C. PfllftlIOllfclllS DBS CRISTAUX \ DBOX AXB

227. WmwmuÊÊem séMérales* — Les formules qui représenteJlt les intensités des deux images dans le cas des cristaux à un axe seAt applicables aux cristaux à deux axes, à condition que l'on désire par I l'angle que fait avec le plan primitif de polarisation le plan (|e polarisation du rayon qui se rapproche le plus de suivre les loift i|e la réfraction ordinaire. C'est à ce rayon , que l'on appelle par axtMsion rayon ordinaire, que correspond l'image dont Tiiitensité est 19présentée dans les formules par ù^. On voit que dans les cristaux à deux axes la section principale n'est autre chose que le plan de po-

(*) /%g. Ann., vo!. Complément., T.

IfiA POLARISATION CHROMATIQUE.

larisatioD da rayon ordinaire , et que par conséquent les sections

principales correspondant aux différents rayons ne passent plus toutes

par une même droite, comme cela a lieu pour les cristaux è un axe.

Les lignes incolores sont encore données par les deux conditions

sin 21 = 0 , sin 3 (i — *) — o ;

^68 sont donc déterminées par les rayons dont le plan de polarisation est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Nous nous occuperons uniquement du cas ofa la lame est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité; les résultats que nous obtiendrons pourront s'appliquer aisément, au moyen d'une simple permutation, au cas où la lame est perpendiculaire & Taxe de plus grande élasticité. Nous aurons fréquemment occasion, dans ce qui va suivre, de nous appuyer sur un théorème démontré dans la théorie de la double réfraction (157), et qui consiste en ce que, si l'on mène deux plans passant par la normale à une onde plane et par les deux axes optiques, les plans bissecteurs des dièdres ainsi formés sont les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire qui correspondent à cette onde.

228. Usi IbraaeBt ub m«I» «ré* -petit •««« la mmtnmmi» à I» Iwi».

— La normale à la lame coïncidant avec l'axe de plus petite élasticité est toujours la bissectrice de l'angle que forment entre eux les axes optiques. Supposons que l'axe de plus petite élasticité se confonde avec la ligne moyenne et que les axes optiques forment entre eux un an^e très-petit : chacun de ces axes fera alors un angle très-petit avec la normale à la lame. Pour déterminer la forme des lignes incolores, menons par ''* ' un point quelconque 0 {fig. a3) deux

droites OA et OB parallèles aux directions des axen optiques et une

droite OG parallèle à la Mgae moyenne. Par le point G menons un plan perpendiculaire k OC et considérons une droite OM qui rencontre ce plan en M; les plans de polarisation des rayons qui correspondent à une onde plane perpendiculaire à OM sont parallèles aux pians bissecteurs des an^es dièdres AMOB et AMOM'. Si l'on suppose, comme nous l'avons toujours fait jusqu'à présent, que l'angle d'incidence I ait une valeur très-peu considérable, l'angle MOC sera très-petit ; il en est de même d'ailleurs de l'angle AOB : les traces des plans bissecteurs dont nous venons de parler sur le plan ]>crpendiculaire à OC se confondent par suite sensiblement avec les bissectrices des angles plans AMB et AMM'.

Pour déterminer la direction des ondL>s qui donnent lieu aux ligues incolores, il faut donc chercher le lieu des points M tels que la bissectrice de l'angie AMB soit parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan AMB du plan primitif ou de la section principale de l'analyseur.

Prenons le plan AMB pour plan défigure, le point G pour origine et la trace du plan primitif sur le plan AMB pour axe des x (fig. 9^). Soient D et E les points oit les droites MA et MB rencontrent l'axe des x .- si la bissectrice de l'angle AMB ou de son supplément est parallèle è l'axe des X, on voit immédiatement que tes angles MDjc et MELr sont supplémentaires. D'ailleurs, en désignant par j: et y les coordonnées du point M, par a et j3 celles du point A, on a

tangWDx-if|, la„gME,-i±|,

et conmie

lang MDx ^ — lang MËx,

il vient

d'où

équation d'une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des cooft données et passant par les points A et B.

