éwiÊkmmtàm^Êm eiipérimentoles de M. Jamin* — Les

formules que nous venons de calculer ont été données en 1839 par Mac Gullagfa. Elles diffèrent très-peu , quant aux résultats expérimentaux» de celles que Gauchy a fournies à M. Jamin sur sa demande. M. Jamin ne connaissait nullement le mémoire de Mac GuUagh, et il voulait vérifier s'il est possible de rendre compte des phénomènes que produisent les cristaux doués du pouvoir rotatoire, en supposant que dans ces cristaux le rayon vecteur de l'ellipsoïde de Huygfaens est diminué d'une longueur constante ^^^

Dans ses expériences de vérification, M. Jamin opérait avec une lame de quartz perpendiculaire à l'axe, qu'il inclinait d'une quantité variable sur la direction des rayons incidents; l'angle 6 pouvait ainsi se calculer à chaque observation. La lumière, au sortir de la lame, était reçue sur un compensateur de Babinet (209), qui servait à mesurer la différence de phase entre les composantes polarisées parallèlement et perpendiculairement à la section principale; c'est par l'observation de cette différence de phase que M. Jamin a cherché à vérifier les conséquences de la théorie; les nombres qu'il a obtenus coïncident parfaitement avec ceux qu'il a déduits des formules de Gauchy. On peut donc regarder la théorie précédente comme expliquant d'une manière complète les phénomènes de la polarisation rotatoire dans les cristaux à un axe.

B. — Cristaux X deux axbs.

292. ]IIétli«de de iHac CuUaffli. — On est- loin de connaître aussi bien les lois qui régissent la marche de la lumière dans les cristaux à deux axes dont les dissolutions jouissent du pouvoir rotatoire. 11 est évident que dans ces cristaux la polarisation doit être en général elliptique. La question a été abordée successivement par Mac Gullagh et par Gauchy, mais ces géomètres n'ont donné que des indications de théorie sans développer leurs calculs.

''J C. R., XXX, 99. — Afin, de chim. H dpphys., (3), XXX, 05.

La méthode de Mac Culiagh ^^^ est très-remarquable : c'est un bel exemple de ce qu'on peut faire quand on est réduit à de simples conjectures. Pour faire comprendre en quoi consiste cette méthode, il faut rappeler certains principes de mécanique et, en premier lieu , celui qui porte le nom de d'Alembert. Ce principe nous apprend que, dans le mouvement d'un système de points soumis à des liaisons quelconques et sollicités par des forces quelconques, il y a équilibre à chaque instant, au moyen de ces liaisons, entre ces forces et des forces égales et directement opposées à celles qui produiraient sur chaque point matériel supposé libre le mouvement qu'il suit réellement.

Si on considère un point en état de mouvement dont les coordonnées sont A?, 2^, z, et dont le déplacement a pour projections sur les axes Ç, >;, Ç, et si, de plus, ce corps est sollicité par une force totale dont les composantes suivant les axes sont X, Y et Z, il faut que l'on ait, d'après le principe des vitesses virtuelles combiné avec celui de d'Alembert,

quels que soient les déplacements virtuels Sx^ Sy, Sz.

S'il y a un système de points liés entre eux, il faut que la somme des moments virtuels relatifs à chaque point soit nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons. Si les points sont infiniment rapprochés, cette somme se change en intégrale, et l'équation devient

/[(X-»g)fe + (ï-,g)^+(Z-«§)&].o.

Si, au lieu des forces motrices X, Y, Z, nous introduisons les forces accélératrices, et si nous remplaçons la masse m par pdxdydzy p désignant la densité, nous avons

Toutes les fois que les forces qui agissent sur le système sont

«») Prûceed. ofthe Ir, Acad,, I, 383.

