O — E sin3tsinaacosa(a+i — «)cosaTr
— sin af sin a (fl + t— «)sina7r — j- —
Les résultats de cette formule ont été vérifiés expérimentalement par M. Airy, dans quelques cas particuliers. Le plus intéressant est celui où la lumière est analysée circulairement, c'est-à-dire où la section principale de l'analyseur fait un angle de 65 degrés avec la section principale de la lame d'un quart d'onde. On a alors
et la formule précédente devient
oi? = ^Qh^ii sina(i+rt ) sinatsinaTr — ^ — ^ i
OU , en remplaçant s par a + / — Ix 5*",
(w^ = - ( i — sin 31 sin aw — y-- j
On déduit de là pour l'intensité de l'image extraordinaire
r = - ( I + sm at sm aw — v — 1
Ces formules sont semblables à celles que nous avons trouvées
dans le cas où la lumière est polarisée ctrculatrement, et il est par conséquent inutile d'en discuter les conséquences. La seule différence est (Jue l'angle a est remplacé ici par l'angle t; les lignes incolores sont donc données par la condition
et correspondent aux rayons qui sont polarisés parallèlement ou perpendiculairement au plan primitif. Quant à la position de la section principale de l'analyseur, elle n'a aucune influence sur les phénomènes, pourvu que cette section principale fasse un angle de â5 degr^ avec celle de la lame d'un quart d'onde
On voit que la lame d'un quart d'onde produit exactement les mêmes effets, qu'elle soit placée es avant ou en arrière de la lame cristalline.
C. — LdhiÏHE POLIHIBÏE ET INlLïstB CinCI.LtlBEMKI«T OU BLLIPTIQDIIENT.
3âA. fl«pery«Bltl«n de «rvla ■«■!«■ erlati^lMea. — I) nous reste à étudier un troisième cas qui donne lieu à des calculs beaucoup plus compliqués que le précédent, mais qui conduit à des résultats d'une simplicité remarqualdc : c'est celui où la lumière est polarisée et analysée circulairemenl ou elliptiquement, c'est-à-dire où la lame cristalline oui placée entre deuv lame." d'nn quart d'onde, H|MM|y ,vHfv 1', ce système de trois lames se j , 5«rw*.^ fr. IL trouvant lui-même disposé entre un analyseur el un polariseur.
Pour trouver les formules relatives à ce cas, il faut étudier les effets produits par la superposition de trois lames cristallines. Soient (fîg. 3i) PP' le plan primitif de polarisation, ir la section principale de la première lame d'un quart d'onde, AA' celle de la lame cristalline, JJ' celle de la seconde lamé d'un quart d'onde, SS' relie de l'analyseur. Désignons par i
Pig.S..
l'angte de .la section principale de la première lame d'un quart d'onde avec le plan primitif, par a Tangte des sections principale^ de la lame cristalline et de la première lame d'un quart d'onde, par b l'angle des sections principales de la deuxième lame d'un quart d'onde et de la lame cristalline, enfin par y l'angle des sections principales de l'analyseur et de la deuxième lame d'un quart d'onde, tous ces angles étant comptés vers la droite. Représentons par sin x le mouvement vibratoire du rayon polarisé qui tombe sur la première lame d'un quart d'onde» et supposons, pour fixer les idées, les trois lames répulsives.
Si l'on représente par ni et Çj le mouvement vibratoire sur le rayon ordinaire et sur le rayon extraordinaire à l'entrée de la première lame d'un quart d'onde , on aura
);j = cosisinjr, Çi = --sintsinx.
Pour tenir compte de la différence de marche produite par le passage de la lumière dans cette lame, il suffit de poser
OTj» A j» ^ 0 — Là'jr
— Ji = T' dou 2ff — ç — = —;
il faut donc ajouter --à la phase du rayon extraordinaire, et, en représentant par }?] et ^[ les mouvements vibratoires du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire au sortir de la première lame , on a
v\ --=cosisina:, ?(== — sintcos.r.
