A+B^-^VC

Cette dernière équation donne la vitesse de propagation en fonction de la longueur d'ondulation et des constantes A, B, G,. . .; elle est de même forme que l'équation (1 0) obtenue précédemment par une autre méthode de calcul. On peut remarquer que v ne dépend pas des constantes a, b, (p et ;t, ce qui signifie que dans un milieu isotrope la vitesse de propagation d'une onde plane est indépendante de la forme et de l'orientation des trajectoires décrites par les molécules vibrantes.

L'équation (18) permet d'exprimer l'indice de réfraction du milieu par rapport au vide en fonction de la longueur d'ondulation dans le vide, car, en désignant par n l'indice de réfraction, par V et A la vitesse de propagation et la longueur d'ondulation dans le vide, on a

et Téquation (18) prend la forme

La formule (19) serait fort incommode pour la comparaison des résultats de l'expérience avec ceux de la théorie; aussi allons-nous chercher à y substituer une formule approchée dans laquelle l'indice de réfraction soit exprimé par une- série ordonnée suivant les puissances décroissantes de A. Nous admettrons à cet effet, comme le faisait Cauchy, que les coefficients constants A, B, C, . . . décroissent très- rapidement, supposition à laquelle on est conduit assez naturellement en se reportant à l'expression des sommes que représentent ces coefficients : si alors la longueur d'ondulation / est supérieure à une certaine limite que l'expérience seule pourra déterminer, le second membre de l'équation (17) formera une série rapidement convergente dont il suffira de conserver les premiers termes. En appliquant à cette équation le théorème de Lagrange sur le retour des suites, on en tire la valeur de k^ développée en une série de la forme

Pour déterminer lés coefficients Aj, Bj, Cg, . . . , il suffit de substituer dans l'équation (20) les valeurs de «^ «\ «^, . . • déduites de l'équation (17), savoir :

8'^-A:'k' + aABlfi+ ,

L'équation (20) devient alors

A^ = AA2it2^-(BA2 + A2B2)A* + (CA2+2ABB2 + A3G2)Â'«+....

d'où l'on déduit

AAo^ 1, BAs+A^Ba-o, CA2+2ABB2 + A5C2 = o,

et par conséquent A 1 D BA, B p CA,-h2ABB, CA-aB*

On voit par là que , si les coefficients A , B , C , . . . peuvent être considérés comme des quantités très-petites du premier, du troi-

sième, du cinquième,. . . ordre, as 'Ta'* ' " seront des quantités très-petites du premier, du second, . . . ordre, et par suite les coefficients A2, B2, C2,. . . décroîtront très-rapidement.

De IVquation (90) on tire pour k une expression de la forme

mais, la valeur de k^ ne contenant que des puissances paires de s, les coefficients a , j8', y', . . . des termes qui dans l'expression de k renferment une puissance paire de s sont nuls, et il reste

(91) k = as + l38^ + ys^ +

Pour calculer les coefficients a, /3, y, . . . en fonction des coefficients A, B, C, . . . qui entrent dans les équations différentielles, il faut dans ces équations, et par suite dans l'équation (17), ne prendre qu'un nombre limité de termes. Si l'on s'arrête après le troisième terme, l'équation (17) devient

s^^Ak^+Bk' + œ;

c'est dans cette dernière équation qu'il faut substituer la valeur de k donnée par l'équation (^i). Si l'on néglige les termes qui contiennent s à une puissance supérieure à la sixième , degré d'approximation qui est naturellement indiqué, puisque dans l'équation (17) on ne tient pas compte des termes où k entre à une puissance plus élevée que la sixième, il vient

d'où

9ai8A+a*B=o,

(/32 + 9ay)A + ia'/SB + Ca«= o ,

et par conséquent