ESSAIS DE THÉORIE. 3â5

uniquement des forces moléculaires ne dépendant que de la distance des molécules entre elles, la somme XSx + YSy + ZSz peut être considérée comme la différentielle totale d'une fonction V des coordonnées x^ y^ Zy que Ton désigne sous le nom de fonction des forces ^^\ En remplaçant cette fonction par rfV, Téquation précédente peut s'écrire

JjJ p dx dy dz d\ =^Jjjp dx dy dz {j^^^ + ^ïf^y +^ Sz^ '

Quand la fonction des forcés est connue, le problème ne présente plus que des difficultés d'analyse , et on voit que , pour les mouvements vibratoires moléculaires, tout se réduit à ia recherche de la fonction des forces.

Dans les milieux biréfringents dépourvus du pouvoir rotatoire, Texpérience montre que la lumière est toujours polarisée. Les phénomènes, et par suite la fonction des forces, ne dépendent que des déplacements relatifs des molécules du milieu. Mais de ces déplacements relatifs il est impossible de rien déduire qui puisse donner lieu aux phénomènes rotatoires.

Mac Cullagh a reconnu que , si l'on introduit dans la fonction des forces Yaire relative d'une molécule par rapport aux autres molécules, l'équation contiendra des termes proportionnels aux dérivées troisièmes et pourra rendre compte du pouvoir rotatoire.

Quand une molécule se meut dans l'espace, l'aire décrite par sa projection sur le plan des xy est

^-{xdy-ydx);

mais si, au lieu de rapporter le mouvement de cette molécule à l'origine des coordonnées, on le rapporte à une autre molécule également mobile, on pourra considérer l'aire relative de la première par rapport à la seconde. Pour obtenir cette aire relative, il suffit de remplacer dans l'expression précédente x et y par les déplacements relatifs. Soient donc n et Iles projections, sur les axes des y et des a;,

du déplacement d'une des molécules; ti + j-dz, Z+-^dz les pro-

(') Voir, pour la démonslratioa de ce Ifaéorème, le tome VII du présent ouvrage, p. 7.

326 POLARISATION ROTATOiRE.

jections du déplacement de la seconde molécule. En considérant le mouvement d'une onde plane perpendiculaire à Taxe des z, la considération des aires relatives introduira dans la fonction des forces des termes de la forme

dzdz* dz dz*^

et Téquation définitive où entre d\f contiendra des dérivées troisièmes. Si Ton fait cette hypothèse dans la théorie de Mac Gullagh sur les cristaux à un axe , on peut expliquer toutes leurs propriétés rotatoires. On est donc conduit à penser que la même hypothèse dans les fonctions des forces pour les cristaux à deux axes rendra compte aussi des phénomènes de la polarisation rotatoire. L'introduction des aires relatives dans la théorie de la propagation de la lumière dans les cristaux à deux axes montre que la polarisation y est généralement elliptique, mais que, suivant les directions des axes optiques, elle devient circulaire, ce qui tendrait è faire penser que les cristaux à deux axes possèdent le pouvoir rotatoire suivant les directions de leurs axes optiques. Cette conséquence de la théorie de Mac Gullagh serait très-importante, mais elle n'a pu encore être vérifiée expérimentalement. D'abord, il est rare de rencontrer des cristaux à deux axes assez transparents et assez purs pour se prêter à des expériences de ce genre, et qu'on puisse tailler perpendiculairement à la direction d'un axe optique. Mais, quand même cette difficulté serait surmontée , il en resterait une autre inhérente aux propriétés mêmes des cristaux à deux axes. Dans les cristaux à un axe, le rayon ordinaire a une vitesse constante et le rayon extraor*^ dinaire acquiert sa vitesse maximum ou minimum lorsqu'il se meut dans la direction de l'axe. Il en résulte que les phénomènes varient très-lentement au voisinage de l'axe. Dans les cristaux à deux axes, au contraire, l'axe optique est une direction suivant laquelle les vitesses des deux rayons sont fortuitement égales ; aucune d'elles n'y est maximum ni minimum , et elles varient rapidement dès qu'on s*en écarte. On conçoit donc que les propriétés rotatoires suivant les axes optiqties seraient très-difficiles à mettre en évidence.

