C0SH=C0SR
osROy = sinRsinô,
d'oii
cosm = — T =■■
yi+col'H
lOltî
V 1 t-ioi'H
V 1 + col' K
L'éii liât ion
usin[ ^sinB peut iMre ii>ise sons la forme
sinlVi+col'H l']n remplaçant dans rét|ualion (â) «, f, m, ii par ces vuleiirs, il
vient
r[ftV.-')cos'Q-*-(fl'-J-r'|sin'g+'»'+6'icol'R-|
sin'I.i+Dil'jt.-" siii'I(i+col
, iV'cos'fl + (iV'siii'0 + «'6'eol'R
d'où, en ordonnant par rapport à cotR,
li^ i>^ sin* ! col* R + sin- 1 cof-R [sinM {a^h-i+ ftsc^cos^ô
+ flïc'îsin''e)-(.
-t- sinM (/»'c^cos2e+ fl^sin^Ô) - sinH((/.^+ r-^)cos--'S+ («■■' + c")ÀiiH
LL'MIÈKK FAIIALLÈLK. 1:23
En remarquant que l'un a a«ft» + A»c*cos»fl ■+■ rt Vsin«e = a- b^ (sin-'Ô + cos^6)
-= «2 ^hi ^ çî) sin'-' e + A* («'•'-^ c2) cos^ ô, on a définitivement
i a«**cot»RsinM ,. I +col>RsinM {sin^l [a\h^+c^)sm^6+b'^ (a^+c^) cos'Ô] -(«'•'+i=') j ^'^^ j +sin*l(6Vcos2d+rt2c«sin*Ôj
' - si n^ 1 1 ( A>+c») cos" Ô + ('«" + c^*) si n* 5] + 1 = o .
Cette équation, résolue par rapport à cof'Rsin*!, a deux racines qui, nous allons le démontrçr, sont réelles et positives.
La quantité placée sous le radical dans l'expression des racines de l'équation (5) est en effet égale à
j sin» I [«'- (b^ + c'-) sin^ 6 + b^ (a^ + c») cos« 6] - ( a^ + i^) j ^
- Art" 6» ! 1 - sinM [(è2+c''«) cos^Ô + \;i^ + <?) sii»''dj
+ sin*l (7>!'c*cos2d + rt"'«c'-'sin'»Ô)j ,
ou, en ordonnant par rapport à sini , à
sin» I \ [«2 {b^ + e) sin'Ô + />« («^-f c^) cos^ ô]-^
- hi?\^{b^êtù^H-\- (C- c^sin^Ô) j
- 2sin« 1 1 («^ + i"-*) [6^ {n" + c^) cos^ Ô + «^ {^^ + c^) sin^Ôj
- aa'^i» [(i2 + c2) cos^/î + («2+ c^) sin*Ô] j
Le coefficient de sin* I dans cette expression est égal à
6»(«2-c2)2cOS*e+rt»(62-c2)2sin*fl+9rt2i2(„2 c2)(ft2 cî)sin»dcOs2Ô.
c'est-à-dire à
[A2 («2 . c2) eos2 e + «2 (/,2 c2) sin2 ÔJ2 ;
le coefficient de fein^I peut <}tre mis sous la forme
(«î - 6») [Aî(rt-^ rî')cosîfl - éi^fi c'-'lsin^ôj,
ou sous celle-ci :
enfin le terme tout connu est égal à
La quantité placée sous le radical peut donc être mise sous la forme |a2 J2 sin2I[ja(fl2 c2)cos2e+a«(i»-c2)sin2fl]p
expression essentiellement positive : ce qui prouve que les deux racines de l'équation (5) sont toujours réelles.