On verrait de même que les points M , pour lesquels la bissectrice de l'angle AMB est parallèle ou perpendiculaire à la trace sur le plan de la figure de la section principale de l'analyseur, se trouvent sur une hyperbole passant par les points A et B et ayant pour asymptotes cette trace et une droite perpendiculaire.

On voit en résumé que si , par un point quelconque 0, on mèae deux parallèles aux axes optiques OA et OB et une parallèle OC à la ligne moyenne; si, de plus, on mène par ce point des normales à toutes les ondes qui donnent des rayons incolores, les points où ces normales rencontrent un plan perpendiculaire à OG sont situés sur deux hyperboles passant par les points où les axes optiques rencontrent ce plan et ayant pour asymptotes, l'une la trace sur ce plan du plan primitif et une perpendiculaire à cette trace, l'autre la trace de la section principale de l'analyseur et une perpendiculaire à cette trace.

Pour déterminer les lignes incolores réelles , menons , par le centre optique 0' de la lentille qui fait converger en un même point les rayons qui traversent parallèlement la lame , une droite OC parallèle à la ligne moyenne, et soit C/ le point où cette droite rencontre le plan du tableau. Par le même point 0' menons deux droites OA' et OB' parallèles aux directions apparentes des axes optiques, c'est-àdire parallèles aux directions que doit avoir un rayon dans l'air pour se réfracter dans le cristal suivant les directions des axes optiques, et soient A' et W les points où ces deux droites rencontrent le plan du tableau. Les rayons qui concourent à la production du phénomène faisant tous des angles très-petits avec la normale, l'indice de réfraction de ces rayons peut être regardé comme sensiblement constant; il existe donc aussi un rapport à peu près constant entre les angles que forment avec la normale à la lame les nor-

LUMIÈRE CONVERGENTE OU DIVERGENTE. 1«ï

maies aux ondes réfractées dans le cristal qui donnent les rayons incolores et les angles que forment avec cette même normale les normales aux ondes émergentes correspondantes, normales qui ne sont autres que les rayons incolores eux-mêmes. Les figures inco^ lores réelles sont donc semblables aux figures auxiliaires que nous avons construites à l'aide des normales aux ondes réfractées. ' Ainsi les lignes incolores consistent en quatre branches d'hyperbole qui se croisent deux à deux aux points A' et B' extrémités apparentes des axes optiques : deux de ces branches ont pour asymptotes deux droites menées par le point C parallèlement et perpendiculairement au plan primitif; les deux autres ont pour asymptotes deux droites menées par le même point G' parallèlement et perpendiculairement à la section principale de l'analyseur. Si le plan primitif est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques, deux de ces branches d'hyperbole se réduisent à une croix formée par deux droites, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan primitif; si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan des deux axes, il en est de même, mais les branches de la croix sont alors l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la section principale de l'analyseur. Si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif sans qu'aucun de ces deux plans soit parallèle ou perpendiculaire au plan des axes, les quatre branches d'hyperbole se réduisent à deux. Enfin si, en même temps que la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, elle est parallèle ou perpendiculaire au plan des axes optiques, le système des lignes incolores se réduit à une croix unique , blanche dans l'une des images et noire dans l'autre.

Remarquons enfin que les lignes incolores jouissent dans les cristaux à deux axes des mêmes propriétés que dans les cristaux à un axe. Si une ligne incolore résulte de l'annulation d'un seul des facteurs sinat ou sins(i — «), toute courbe isochromatique, en traversant cette ligne incolore, passe d'une teinte à la teinte complémentaire dans la lumière blanche, et du minimum au maximum dans la lumière simple. Si au contraire les lignes incolores résultent de l'annulation simultanée des facteurs sinst et sina(i — «), c'est-à-

dire si la section principale de Tanalyseur est parallèle ou perpen* diculaire au plan primitif, les lignes isochromatiques conservent dans toute leur étendue la même teinte si Ton opère avec la lumière blanche, et dans la lumière simple chacune d'elles correspond exclusivement à un maximum ou à un minimum.