293. TrmwmuiL de C^uehy. — Gauchy a fait connaître en 1847 ^^^ des équations hypothétiques qui expliquent les phénomènes de la polarisation rotatoire dans les cristaux à deux axes. Le mouvement vibratoire moléculaire dans les cristaux à deux axes dé-' pourvus de pouvoir rotatoire peut se représenter par des équations de là forme

f=2'*m(Ax+A|)/(t,+p),

et deux autres analogues pour 3^ ^* ^ • Dans ces équations , m

et (i sont les masses des molécules qui occupent les positions ayant pour coordonnées x,y^ z et x+àx^ y+^y^ z+àz] |, v^K sont les déplacements de la première molécule dans Tétat de mouvement, Ç+Aê, n + àriy Ç-4-AÇ les déplacements de la seconde molécule, V leur distance initiale et p + v leur distance pendant le mouvement.

Pour tenir compte du pouvoir rotatoire, Cauchy complète ces équations en leur ajoutant un terme de la forme suivante :

^ = 2l^m( Aa?4-AÇ)/(t?+p) + ^i^m {^zàn+^y^)fi W-

Les termes ainsi ajoutés sont du genre de ceux qui représentent les aires relatives. Mais, au lieu d'introduire dans la fonction des forces des dérivées secondes, et par suite des dérivées troisièmes dans l'équation définitive, les formules de Cauchy introduisent dans Texpression du mouvement vibratoire les dérivées premières du déplacement, d'où il résulte qu'avec l'approximation que nous avons employée précédemment on arrivera à des résultats indépendants de la longueur d'ondulation. Cette théorie parait donc inférieure en probabilité à celle de Mac Cullagh. Cauchy a vainement essayé de rendre compte de la polarisation rotatoire par une hypothèse sur la constitution mécanique du milieu et sur l'arrangement des molécules. Il avait cru y arriver en supposant aux molécules une forme dissymétrique, mais Mac Cullagh lui fit observer que son hypothèse le conduirait à introduire dans les équations différentielles des CD C.i?.,XXV,33i.

termes à coeiFicients de même signe , tandis que les signes de ces coefficients doivent être contraires pour qu il y ait pouvoir rotatoire.

294. Travaux de H. ClelMeh. — Un mathématicien allemand, M. Glebsch ^'^ a développé les formules de Gauchy et cherché à en déduire les propriétés des cristaux pourvus du pouvoir rotatoire. La méthode de M. Glebsch est souvent fort arbitraire; il identifie dans le cours des calculs des constantes distinctes, de sorte qu'on peut élever des doutes sur l'exactitude de ses résultats. En étudiant les cristaux à deux axes , il a trouvé que leurs propriétés suivant les directions de leurs axes optiques sont comparables à celles des cristaux à un axe suivant la direction de Taxe. Il a cherché ensuite à donner une explication mécanique des termes ajoutés par Gauchy. Suivant lui, on retrouve les termes introduits par Gauchy en admettant qu'outre les actions ordinaires qui s'exercent entre deux molécules il en existe une autre, variable avec la distance et dirigée perpendiculairement au plan qui passe par les deux molécules et par la direction de la vitesse relative de l'une d'elles par rapport à l'autre. Mais ce qui est plus extraordinaire encore, c'est que M. Glebsch admet que cette force persiste indéfiniment, c'est-àdire qu'à chaque instant elle est représentée par l'intégrale de toutes celles qui ont existé depuis le commencement du mouvement ; toutefois cette intégrale ne peut être indéfiniment croissante. On voit que toutes ces hypothèses sont peu d'accord avec ce qui s'observe généralement^^).

G. — Pouvoir rotatoire des dissolutions actives.-

295. Coiftslilératioiis séitéralMi. — Laissant de côté les considérations théoriques que nous venons d'exposer, il y a intérêt

0) Journal de CreîU,Lm,Zig.