Le terme tout connu du premier membre de l'équation (5) est positif 9 car on a
• 1 - sinM [(62 + c2) cos2Ô+ (a^ + c^) sin^Ô]
+ sin*I{6Vcos-^l9+aVsin2fl) = (i - (?sinM) [i - sin^I (tacos^ô + fl^sin^ô)] = (i ^ c^sinM) 1 1 - sinM [a^- (a^- b^) cos« ô] j ,
et la quantité a^ — (cfl — b^) cos^ 0 est plus petite que a^, et par conséquent plus petite que l'unité. Il résulte de là que les deux racines de l'équation (5) sont de même signe.
Enfin le coefficient de cot^Rsin^I est négatif, car il peut être mis sous la forme
jfl2 + i2- sinM [a\b'^ + c')sin^e + b^{a^ + c^)cosH]\ ;
or on a
a^ (J2 + c^) sin« e<za^ («^ + b^) sin^fl,
b^ {a^ + c2) cos2 6 < à' {a^ + b'^) cos^fl , et par suite
a^ + b^^sinH[a^{b^+c^)smH + b^{a^+c^)cos^e]
(fl2 + i2)(i a2sinM)>o.
Les racines de l'équation (5) sont donc toutes deux positives. En
extrayant ia racine carrée de chacune des racines et en prenant le radical avec le signe +, en aura pour cotRsinI deux valeurs qui, mises à la place de cotR'sinI et de cotR'^sinl dans Tëquation (i ), serviront à calculer la différence de marche 0 — E en fonction des angles I et 0.
La différence de marche est nulle lorsque les deux racines de l'équation (5) sont égales » c'est-à-dire lorsque la quantité placée sous le radical est elle-même égale à zéro. Or, pour qu'il en soit ainsi , il faut que Ton ait
Jfl2 j2 sitflp(a2-c2)c0s2ô + û2(i2^^)sin«g]l2
+ 4a2 (fl2 - J2) (J2 ^2) sin^Ô sin^ I = o.
Cette condition ne peut être remplie qu'autant que Ton a
sintf-=o; le premier membre de l'équation précédente se réduit alors à
il est par suite nécessaire que l'on ait en même temps
d'où l'on déduit
Sm* l = rrr-i r,
sm^ n = -j — 5
Il existe donc deux directions situées dans le plan perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité et telles que, lorsqu'une onde réfractée est perpendiculaire à l'une de ces directions, la seconde onde réfractée se confond avec la première. Ces directions ne sont autres que celles que nous avons appris à connaître dans la théorie de la double réfraction sous le nom d'axes de réfraction conique intérieure, et nous retrouvons ici, par une autre voie, ce théorème déjà démontré précédemment (155), que, lorsqu'il y a réfraction conique, les rayons qui constituent à l'intérieur du cristal le faisceau conique, rayons qui correspondent à une même onde réfractée, ne présentent
à réiuergence aucune différence de luarche, pourvu que la face d'émergence soit parallèle à la face d'incidence.
L'angle R a toujours une valeur réelle, mais il n'en est pas de
même de l'angle I : lorsque la quantité ,,, « ». est supérieure h
l'unité, il fiiut en conclure qu'il n'existe aucune valeur de l'angle d'incidence pour laquelle l'onde réfractée peut devenir perpendiculaire à l'un des axes de réfraction conique intérieure.
Nous allons maintenant examiner quelques cas particuliers dans lesquels l'expression de la différence de marche se simplifie notablement. Supposons d'abord que l'angle 6 soit nul, c'est-à-dire que le plan d'incidence se confonde avec le plan des .vz, plan que nous regarderons comme la section principale du cristal. On a alors, en désignant par R' et IV' les deux racines de l'équation (5),
cotR\sinl=.Vlz:^!!l5i!!l',
cotR"sinI=V^!l?iî!!J.
La première expression est identique à celle que nous avons trouvée j)ourle rayon ordinaire dans les cristaux à un axe; elle correspond à im rayon qui se réfracte en suivant la loi de Descaries
avec un indice égal à r • (le rayon étant perpendiculaire à l'axe de
moyenne élasticité, ses vibrations sont parallèles à cet axe et par suite perpendiculaires à la section principale : on a donc toute espèce de raisons de le considérer comme un rayon ordinaire.
