V/A . AVA A VA
h 27r*BV' c 27r*(7B'-4AC)V* ^ = â = --Â^' ?=« = »^
cette expression devient définitivement
La formule ainsi trouvée est de même forme que celle qui a été obtenue précédemment (166); mais la méthode que nous venons d'employer présente cet avantage qu'elle permet d'exprimer les coefficients constants a, p, q, qui entrent dans l'expression de l'indice de réfraction en fonction des coefficients A, B, G, qui figurent dans les équations différentielles du mouvement vibratoire.
Les coefficients a, p, q peuvent être déterminés directement par l'expérience, et les quantités A, B, G s'en déduisent au moyen des formules précédentes.
Verdct, VÏ. — Optique, II. 3
Vi THEOKIK DE LA DISPERSION.
I7!2. ForaiMie de II. Olst^flel. — L'observation ne parait pas favorable à Thypothèse admise par Canchy relativement à la loi (lu décroissement des coefficients A, B, C,. . . . Si l'on essaye de représenter les indices de réfraction d'un milieu même peu dispersif
par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de p» et
qu'on calcule, comme nous venons de l'expliquer, les valeurs des quantités A, B, C,. . ., on ne remarque pas entre ces coefficients les rapports de grandeur impliqués dans Thypothese. La forme d'ailleurs des sommes que représentent ces coefficients, bien qu'elle sug{;ère assez naturellement les conditions admises par (iauchy, ne les rend pas du tout nécessaires, et on peut se demander si un examen plus attentif de la nature de ces coefficients ne conduirait pas à une loi de dispersion plus conforme h la réalité : c'est ce que s'est proposé de faire M. Crisloffel ^^K
Guidé par des considérations théoriques que nous ne reproduirons pas ici, il a élé conduit à admettre que les deux premiers coefficients A et B sont du même ordre de grandeur, mais que les autres forment une série rapidement décroissante dont le premier terme est lui-même très-petit par rapport à B. En partant de cette hypothèse, il est facile d'obtenir une formule à deux constantes pour représenter l'indice de réfraction.
Si la longueur d'ondulation / dans le milieu considéré est excessivement petite, il peut être nécessaire de prendre dans le second membre de l'équation (19) un grand nombre de termes malgré le décroissement rapide des coefficients à partir de C, et aucune relation simple entre l'indice de réfraction et la longueur d'ondulation ne peut alors en être déduite; mais, dès que / est suffisamment grand pour que la série soit réductible sans erreur sensible à ses deux premiers termes, on a la relation simple
(r^tî) V^ ^ A«2 + ^T^' Bw\
C'est à ce cas exj)ressément que M. (]ristoffel restreint ses re-
^'> nprl. Monattber.. t80t, p. 906, 997. — Po^g. Amt., CXVII, 57. — Ànn. thphijs. cl rh chfHi.^ (3K lAIV, 370.
FORMULE DE M. CRISTOKFEL. 35
cherches, laissant à rexpérienee le soin de déterminer quelle est cette limite inférieure des valeurs admissibles de /. On peut mettre l'équation (92) sous les deux formes
,j, — y* t-y,^, DW ,
la première fait voir que B est négatif, car l'expérience nous apprend
que -s diminue en même temps que X; la seconde montre que A
doit être positif.
On peut donc choisir deux quantités positives, n„ et X^, telles que l'on ait
et, à l'aide de ces grandeurs auxiliaires, l'équation (a 2) se met sous la forme
/tjX' nî
d'où l'on conclut, pour la seule valeur admissible de n,
v^TTÇ+n/TTI"'
les radicaux étant pris positivement. On ne peut effectivement attribuer le signe — à y 1 4- y sans rendre n négatif, ce qui est inadmissible, et, d'un autre côté, si, en prenant ce premier radical avec le signe -h, on donne le signe — au second, on obtient pour n une valeur croissante avec X, ce qui est contraire à l'expérience.
11 est bien entendu que cette formule est inapplicable au-dessous d'une certaine valeur de X que l'expérience doit déterminer. Si l'on fait, pour un moment, abstraction de cette restriction essentielle, on peut donner des grandeurs n^ et X^ des définitions physiques indépendantes de leurs relations avec les constantes de la théorie moléculaire. /!„ est en effet la valeur de n qui correspond à X = X^, et
X^ est la limite inférieure au-dessus de laquelle X doit rester compris pour que n soit réel, c'est-à-dire pour qu'il y ait réfraction. Pour une valeur de X inférieure à A^, il y a réflexion totale sous toutes les incidences : n^ et \ sont donc les éléments caractéristiques du rayon au delà duquel il n'y a plus de réfraction possible.
Pour la plupart des substances dont on a étudié la dispersion, A^ €8t une quantité très-petite par rapport à la longueur d'ondulation des rayons visibles. La dissolution de phosphore dans le sulfure de carbone, étudiée par MM. Dale et Gladstone ^^^ fait seule exception. La valeur de X,, qui s'y rapporte est supérieure à la valeur de X que M. Esselbach attribue à la raie R du spectre ultra-violet.
On volt enfin que -j= est une limite au-dessous de laquelle ne
peuvent descendre les valeurs de n, quelque grand que soit X. Le «pectre visible ou invisible d'une substance quelconque est donc limité des deux parts par les rayons dont les déviations correspondent
aux indices n^ et -7^ .
La formule de M. Cristoffel s'accorde d'une manière assez satisfaisante avec l'expérience ; elle donne cependant des résultats moins exacts que la formule de Cauchy à trois termes ^^K
('} Ann, deehim, etdephys.^ (3), LVIII, is5.
(*) M. Redteubacher, dans l^ouvrage intitulé : Dm Dynamiden System, qui a paru en 1857 à Mannheim, propose, en se laissant guider par des vues théoriques particulières , de représenter les phénomènes de dispersion par la formule à trois constantes
L^expérience s^est montrée moins favorable à cette formule qu^à celles de Cauchy et de M. CristofTel, dont elle diffère par Taddition d^m terme proportionnel au carré de la longueur d^ondulation.
M. Briot, dans son Estai tur la théorie mathématique de la lumière, attribue les phénomènes de dispersion à Taction exercée sur Téther par les molécules pondérables.
H remarque que celle influence peut se manifester de deux manières, soit en modifiant le mouvement vibratoire de Téther, soit en changeant, avant la vibration, la distribution de Tétber dans le milieu et en introduisant dans cette distribution des inégalités périodiques. Ces deux hypothèses ont été soumises par M. Briot à Tépreuve du calcul. Il a trouvé que Paction dii-ecle des molécules pondérables sur Téther en vibration introduit dans Texpression de la vitesse de propagation un terme proportionnel au carré de la longueur d'onde, ce qui est contraire à l'expérience.
Si Ton lioTït comple uniquement des inégalités périodiques produites dans la distribution
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de I*éther par la présence des molécules pondérables, on arrive à une formule anafogue à celle de Cauchy,
De plus, M. Briot, en égalant à zéro le terme qui indiquerait Texislence de la dispersion dans.le vide» obtient une condition d^où il résulte que les molécules d^élher se repoussent en raison inverse de la sixième puissance de la dislance, loi à laquelle il était déjà arrivé dans ses recherches sur la double réfraction.
De même, en égalant à zéro le terme proportionnel au carré de la longueur d^ondulation qui représente Tinfluence directe des molécules pondérables sur le mouvement vibratoire de réther, terme qui, diaprés Texpérience, doit avoir une valeur insensible, il arrive à ce résultat remarquable que la force qui sVxerce entre les molécules pondérables et Téther varie en raison inverse du carré des distances. (L.)
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