(4 Postëriearement à Tépoque où ces leçons ont été professées, M. Briot, dans son Eiiai iur la théorie mathématique de la lumière, a donné une théorie complète de la polarisation rotatoire. Il prend pour point de départ les inégalités que, dans les milieux dissymétriques, Télher éprouve dans sa distribution, et suppose que dans ces milieux les files de molécules d^ther sont tordues en hélices elliptiques. Ces inégalités introduisent dans les équations différentielles des mouvements vibratoires des dérivées d^ordre impair dont la présence indique le pouvoir rotatoire. Nous renvoyons le lecteur à Fouvrage de M. Briol, retendue de sa théorie ne nous permettant pas de la reproduire ici.

ESSAIS DE THEORIE. 3â9

à envisager la question à un autre point de vue et à chercher ce qu'il y aurait à faire pour passer de Tétude des cristaux doués du pouvoir rotatoire à celle des dissolutions actives. On peut regarder comme établi par la théorie et par l'expérience que, daos les cristaux à un ou à deux axes doués du pouvoir rotatoire, la polarisation rectiligne se change en polarisation elliptique; de plus, à cause de la petitesse des termes à ajouter aux équations différentielles., les ellipses de Tonde ordinaire et de Tonde extraordinaire seront toujours à peu près semblables. Pour se rendre compte des propriétés des dissolutions actives, il faudra résoudre le problème suivant : Quel est Teffet produit sur un rayon polarisé rectilignement par un nombre immense de molécules douées de la propriété de transformer ce rayon en deux rayons elliptiques de sens contraire, et disséminées de toutes les manières possibles dans un milieu inactif? Il est nécessaire de poser ainsi la question, à cause des nombreuses expériences qui prouvent que la structure moléculaire se conserve dans les dissolutions, et que par conséquent la dissolution d'un cristal doué du pouvoir rotatoire dans un liquide inactif doit être considérée comme un mélange de molécules actives et de molécules inactives. Nous allons d'abord chercher à rendre compte de cette première loi, qui consiste en ce que la rotation du plan de polarisation produite par une dissolution est proportionnelle à Tépaisseur de la colonne liquide traversée. Pour cela nous remarquerons que, Tordre dans lequel se succèdent les molécules étant indifférent, on peut grouper ensemble toutes celles dans lesquelles le rayon lumineux fait les mêmes angles avec les axes de cristallisation; la section principale des molécules ainsi définies est encore indéterminée, et elle pourra prendre toutes les directions compatibles avec la première condition. Nous allons nous proposer de démontrer que Teffet d'un pareil système sera de faire tourner le plan de polarisation d'un angle déterminé, et, pour y arriver, nous allons d'abord examiner Teffet d'une lame unique douée du pouvoir rotatoire.

296. Action d'une tome mince uniiiuc, douée du pouvoir rotetoire» sur lo lumière poloriséc rcctiliinnement.

— Supposons qu'un rayon polarisé rectilignement tombe sur une

Vbbdbt, VI. — Oplique, 11. 99

lame cristalline mince, douée du pouvoir rotatoîre, et que cette lame soit oLHque à l'axe s'il s'agit d'un cristal à un aie, et dirigée d'une façon quelconque s'il s'agit d'un cristal h deux axes. Prenons pour plan de figure UD plan (fig.AS) parallèle à la suKace de l'onde incidente supposée plane. Soient PF la trace du plan primitif de polarisation sur ce plan de figure et U' celle de la section principale de la lame. Le mouvement vibratoire de la lumière incidente peut se décomposer en deux mon- I vcmenis parallèles à U', que nous prendrons pour aie des 5, et à la droite OM perpendiculaire à II', qui sera l'aie des ij. On obtient ainsi deux rayons polarisés dans des plans peq)endiculaires, que l'on peut, comme nous l'avons vu (260), remplacer par deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire. Eu désignant par t l'angle de la section principale de la lame avec le plan primitif de polarisation, par k une quantité comprise entre léro et l'unité et variable avec la direction du rayon par rapport aux axes du cristal, en posant enlin

nous avons trouvé que les mouvements vibratoires sur les deux rayons polarisés elliptiquement sont exprimés (260), pour le rayon polarisé elliptiquement de gauche à droite, par les équations

n = ., (cos t sin p— A sin t cos <p) ,

5 = — — -T;(cosicos<p+tsinisintp),

et pour le rayon polarisé elliptiquement de droite à gaucbe, par

les équations

17'=— -T5(A;^costsin^+À:sintcos^),

Ç == jz ( ^' cos 1 cos (^ — sin t sin (p).