'A l'entrée de la deuxième lame on a pour les mouvements vibratoires du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire
et , si l'on pose
0'— E' étant la différence de marche produite par la seconde lame, on obtient pour les mouvements vibratoires du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire au sortir de cette seconde lame
jf2=-=cosicosasina; -sintsinacosx,
^^ -cosisinasin(x + d)~sinicosflcos{4?-j-9).
En continuant de même on trouve » pour les mouvemeiits vibratoires du rayon ordinaire et du ravon extraordinaire au sortir de la troisième lame,
i;3 B= cos t cos a cos b sino; — sin t sin a cos & cos ^
— cost sina sin& sin (a? + ô) — sint cosa sin& cos(x + ^)» ^3 = — cost cosa sin& cosx — sint sina sinb sino;
— cost sina cosi cos(x + ^ ) + sin t cos a cos 6 cos (a?+ ô),
et pour le mouvement vibratoire du rayon ordinaire dans l'analyseur,
i;^ =^ cost cosa COS& cosj sinx — sint sina cos& cosy cosj; . — cost8inasin6cosysin(x+^)~sintcosasin6cosycos(a? + d)
— cos t cos a sin 6 siny cos a; — sin t sin a sin 6 sinj sin x
— costsina cos68inycos(a; + d)-|-sinîcosa cos6sinysin(a;+ô),
d'où
);4 = sîna?(cosicosacos6cosy~ costsina sinicosycosô
+ sîntcosrtsinAcosysinô — sint sina sini sin^ + costsinacos&sinysind+sintcosacos&sinycosd) — cosx(sintsinacos6cosy+costsinasin6cosysin9 + sint cosa sin tcosyco8d+ cost cosa sin 6 sinj + cos î sin a cos b s\nj cos fi — sin i cos a cos b sinj sin fi ) .
On déduit de là pour Tintensité de l'image ordinaire
û>2 = cQs2 j çQg2 ^ çQgâ j cos^y + sin^ I sin^ a sin^ b sin^j
+ sin^ i si n^ a cos^ b cos^j + cos^ t cos*^ a sin^ b sin^j
+ cos- 1 sin^ a sin^ b cos^y + sin^ t cos*^ a sin* b cos^j
+ cos* t sin*a cos* b sin*y + sin* t cos* a cos* b sin*y
— îi (cos* t — sin* t ) cosa sina cosi sin b cos*y cos 6
+ 9 cos t sin t cos b sin b cos*y sin Ô+ q cos t sin t cos* b cosj sinj cos 6
+ n (cos* t — sin* t) cosa sin a cos* b cosj siny sin 6
+ 2 cos t sin t sin* b cosj sinj cos 6
+ 9 ( cos* i — sin* t ) cos a sin a sin* A cosy siny sin 6
+ a ( cos* t — sin* t ) cos a sin a cos b sin b sin*y cos 6
— ÎI cos t sin I cos b sin A sin*y sin 6 ,
LUMIÈRE POLARISÉE OU ANALYSÉE. âOi
d*oiî, par des transformalions faciles,
ûi*==cos^tcps'(a-F6)cos'y-f'8in*icos*(fl + 6)sin''y * : 4- sin* t sin^ (a + A) cos^y 4- cos^ t sin* (a + 6) sm^j + Q sin t cos t sinj cosj
+ 4 ( cos^ t — sin' t ) cos a sin a cos & sin 6 ( cos^y — sin^y ) sin'"-
— 4 sin t cos t siny cosy sin' -
+ 4 ( cos' t — sin' t ) cos a sin a cosj sinj sin - cos -
+ 4 cos i sin t cos 4 sin 6 ( cos'y — sin'y) sin - cos - »
et enfin
ûi2= cos' (y — i) cos' (a + 4) -t- sin' (y + 1) sin' (a+b)
+ cos9i'sin3asin aicosaysin' -
— sin 2t sin ^j sin' - -|- cos at sin ija sin sy sin - cos -
+ sin «11 sin 26 cos a/ sin -cos-*
La valeur de cette expression reste invariable lorsqu^on remplace simultanément t pary et y par i, a par 4 et 4 par a, d'où il faut conclure que les phénomènes ne dépendent pas du sens- dans lequel là lumière traverse le système des lames cristallines.