L'expression de la différence de marche est dans le cas actuel
lorsque l'incidence est normale, elle se réduit à
Cette dernière formule est identique à celle que nous avons trouvée pour une lame h un ave taillée parallèlement à l'axe. De plus,
LUMIKRE PARALLELE. 127
comme a est plus grand que b, la valeur de 0 — FI est positive, ce qui prouve qu'un cristal à deux axes taillé perpendiculairement à Taxe de plus petite élasticité se comporte, pour de petites valeurs de Tangle d'incidence, comme un cristal à un axe répulsif lorsrpie le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité.
Lorsque l'angle d'incidence augmente, la valeur de la différence de marche commence par décroître; elle s'annule pour une valeur de l'angle d'incidence donnée par la relation
si l'incidence continue à crottre au delà de cette valeur en la supposant réelle, la différence de marche change de signe et croît en valeur absolue. Une lame perpendiculaire h Taxe de plus petite élasticité se comporte donc, lorsque le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, comme un cristal répulsif, tant que l'angle d'incidence a une valeur inférieure à celle qui correspond à l'axe optique, et comme un cristal attractif lorsque l'angle d'incidence dépasse cette valeur.
Supposons maintenant que l'angle 6 soit égal à 90 degrés, c'està-dire que le plan d'incidence soit perpendiculaire à la section principale et se confonde avec le plan des y: : on a alors
cot n sm I = T »
cot n sm 1 ==
La dernière expression correspond à un rayon qui suit la loi de Descartes avec un indice égal à -• Quant à la valeur de la différence de marche, elle est dans ce cas
et se réduit, lorsque l'incidence est normale, ù
Cette dernière valeur est positive et montre que le cristal se comporte dans le voisinage de Tinddence normale comme un cristal répulsif. D'ailleurs, en mettant l'expression de la différence de marche sous la forme
0 E— ^ fl'-6'-hflVb*-c*)sinM
û^ a \J i — c* sin* I -h 5 y/ 1 — a* sin* I
on voit qu'elle reste toujours positive et quelle croit avec l'angle d'incidence. Donc une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus petite élasticité se comporte pour toutes les incidences comme un cristal répulsif, si le plan d'incidence contient Taxe de moyenne et l'axe de plus petite élasticité.
205. Ijame perpendiculaire k Taxe de plus srande éi tieité* — 11 n'est nullement nécessaire de recommencer les calculs pour le cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité : il suiiit de changer, dans les formules relatives au cas où la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, a en r et c en a. On retrouve ainsi deux directions pour lesquelles la différence de marche est nulle y directions qui ne sont autres que celles des axes optiques [)récédemment déterminés.
Si l'angle 9 est nul, c'est-à-dire si le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et de plus petite élasticité, on a
expression qui se réduit, lorsque l'incidence est normale, à
Celte dernière valeur étant négative, on voit qu'une lame taillée perpendiculairement à Taxe de plus grande élasticité se comporte, lorsque le plan d'incidence contient l'axe de plus grande et l'axe de plus petite élasticité, comme un cristal attractif tant que l'angle d'incidence a une valeur inférieure à celle qui correspond à la direction de l'axe optique, et comme un cristal répulsif si l'angle d'incidence est supérieur à cette valeur.
Si 6 est égal à 90 degrés , c'est-à-dîre si le pian d'incidence contient l'axe de moyenne et Taxe de plus grande élasticité, on a
On /\/i— a*sin*I v/i — c*sin*l\ E = ,^v ï j.
cette expression est négative lorsque l'incidence est normale, et crott en valeur absolue avec l'angle I tout en restant négative. Donc une lame taillée perpendiculairement à l'axe de plus grande élasticité se comporte toujours comme un cristal attractif lorsque le plan d'incidence contient l'axe de moyenne et l'axe de plus grande élasticité.