Les deux rayons elliptiques, en traversant la lame, y acquièrent une certaine différence de phase, et, pour obtenir les expressions des mouvements vibratoires au sortir de la lame, il faut, pour le rayon polarisé de gauche à droite, remplacer (p par ^ — J, et, pour le rayon polarisé de droite h gauche, remplacer (p par ^ — y, ^ et y étant définis comme il a été dit plus haut (261). Il vient ainsi

ri — ""TTî [cos t sin [(p — S) — k sin t cos (^ — S)] ,

Ç= TTi [cos i cos {(p — S)+k sni isin (^ — S)\ ,

n' = jT^ [Ic^ cos isin {(p—y)+k sin t cos (^ — y)] ,

Ç'=-— Ti[/:costcos((p — y) — sintsin((p — y)].

Pour déterminer l'état du mouvement vibratoire à la sortie du cristal, prenons pour axe des x la trace du plan primitif de polarisation et pour axe des y une droite pei*pendiculaire ; nous aurons

y-=(); + >?')cosi— ($+|')sinî, 0?= (); + ïj' ) sin i+ ( ?+ Ç' ) cos î.

En remplaçant dans ces équations Ç, ^\ >;, v par leurs valeurs, il vient

(i+*^)y = cos2t'[sin((p-^)+À''^sin((p-y)]

— sinicosi[À:cos(^ — J) — À:cos(^-— y)] +sintcost[A;cos(^— ^) — A;cos(^ — y)] + sin^ i[k^ sin {(? — S) + sin (<p — y)] ,

d^oîi

[i+li?)y=cos^i[s{n{(P'-S) + k^sin{Ç'-'y)]

+ sin'i[k^s\n{(p-S) + dn{(p^y)].

là.

De même on trouve

(i+^)^=sintcosi[sin(^ — ^) + /c^8in(^— y)]

— sin^ i[k cos {<P — S) — k cos (^ — y)]

— cos^ t [ A; cos {(p — S)—'k cos (^ — y)]

— sintcos»[Psin(^— ^) + sin(^ — y)], d'où Ton tire

(i +^)a?=À;cos(^-- y) — A;cos(^— <î)

+ sintcost[(i — À?)sin(^ — ^) — (i--A^)sm(^— y)],

et enfin

(i +Aa)a;=- aAsin^sin (<P-^)

-(i — /t2)sm9î sin-^cosf^ ^J •

Reprenons maintenant la valeur de {i+k^)y et écrivoos-la de la manière suivante :

cos*i

{i + k^)y'-~\{i+l^)[sin{(p-S)+sin{<f>-y)]

+ (,-A>)[sin((p-^)-6in((p-y)]} 4-^j(i+A^)[sm(^-y)+sin((p-^)]

(i-*^)[sin((p-y)-sin(^-^)]j

En simplifiant cette expression et en lui adjoignant celle de [i+lfi)x, on a définitivement pour les deux composantes du mouvement vibratoire au sortir de la lame

(t + *=')y-(i+A»)cos^8iii(ç-^)

— (i — Â?) cos a» sin -^ cos (<f> ^\ ,

(i + il2)x=-9Asin^8in((p-^)

— (i — A*)siD9tsin-^cosr^ T^j '

Ces rayons forment un système facile à dëfmir. En effet, chacune des valeurs de ^ et de y est la somme de deux termes dont les deux premiers ont la même phase, ainsi que les deux seconds, et la phase des deux premiers termes diffère de celle des deux seconds termes

de — • L'ensemble du mouvement peut donc élre considéré comme

étant celui de deux rayons polarisés rectilignement et dont les phases

diffèrent de — •

Le rayon représenté par les deux derniers termes a pour amplitude

sm

i-ft" .<y^.

il est polarisé dans Tazimut ai.