245. Expérlciice de Fresnel. — Un cas particulier a été étudié expérimentalement par Fresnel : c'est celui où Ton a
c'est-à-dire où les .sections principales des deux lames d'un quart d'onde font avec la section principale de la lame cristalline des angles égaux à 45 degrés dn même côté ou bien de part et d'autre. Supposons en premier lieu que l'on ait
la formule obtenue pour le cas de la superposition de trois lames
cristallines devient alors
ù^ -= sin' [j -f- 1) -h cos 9t cos ^j sin* — sin a t sîn a/ sin* -
+ cos 2t sin 21 sin - cos - + sin a t cos a; sin - cos - »
d'où
9 • 5 / ' I 'N 1 / • I 'X * — COS0 . / • . 'x sin 0 (5j' = sin'»(; + t) + cosa(; + t) — ^ hsina(; + i)-^
«= — - cos a (y + 1) cos 0 4- ~ sin a {j+ 1 ) sin 0
= i[i-co8[3(;+.-)+(?]] = sin«(>+i+^).
On trouverait de même
e^==cos* \J+i+^) '
Il résulte de là que ie rayon qui pénèlre dans l'analyseur est polarisé rectilignement , et que son plan de polarisation fait avec la section principale de l'analyseur un angle a égal à
Or la section principale de l'analyseur fait avec le plan primitif un angle égal h
it
le plan de polarisation a donc tourné vers la droite d'un angle
ou, ce qui revient au même, d'un angle - vers la gauche.
Il résulte de là que si on place entre deux lames répulsives d'uil quart d^onde dont les sections principales sont à angle droit une lame répulsive dont la section principale fait des angles de A 5 degrés avec celles des deux lames d'un quart d'onde, le passage de la lumière à travers le système de ces trois lames fait tourner le plan de polarisation vers la gauche d'un angle égal à la demi-différence dé phase établie par la lame cristalline entre le rayon ordinaire et
le rayon extraordinaire. Si les lames sont attractives» la il^tation a lieu vers la droite.
On voit que le sens et la grandeur de la rotation du plan de polarisation ne dépendent nullement de& angles t eij : si donc, laissant constantes les positions du polariseur et de Tanalyseur, on fait tour* ner le système des trois lames supposées liées invariablement les unes aux autres^ les phénomènes ne changeront pas d'aspect.
L'expérience de Fresnel est surtout intéressante en ce qu'elle montre qu'on peut reproduire artificiellement les propriétés rotatoires du quartz et des substances analogues. Dans un cas comme dans lautre, la rotation du plan de polarisation est proportionnelle à Tépaisseur de la lame et ne dépend pas de la position du plan primitif par rapport à la section principale de la lame. La loi de la dispersion n'est pas la même cependant dans l'expérience de Fresnel et dans les phénomènes de la polarisation rotatoire; la rotation du plan de polarisation dans l'expérience de Fresnel est à peu près inversement proportionnelle à la longueur d'ondulation, tandis que, dans les phénomènes de polarisation rotatoire proprement dits, cette rotation est en raison inverse du carré de la longueur d'ondulation. Les teintes ne varient donc pas de la même façon dans les deux cas; mais y dans l'expérience de Fresnel comme avec les substances douées de la polarisation rotatoire, les teintes des deux images dépendent de l'angle que fait le plan primitif avec la section principale de l'analyseur et se reproduisent identiquement lorsque cet angle varie de 180 degrés.
Si l'on a « =^ — A == /i5',
la formule qui donne l'intensité de l'image ordinaire devient
oj^ = cos^ (j — t) — cos y cos 91 sin^ sin 91 sin 9^ sin^ -
. . .sin9 . .sin9 + cos 2 1 sm uj sinai cos 9^
o / • "x /. .v/i— cosÔN , . /. .X sin 9
=rCOS^(j-t)-COSQ{j-^i)\^ — - — j+sin9(j-i)-^
=- - f 1 4-cos9{y — t)cos9+sin9 (j — i)sinflj -ii.4-co8[a(>-.)-.ô]]=^cos»(;-.-f):
le rayon qai pénètre dans l'analyseur est donc polarisé rectilignement, et son plan de polarisation fait avec la section principale de lanalyseur un angle égal à
cette section principale fait elle-même avec le plan primitif un angle égal à
la rotation du plan de polarisation est donc dans le cas actuel de
y à droite du plan primitif; on voit que dans ce cas la rotation
n'est plus indépendante de l'angle j.
