r«iiilif li»Bhr»iii«lliiT« d»BBlemM •■ilcaaxea
wmimknm de 90 t^grém. — Supposons maintenant que les axes optiques forment avec la normale à la lame des angles vobins de 90 degrés, et que l'on examine les phénomènes dans le voisinage de la normale, c'esl-à-dire que l'angle I soit toujours trèspetit. Dans ce cas cosA a une valeur peu différente de léro, et COTume on a
cosA = i/T3^.
il en résulte que i*— c* est très-petit par rapport à a*— c*. Dans l'expression de H^ les termes qui contiennent le facteur 6^— c* multiplié par sin^I sont très-petits par rapport aux autres, d'après ce que nous venons de dire , et peuvent être supprimés sans erreur sensible : on a donc très-approximativement
\lh POLARISATION CHROMATIQUE.
Dans la valeur de cot^ R sin^ I on peut remplacer
a2(J2+c2)sin2èsin2I par
afl*c*sîn^dsin^I, car on a
a2 (b^+c^) sin^Ô sinn ^a^ {b^ -c») sitf» sin*! -h ao* c^ sm«» sinM,
et ie terme qui contient i^ — c^ est négligeable à cause de la petitesse de ce facteur. En faisant cette substitution il vient
*5D • 2T ûV6'-sin*I[6*(a* + c»)cos»e+»«*c*sin*»]dbH cot* n sm^ I =» ' TU »
et, en remplaçant H par sa valeur,
.on/ • oi a' — a*(5*cos*fl4-c*sin'9)sin'I col^ K sin^ I = — : ns '
col2R"sinM==
a' h' 6*-c»(6"cos*«H-a*sin*e)8inM
3 Ll
L'angle l étant toujours très-petit, on peut extraire par approximation les racines carrées des seconds membres de ces deux équations, ce qui donne
cot R' sin I = ^ [a - 1 ( t^^ cos2 e + ^2 sin« e) sinM] . C0tR'8inI = ^[i-^(i2cos2e^a2sinî^»)sin«l1,
et pour 0 — E la valeur suivante, ±^(^-^b-'^l{b^cos^6+cHin^ey^{b'^cos^6 + aH
En prenant pour axe des x la trace sur le plan du tableau du plan des axes optiques, on peut remplacer cos0 sini par ^ et sin 9 sin 1
par ^; on obtient ainsi pour l'équation des courbes isochromatiques
ou
Comme on a toujours
i2(c2 ai)<;o, c^-{n^-ab):>o.
cette équation représente une série d'hyperboles dont les axes sont dirigés parallèlement et perpendiculairement au plan des axes optiques. Le second membre de Féquation pou^vant être soit positif, soit négatif, l'axe réel de ces hyperboles est tantôt parallèle, tantôt perpendiculaire au plan des axes optiques. Dans le cas actuel il n'y a d'ailleurs pas de lignes incolores, ainsi que nous l'avons fait voir plus haut (228). .
232. courbes ta^cliroiiiatiquca dans le mmm oii !•• »xe« optique* tBwmÊéwkt mwém to i^ormale à la iMie émm aiiffle* qiil ne ••ut iroiatiia ni de séro ni de 90 deffrèa. —
Il nous reste maintenant à examiner le cas où les angles formés par les axes optiques avec la normale à la lame ont des valeurs quelconques qui ne sont voisines ni de zéro ni de 90 degrés. Les- simplifications qui résultaient dans les deux cas précédents de ce que l'une des quantités sin A ou cosA était très-petite ne sont alors plus possibles ; nous nous bornerons à déterminer la forme des courbes tsochromatiques dans te voisinage de la normale et dans le voisinage des axes optiques.
Supposons d'abord qu'on observe les phénomènes qui se produisent dans le voisinage de la normale, c'est-à-dire que l'ange I soit très-petit. On pourra alors, dans l'expression de H^, négliger le terme qui contient sin^I, et on aura
H2= (fl2 t2)2__ 3(^2 J2) ^{^^ [^2(^2^ ^2) gos^ fl
+ a^{b^-^c^)sm^6] + /w2(aî i2) (i2 ^j sin»« sinM.