Si nous supposons que Ton ait <î > y, c'est-à-dire que le rayon polarisé elliptiquement de gauche à droite aille moins vite dans la lauie cristalline que le rayon polarisé de droite à gauche, les deux composantes du rayon que nous venons de considérer sont négatives et sa phase est représentée par

son intensité est

sm

^izl.

Les deux premiers termes représentent aussi un rayon polarisé rectilignement, dont la phase est

et l'intensité

Pour trouver son azimut de polarisation , il suffit de remarquer que le rapport du terme en x avec le terme en y représente la tangente de l'angle que forme ce plan de polarisation avec le plan primitif. En désignant cet angle par p, on a

ik . S-y

En résumé, TefTet produit sur un rayoo polarisé par une iame douée du pouvoir rotatoire peut s'énoncer de la façon suivante : le rayon, à la sortie de cette lame, est remplacé par deux autres polarisés rectilignement, Tun polarisé dans Tazimut ai, ayant pour

phase ^ ~ — ~- et pour intensité f — ^) sifi* — -^ Tautre

polarisé dans un plan qui fait avec le plan primitif de polarisation un angle ayant pour tangente — .3 tang — ^1 ayant pour phase <P ^ et pour intensité

Si nous supposons que l'épaisseur de la lame soit très-petite, les

angles p et — - seront aussi très-petits , et par suite sensiblement proportionnels h leurs tangentes. On pourra donc écrire

afc S— y

P^TTk

\ En outre, — - étant très-petit, on voit que l'intensité du rayon

polarisé dans l'azimut p sera sensiblement égale à l'unité et que celle du rayon polarisé dans l'azimut ai sera très-près d'être nulle. Donc une lame mince ne produit, sur un rayon rectilignement polarisé, d'autre eifet que de faire tourner le plan de polarisation, elle

pouvoir rotatoire de cette lame est représenté par -7^^ quantité dont la plus grande valeur correspond à 4= 1.

297. Aetlon d'un ffrand nomlirc de tomes eristellliiMi minces ésnlement épaisses et diversement orientées. —

Nous allons maintenant examiner le cas où un rayon polarisé rectilignement traverse un grand nombre de lames douées du pouvoir rotatoire, toutes de même épaisseur et ayant leurs axes de cristallisation également inclinés sur le rayon incident, mais dont les sections principales peuvent avoir des directions quelconques. Supposons qu'il y ait n de ces lames de même épaisseur et représentons

par t| Tangue de la section principale de la première lame avec le plan primitif de polarisation, par t^ l'angle de la section principale de la seconde lame avec la section principale de la première, par i^ Fangle de la section principale de la troisième lame avec la section principale de la seconde, et ainsi de suite jusqu'à t.^ tous ces angles étant comptés vers la droite.

En traversant la première lame, le rayon se divise, comme nous venons de le voir (296), en deux rayons polarisés rectilignement, l'un polarisé dans l'azimut ai et le second polarisé dans l'azimut p; si Ton désigne par b^ l'intensité du premier de ces rayons et par a* l'intensité du second, on a

0 = — —îTSin — -^

En traversant la seconde lame, chacun de ces deux rayons se comportera comme le rayon unique incident, ce qui donnera quatre rayons. De même il y aura huit rayons au sortir de la troisième lame, et en général a** rayons à la sortie de la jT^ lame, ce qui donne s* rayons quand toutes les lames formant le système que nous considérons auront été traversées.