SA 6. Expérlciice d'Alry. — Un second cas remarquable a été étudié expérimentalement par M. Airy : c'est celui où la lumière est polarisée et analysée circulairement, c'est-à-dire où le plan primitif et la section principale de l'analyseur font des angles de AS degrés, l'j premier avec la section principale de la première lame d'un quart d'onde , la seconde avec la section principale de la deuxième lamé d'un (|uart d'onde, de sorte que l'on ait
Si Ton suppose
la formule qui donne l'intensité de l'image ordinaire dans le cas de la superposition de trois lames cristallines devient
^=cos*^-; a
si au contraire on pose on a
On voit que dans les deux cas le rayon ([ni pénètre danS' Tana-
i)seur est polarisé rcctilignement. Dans le premier cas, le plan de polarisation de ce rayon fait avec la section principale de l'analyseur
un angle égal à -; comme cette section principale fait elle-même
avec le plan primitif un angle égal à
fl + oH — 1
on voit que le plan de polarisation a tourné vers la droite d'un angle égal à
--f-a+iH —
Dans le second cas, l'angle du plan de polarisation avec la section principale de l'analyseur est égal h
' it 9 l'angle de cette section principale avec le plan primitif est égal à
et la rotation du plan de polarisation vers la droite à
Dans l'exporience d'Airy, les intensités des images ne dépendent pas des angles a et h, mais seulement de leur somme a + h; il résulte de là que si , laissant constantes les positions du polariseur, de l'analyseur et des lames d'un quart d'onde , on fait tourner la lame cristalline dans son plan, ce qui fait varier les angles a ei h sans altérer leur somme , les phénomènes ne changeront pas d'aspect.
L'expérience d'Airy peut être répétée dans la lumière convergente. Les lignes incolores n'existent pas; quant aux lignes isochromatiques, on les obtient en posant
elles ont donc même forme que dans la lumière polarisée rectiligne-
ment; mais elles sootplus nettement accusées, ce qui tient à ce que les minima correspondant à chaque couleur sont rigoureusement nuls. Chacune de ces lignes conserve du reste la même teinte dans toute son étendue.
On peut rendre compte directenient des expériences de Fresnel et d'Airy sans passer par le cas général de la superposition de trois lames cristallines. Ces calculs ne présentant aucune difficulté» nous ne nous y arrêterons pas.
LOIS EXPERIMENTALES ET THEORIE DE LA POLARISATION CHROMATIQaE.
811. Arago, Sur une modification remarquable qu'éprouvent les rayons lumineux dans leur passage à travers certains corps cUaphanes, Mém. de la jn'em. cltme de VInsL , XII , 98. — OEwret wmfHêm* t. X,p. 36.
811. Arago , Sur les couleurs dn sulfate de chaux , Œuvres complitee, t. X , p. 368.
81a. Arago , Mémoires sur plusieurs phénomènes d*optique , Œuvres complètes, t. X , p. 85 , 98.
819. BiOT, Sur de nouveaux rapports qui existent entre la i*éflexion et la polarisation de la lumière pnr les corps cristallisés, Mém. de la prem. classe de l'Inst., XII ^ i35.
813. BiOT, Mémoire sur un nouveau genre d'oscillation que les molécules de la lumière éprouvent en traversant certains cristaux, Mim. de laprem, classe de HnsL, XHl, 1'* partie, 1.
81a. BiOT, Sur une nouvelle application de la théorie des ^^Uationa de la lumière, Mém. delaprem. clause de VlnsL, XIII, a* partie, 1.
819. BiOT, Mémoire sur les propriétés physiques que les molécules lumineuses acquièrent en traversant les cristaux doués de la double réfraction, Mém. de la prem. classe de TlnsL, XIII, a* partie, 3i .