229. lAgÊkem IneolorMi dAiM le mm «ii Imi mrnitm mpU^ga^m forment awee la Monnaie à la lame 4eo an^leo Toioteo de •O desréo. — Supposons que chacun des axes optiques forme avec la normale à la lame, c'est-à-dire avec l'axe de plus petite élasticité, un angle voisin de 90 degrés, de sorte que l'axe de plus petite élasticité ne coïncide plus avec la ligne moyenne. Dans ce cas, il n'y a plus de lignes incolores nettement définies pour les rayons dont les directions diffèrent peu de celle de la normale ; en effet, l'angle AOB étant voisin de 1 80 degrés et l'angle MOC étant très-petit, les plans bissecteurs des dièdres AMOB et AMOM', c'est-à-dire les plans de polarisation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, se rapprochent beaucoup d'être l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes, et ont par conséquent des directions sensiblement constantes pour tous les rayons qui forment de petits angles avec la normale. Si donc l'un de ces rayons était polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan primitif ou à la section principale de l'analvseur, il en serait de même de tous les autres, et toute trace de coloration disparaîtrait dans les images, du moins dans le voisinage de la normale : c'est ce qui a lieu lorsque le plan des axes optiques est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif ou à la section principale de l'analyseur.

Les lignes incolores reparaissent, dans le cas qui nous occupe, au voisinage des axes optiques. Soit en effet (6g. 9 5) OM une droite

normale à une onde réfractée .

et faisant avec l'axe optique OB

un angle très-petit. Les plans

de polarisation des deux rayons

F^. as. qui correspondent à cette onde

sont les plans bissecteurs du dièdre AMOB et de son supplément.

L'angle MAB étant très-petit par rapport à l'angle MBA, ces plans

bissecteurs se confondent sensiblement avec ceux de Tangue dièdre formé par le plan MOB avec le plan des axes optiques et du dièdre supplémentaire. Prenons pour plan de figure (fig. a6) un plan perpendiculaire h l'axe optique OB : soient B et H les points où les droites OB et OM rencontrent ce plan, MS une parallèle k la trace, sur le plan de la figure, du plan des axes optiques. Les traces, sur le plan de la fiinire, des plans bissecteurs dont

Fig, iC. " J l

nous venons de parier se confondent sensiblement avec les bissectrices de l'angle SMB et de son supplément. Pour que l'onde normale à OM donne un rayon incolore, il faut donc que ces bissectrices soient parallèles ou perpendiculaires à la trace , sur le plan de la figure , du plan primitif ou de la section principale de l'analyseur. Si la bissectrice de l'ange SMB est parallèle ou perpendiculaire à la trace du plan primitif, la figure montre que le point M se trouve sur une droite MB fai.<sant avec la trace B« du plan primitif un angle supplémentaire de celui que fait la trace du plan primitif avec la trace du plan des axes. On voit de même que, si la bissectrice de l'angle SMB est parallèle ou perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, le point M se trouve sur une droite MB faisant avec la trace de cette section principale un angle supplémentaire de celui que fait la trace de la section principale avec la trace du plan des axes. Si l'on passe, comme dans le cas précédent, de (a figure auxiliaire à la figure réelle formée par les rayons émergents, on voit que, lorsque les axes optiques fonnent entre eux un angle voisin de 180 degrés, le système des lignes incolores se réduit, dans le voisinage de l'un des axes optiques, k deux droites passant par le point où la direction apparente de cet axe optique rencontre le plan du tableau et dont l'une est placée par rapport au plan primitif comme l'autre l'est par rapport à la section principale de l'analyseur. Ces deux droites se réduisent k une seule lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan prîjnitif.

230. Courbes iBochroiuAti^ues dans le mmm mm les mrnitm optiques forment »vee Im uormale m Im lame des autf es très-petits. — Nous allons maintenant nous occuper de déterminer la forme des courbes isochromatiques en supposant toujours la lame perpendiculaire à Taxe de plus petite élasticité : nous considérerons d'abord le cas où les axes optiques forment avec la normale k la lame des angles très-petits; Taxe de plus petite élasticité coïncide alors avec la ligne moyenne. Soient A l'angle que forme l'un des axes optiques avec la normale à la lame et fi l'angle apparent de cet axe avec la normale , c'est-à-dire l'angle d'incidence du rayon qui se réfracte suivant l'axe optique : on aura