Parmi ces â* rayons considérons celui qui, en traversant toutes les n lames, a toujours subi la modification qui correspond à la lettre a. Le plan de polarisation de ce rayon aura tourné de np, son amplitude sera devenue a* et sa phase

Il y a ensuite des rayons qui ont subi la modification a dans n — 1 lames, et la modification 6, c'est-à-dire le passage à l'azimut 3t^ dans une lame seulement : leur amplitude sera a'~^ &, et, comme la modification 6 a pu s'effectuer dans chacune des n lames, il y aura n rayons de cette nature.

De même la modification & a pu se produire 3 fois et la modification a a pu se produire n — s fois : le nombre des rayons de cettç

nature sera égal au nombre des combinaisons de n objets pris deux

à deux, c'est-à-dire à — ^ •

En général, un rayon qui aura subi n—q fois la rotation du plan de polarisation égale à p, et 9 fois la rotation égale à si, aura pour amplitude a" ""'6', et le nombre des rayons de cette nature sera

n{n—i) •• • {n — q-h i) 1 -a^S * • • <jf

En résumé, il y a donc

DE PHA8B DUHPUTUDB

1 rayon a (p—n ^,

-rayons a"-*6 ^ — (n— 1) ^ ^ »

1 rayon 0 (p-n ^ — n — •

Les rayons qui ont pour amplitude a'^~^6 ont tous même phase

^ — n — ^1 mais leur azimut de polarisation varie d'un rayon à

l'autre. Pour un rayon qui a d'abord traversé p lames en subissant la modification a, l'azimut du plan de polarisation est pp, et il rencontre la (p-h i)""' plaque dont la section principale fait avec le plan primitif de polarisation l'angle

h + h-i ^-Wl'

de sorte que l'angle de la section principale de la [p + 1)''"' lame avec le plan de polarisation du rayon qui la traverse est

A la sortie de cette lame le rayon a subi la modification b et son plan de polarisation a tourné de

de sorte que son azimut est devenu

^2à ^"^pp+pp=^2d ^~~PP'

en posant

«i + tiH l-V+i=2ii '•

En traversant les n — (;? + i) lames restantes, le rayon subit de nouveau la modification a et son plan de polarisation tourne de

de sorte que l'azimut de ce plan de polarisation, lorsque le rayon a traversé toutes les lames, est devenu

p pouvant prendre toutes les valeurs depuis i jusqu'à n, il est évident que cette expression pourra prendre n valeurs différentes et que la valeur du second terme sera toujours comprise entre (n — i) p et — (n— i) p.

Le second groupe des rayons, dont le nombre est— ^——» l'amplitude commune «*" ^6^ et la phase commune (p—n — » donnera lieu à des considérations analogues. L'azimut sera également variable d'un rayon à l'autre.

Ceci posé, remarquons que le rayon qui a subi la modification a dans toutes les lames et qui a pour intensité a* est polarisé dans l'azimut np. Il s'agit de démontrer que, si n est très-grand, le rayon polarisé dans l'azimut np est le seul qui ait une intensité sensible au sortir des n lames.

Pour cela, projetons les mouvements vibratoires de tous les rayons

sur deux axes, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à l'azimut np. Sur la droite perpendiculaire à cet azimut nous avons d'abord la vibration entière du rayon

a"sin((p-n-^);

puis il faudra y ajouter un grand nombre d'autres termes qu'on obtiendra en multipliant par un cosinus, c'est-à-dire par un nombfv? compris entre — i et -4- 1 9 les vibrations de chacun des rayons des

différents groupes. Tous ces rayons ont des phases qui varient de -

quand on passe d'un groupe k l'autre. La somme de leurs projections est évidemment moindre que celle que nous obtiendrons en leur supposant à tous même phase. En outre, comme les cosinus par lesquels il faut multiplier les mouvements vibratoires des rayons d'un même groupe pour les projeter ont des valeurs très-nombreuses comprises indifféremment entre — 1 et + 1 , la somme réelle est encore très-petite par rapport à celle qu'on obtiendrait en remplaçant chacun de ces cosinus par l'unité. Comme il y a n rayons d'amplitude a* "^6,—^— ;^ — ^rayons d'amplitude égale à a""^A^ la somme obtenue dans l'hypothèse que nous venons de faire est égale à