81 3. Brbwstbr, Treatise mi New Phtlosophical Inslrumenis, Edinburgh, p. 336.
81 3. BiOT, Sur une manière d'imiter artificiellement les phénomènes do couleurs produits par Faction des lames minces de mica sur les rayons polarisés, Mén. d*Arcueil, III , 106.
81 3. BioT, Sur une loi remarquable qui s*observe dans les oscillations des particules hiroineuses lorsqu'dles traversent obliquement dos
Iam«minc98 de chaax sulfatée ou de criatal ik coche taillées pa-
rallèiement h Taxe de cristallisation, Mém. d'Arcueil, III, i33. 8 1 i . BiOT, Rtcherches expéritnentalet et mathématiquei iur le mouvement dee
molécuies de la hmière autour de leur centre de gravité, Paris. 8i i. YoDNG , Sur TexplicatioD des couleurs que présentent les lames cristallines par la théorie des interférences, Quarterly Remew, XI,
4a. — MieeM, Worke, t. I, p. a6g.
8i A. Brbwstek, On tbe Affections of Light Transaiitted tbrough Crystal-
lizedBodies, PlûL Trane., iSiA, p. i85.
8i5. Bb£wstkb, Experiments on the Depolarisation of Light as Exhibited
by Various xMineral. Animal and Végétal Bodies, PhiL Trans,,
i8i5, p. SQ.
8i 6. FaBSNEt , Mémoire sur Tinflueuce de la polarisation dans l'action que
les rayons himineux exercent les uns siir les autres, Œuvres
complètes, 1. 1, p. Sgi, /iay. 817. Fresne^, MéoAoire sur les modiCcations que la réflexicm imprime à
la luoiièi'e polarisée, Œuvres complètes, 1. 1, p. &55, igS.
817. pRESNEL, Lettre à Arago sur Tinfluenee de la chaleur dans les couleurs développées par la polarisation, Ann. de chim, et de pkys,, (q), IV, 298, . -
818. Brewstbr, On the Laws of Polarisation and Double Réfraction in/ Regulariy Crystallized Bodies, PhiL Trans., 1818, p. 199.
8a 0. W.Herschel, On the Action of Crystallized Bodieç on Homogeneous Light and on the Cause of Déviation from Newton's Scale in the Teints which Many of thera Développe as Exposed to a Polarized Ray, Pkil. Trans., 18*20, p. 45.
8a 1. Fresnbl, Note sur les couleura que la polarisation développe dans les lames cristallisées parallèles à Taxe, Œuvres complètes, 1. 1, p. 533.
i8ai. Fresnel, Note sur la théorie des coulem's que la polacisation développe dans les lames minces cristallisées. Œuvres complètes, 1. 1 , p. 5a 3.
i8ai. Frbsmel, Note sur Texpérience des franges produites par deux rhomboèdres de chaux carhonaiée^ Œuvres complètes, t. I, p. 538.
,8a 1. Freskbl, Note sur la polarisation mobile, Œuvres complètes, t. I, p. 54a.
8a 1. Frbshel, Note sur les interférences des rayons polarisés, Œuvres consistes, 1. 1, p. 545. (Expérience des rhomboèdres.)
iSai. FRBSREt, Note sur lapplication du principe des interférences à l'explication des couleurs des lames minces cristallisées. Œuvres cotn-pietés, t, I, p. 55i.
,8ai. Abago, Rapport sur un Mémoire de M. Fresnel rdatif aux couleurs des lames minces cristallisées douées de la double réfraction, Aun»
de ekim, et de phyg. , (9) , XVII ,80. — Œuvrer ctmplètes d'Arago ,
t. X, p. /ioa. — Œworee cmnplèies de Fresnel , 1. 1, p. 553. 1891. RioT, Remarques sur le rapport préoédent , Ann, de ehim, et de pkys. ,
(9),XVII,aa5.
1 8a 1 . Arago , Examen des remarques de M. Riot ^ Ann. de ehm, et de pkys. ,