Aucune des quantités sin A ou ces A n'étant voisine de zéro, ifl-^b^ et i^ — <^ ont des valeurs très-grandes par rappftft à oeik de sin^l,
et OD peut extraire la racine carrée du second membre par approximation : il vient ainsi
H = a^- J2 sinq jjî («î. ^2) cos^e + d^{l^ - c^) sin«fl] + 3a^(i^-c«)sin2flsinM = fl2 J2- sinM [62 (fl«- c2) eos«e - a«(i«- c«) sin*«].
En substituant cette valeur dans l'expression de cot^Rsin^I, on a
aod/ • 9f 1— sinM(6*cos'd4-c'sin'ô) cot^ n sm^ 1 = p ^ »
^tna ' «I 1— 8in*I(c*C08*fl-i-a'8in*d) cot^ n sm' I = ^ 5 »
d'où 9 en extrayant les racines carrées des seconds membres par approximation,
cotR'sinl-i[i -^(A>cos2fl + c»sin*e)], colR'8inl=i [i -?^(c»co8«ô + «'8in»fl)] •
La valeur de la différence de marche est donc
0 E.iJ l-ïf[(i-«j)^.«+(^-.)ri..»]j,
et l'équation des courbes isochromatiques, en remplaçant sinl cos0 par Q et sin 1 sin 6 par ^^ prend la forme
OU la forme
Les courbes isochromatiques sont donc des hyperboles dont les axes sont l'un parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes optiques, Taxe réel pouvant avoir Tune ou l'autre de ces directions. Ces hyperboles ne sont pas du reste identiques à celles du cas précédent, à moins que cosA ne soit très-petit.
Supposons maintenant que Ton considère le phénomène dans le voisinage de Taxe optique, c'est-à-dire que l*angle I diffère peu de B et qu'en même temps Tangue 0 soit voisin de zéro. La différence de marcbe est nulle pour les rayons qui traversent le cristal dans la direction de l'un des axes optiques; donc, quand on a I==B et 0= o, H est nul et l'expression de cot^ R sin^ I se réduit à
cot^ R sin^ I =
fl«H-fe*-y(fl'-^r'^sîn*B
Si l'angle I diffère peu de B et qu'en même temps 6 soit voisin de zéro, H sera très-petit et l'on aura
col^ n sm^ i =^ rn '
h étant aussi une quantité très-petite. Comme A et H sont très-petits par rapport aux autres termes, on peut extraire la racine carrée par approximation, ce qui donne
cotRsinI = ^^-j^V/a^+j2__ft2(a2+^)sin2B
d'où
2y/a«H-6*^fe*(ffVc*)sin*Bj
eU
flè V 2 l fl' H- 6' - ^' l«' -^ c") sin' bj
L'équation des courbes isochromatiques s'obtient donc en égalant H à une constante.
Pour trouver plus simplement la valeur de H^ nous mènerons, par le centre optique 0 de la lentille qui fait converger en un même point les rayons traversant parallèlement la lame, une droite 01 parallèle aux rayons considérés (fig. âS), et nous exprimerons les angles I et 0 en fonction de l'ange ^, que fait le rayon 01 avec la direction apparente de l'axe OB, et de l'angle ûi, que le plan Fiff. «8. lOB, passant par la direction des rayons considé-
rés et par celle de l'axe optique, fait avec le plan des axes optiques
ViRDET, VI. — Opiiqtie, ïï. i*j
178 POLABISATIOîS GHBOMATIQUB.
BOC. L'angW lOC, 4ue fait QI avec iii normsile OC, étooii^^al à I , et Taagle du plan lOC avec le plan BOC ^^nt égal k9, on a
s\n<p sinfl
sini sin&>'
cos 1 ^ cas ^ cos B + sin (p sin B cos cj.
L'angle ^ étant toujours très-petit lorsque les phénomènes sont observés dans le voisinage de Taxe optique, ces relations peuvent s'écrire sans erreur sensible
^ sin 01 = sin I sin0, cos I = cos B -|- ^ sin B cos &>.
