '*'' J7X^ '"' [^ W+4' (r) sin'^w cos2 ô] sine, sin^ ^^^^ d6d(^ rfi

L'intégration doit s'étendre à tout le milieu, et ses limites sont, par conséquent : pour 6, zéro et aTr; pour (W, zéro et tt; pour r, zéro et