sinA = 6sinB,

sinA

Si, comme nous l'avons supposé, l'angle A est petit, la valeur de à^ — Ifl est petite par rapport à celle de a* — c^, et la lame se comporte comme un cristal attractif La différence de marche 0 — E est le produit de l'épaisseur e du cristal par la différence des deux valeurs de cotR sinl. Or, d'après les formules établies pour le cas de l'incidence oblique (204), on a

cot2 R sm« I = ^—^ ^,-, ' '- ^

en posant H2= ja2 é2 sin2l [^2 (^2 c2)cos2d+a2(62 c^)sm^B] }«

Si l'on suppose que sin 1 soit très-petit et du même ordre que sin A, c'est-à-dire si l'on ne considère que les rayons voisins de la normale, on voit que H^ est de l'ordre de sin^ 1; le radical H et le terme en sin^ I sont donc très-petits par rapport à a^ + i^, et l'on peut extraire par approximation la racine carrée de l'expression qui représente cot'^ R sin^ I, ce qui donne

coin sml = - — ,-i \/a^^b^ ^±— -.3:^^- ),

en posant

A = 62(a» + c«)cos««' + ««(A*4-c») sin'tf.

En prenant la différence des deux valeurs de cot R sin I , on a

cot R' sin I- cot R' sin 1 =

réquatioQ des courbes isochromatiques est donc

ou

ae'

D'ailleurs, la valeur de H^ peut s'écrire

H2 = \a^ - b^ + sinH [6« {a^-c') -(^{a^ - b^)sin^e]\^ - 4*2 (a2- Ja) {fl2-c2)cos«dsinîI,

et , en remplaçant a^ — h^ par («* — c^) sin^ A ,

H2 = («2 - c2)2 } [sin^ A + sin^ \{h'- c^ sin^ A sin^ fl)p

-/ii^cos^ôsin^Isin^Aj.

En négligeant les termes d'un ordre supérieur à celui de sin^ I , on a

H2 = (fl2 c2)2 (sin* A + 6^ sinM+262 sin^A sin^ I

— /li^cos^ôsin^Isin^A),

ou, en multipliant le terme ai^ sin^ A sin^l par cos^6-i- sin* S, H» = {a2 - c2)2 [sin*A + i* sinM+ 3*2 (sin* e - cos2 Ô) sinU sin^].

L'angle 0 est celui que forme le plan d'incidence avec le plan des axes optiques : en prenant pour axe des x la trace du plan des axes sur le plan du tableau, et en désignant par D la distance du plan du tableau au centre optique de la lentille qui fait converger en un même point les rayons qui traversent parallèlement la lame cristal-

lisée, on a

siiilcosd'— l^t sinlsind^Kt

sinl-V^Z.

Si Ton représente par a la distance du point où l'axe optique de cette lentille rencontre le plan du tableau à la trace apparente de Tun des axes optiques sur ce plan, on a

ou, comme Tangle B est toujours petit,

sinB = Q; il vient donc

sin A = isinB = ^'

En substituant les valeurs de sînl, de sin I cosd, de sini sind et de sin A dans l'expression trouvée plus haut pour H^, elle devient

l'équation des courbes isochromatiques peut donc être mise sous la forme

ae«6«(a»-c*)» — (a? +y -ha j - ^a x ou sous celle-ci :

Les courbes isochromatiques sont par suite des lemniscates ayant pour foyers les traces apparentes des axes optiques et pour axes de symétrie la trace du plan des axes optiques sur le plan du tableau et une perpendiculaire à cette trace. La figure 37 montre la forme qu'affectent les courbes isochromatiques dans le cas que nous venons

LUMIÈRE CONVERGENTE OU DIVERGENTE. 178 d'examioer; ces courbes sont traversées par des courbes incolores qui sont en général, comme nous l'avons vu plus haut, de forme hyperbolique. Dans la figure on a supposé la section principale de l'analyseur parallèle ou perpendiculaire an plan primiliT; le système des ligues incolores se réduit alors è deux branches d'hyperbole passant par les traces apparentes des axes optiques, et chaque leimùcate coaserve une teinte sensiblement uniforme, rj 17. W. Herschel a reconnu le pre-

mier que les cristaux à deux axes peuvent donner des anneaux en forme de lemniscates'"; mais la théorie complète de ces phénomènes est due à M. de Senarmont.