En substituant ces valeurs dans l'expression de H^ mise sous la forme
H2= {«2- b^- s\nn[b^ {«'- ^').- c^ («'- *') sîn^ô] j + hà' {a^ -. fcî) (i2 c«) sin^ 9 sin^ I , il vient
H^=^ [à^-. b^ - b^ {a^- <^)sin^h+ ab^ (a^ - (^)(psinhcosBcos6j
-c^{a^-b^)(p^cos^cà]* 4- 4^^ {a^- h^) {h^- c^) ^ sin^ûi.
Comme on a
sîn^ A = 6^ sîn^ B = -ï — , »
la quantité a* — t^ — t^ (a^ — c^ ) sin^ B est nulle , et , w 1'^ i^^iHg^ \^ termes dans lesquels ^ entre à une puissance supër^fi^re. ^ la second^, l'expression de H'^ se réduit à
H"^=^ Ç^ [Ai* (û2- c2)2 sin^B Gos^B cos|iy
+ Ixé (a*- A») (A3- <^) ^ïi}^\.
Supposons qu'on projette les courbes sur un plap p^i^t^ijti^iilftfa'e à l'axe optique OB; prenons pour origine la trace apparente de cet axe sur le plan du tableau, et pour axe des a? la trace du plan des
axes optiques sur ce pian. En désignant par D la distance du centre optique 0 de la lentille au plan du tableau , on auri^ très-approximativement, à cause de la petitesse de l'angle ^,
D^cosôi = a', D^sinai^^y.
En portant ces valeurs dans l'expression de H', elle devient
En remarquant que l'on n
ryioi
et en égalant la valeur de —r-^ à une constante, on obtient pour l'équation des courbes isochromatiques
[i2(a2__c2)-(a2-6«)]a?«+fl^(A*-(?^)y'=cons|.
Le coefficient de a^ est positif toutes les fois que l'angle B est réel ; les courbes isochromatiques projetées sur un plan perpendiculaire à Taxe optique sont donc des ellipses ayant pour centre la trace apparente de l'axe optique et dont les axes de symétrie sont Tup parallèle, l'autre perpendiculaire au plan des axes optiques. Il en résulte évidemment que, sur un plan perpendiculaire à la normale, les courbes isochromei tiques sont encore des ellipses ayant pour centre la trace apparente de l'axe optique.
APPLICATION DE LA POLARISATION CHROMATIQUE À L'ÉTUDE DES CRISTAUX À DEUX AXES. - DISPERSION DES AXE&
233. Uiaiiffeiiieiito de direction des axLC* optiques airec la couleur, — Les phénomènes auxquels donne naissance la polarisation chromatique dans la lumière convergente ou divergente offrent des ressources précieuses pour Tétude des cristaux à deux axes. Les courbes isochromatiques peuvent servir à mesurer, sinon les valeurs numériques des trois indices principaux dé ces cristaux, du moins leurs rapports; mais ces déterminations, fort difficiles d'ailleurs, offrent peu d'intérêt, et c'est plus particulièrement pour étudier les changements de direction que subissent les axes optiques avec la couleur qu'on a recours aux phénomènes de la polarisation chromatique.
Dans les cristaux à un axe, l'axe unique est nécessairement le même pour les rayons de toutes les couleurs; maiç, dans les cristaux à deux axes, les valeurs des trois indices principaux changent quand on passe d'une couleur à l'autre, et, comme les valeurs que présentent ces indices pour les différentes couleurs' ne sont pas en général proportionnelles les unes aux autres, la position des axes optiques dépend de la couleur. Il y a deux cas à considérer, suivant que les cristaux ont trois axes cristallographiques rectangulaires ou sont à axes inclinés.
23 &. Pliénoiiiéiiett deo eriataux à axes reetenirvili^ii'cs.
— Les cristaux à deux axes qui présentent trois axos cristallographiques rectangulaires entre eux sont ceux qui appartiennent au système du prisme droit à base rhonibe. Dans ces cristaux, les trois axes de symétrie sont parfaitement définis, et, par suite, les trois axes d'élasticité coïncident nécessairement avec les axes cristallographiques. II en résulte que, quelles que soient les variations des quantités a, h, c, les axes optiques qui correspondent aux différentes couleurs ont tous une bissectrice commune; mais, comme l'ordre