c'est-à-dire , d'après la formule du binôme , à

En résumé , la composante du mouvement vibratoire suivant une direction perpendiculaire à l'azimut np est donc formée de deux termes, dont l'un est égal à

rt"sin (0 — n — -U

et dont l'autre est très-petit par rapport à la quantité

Si donc nous faisons voir d'abord que la quantité (a + i)*— «' ^

une limite finie quand n augmente indéfiniment, et ensuite que la limite de a" dans la même condition est l'unité, nous aurons démontré que, pour une valeur très-considérable de n, l'intensité du rayon polarisé dans le plan dont l'azimut est np est très-voisine de l'unité, et que, par suite, ce rayon est très-près d'être seul à subsister.

Cherchons d'abord la limite de a* quand n croit indéfiniment. On a

d'où

a = j^^{i+k'Ycos^^ + àI^sm^

et, en remplaçant dans la parenthèse cos^ — ^par i — sin^-— -^

(r=t— ) — —TTTi sin^ -— ^ •

(1 + fc*)

D'ailleurs, k étant compris entre zéro et l'unité, on a

et par suite

a2<ri.

Si nous élevons à la puissance n l'expression de à^, il vient

g» (i ^■-^Nin^^-yy

Si nous remplaçons le sinus par l'arc, le'résultat sera trop petit : donc

Si nous changeons le signe du second terme de la parenthèse , le résultat sera trop grand; donc

3â0 POLARISATION ROTATOIRE.

Nous supposons n très-grand; mais il faut admettre en même temps que la différence de marche totale est une quantité finie; nous pouvons donc poser

n(<î-y) = fl, 6 étant une quantité finie. En substituant à S— y sa valeur -« il vient

ou bien , en posant

Développons ces deux expressions par la formule du binôme, nous aurons un nombre de termes très-grand , mais fini ; il vient ainsi

Si dans la première inégalité on prend tous les termes négativement à partir du second, l'inégalité subsistera a fortiori et Ton aura

-^ 71* 1 . a nr

Les deux inégalités subsisteront encore si Ton remplace tous les

facteurs-» »— ^»etc., par le facteur plus grand w, ce qui

donne

ou bien

Si n augmente indéfiniment, on voit que la série des termes que dans ces deux inégalités on ajoute h l'unité ou que Ton retranche de l'unité a pour valeur

quantité qui a pour limite zéro lorsque n augmente indéfiniment.

Les deux limites de a*" ont donc pour valeurs l'unité, et par conséquent il en est de même de la limite de a***, et par suite aussi de la limite de a*.

Il nous reste à démontrer que la quantité [a + 6)* — a* a une limite finie quand n augmente indéfiniment. Cette quantité est plus petite que

dont la limite est

la limite cherchée est donc plus petite que

OU, en posant

que

H-fc*2 ^'

Or l'expression (i +^ Ta pour limite e^ quand n augmente indéfiniment. Donc e^— 1 est une limite supérieure de la quantité (a -f- i)" — a*, qui par suite reste toujours finie.

3i2 POLARISATION ROTATOIRE.

Il résulte de ce que nous venons de voir que , si un rayon polarisé

rectilignement traverse un système de n plaques minces douées du

pouvoir rotatoire, ces plaques étant toutes de même épaisseur, en

nombre très-grand , toutes ayant leurs axes de cristallisation inclinés

de la même façon par rapport au rayon incident, mais leurs sections

principales étant orientées d'une manière quelconque, l'action de ce

système sur le rayon se réduit à une rotation du plan de polarisation

égale à np. Or, d'après la valeur trouvée précédemment pour p,

on a

la rotation produite par le système des n lames est donc égale au

produit de la quantité ^ j. par la rotation que donnerait une lame

unique douée de la polarisation circulaire et établissant entre les deux rayons la même différence de marche que le système des n lames minces.

Il ne serait probablement pas difficile de vérifier ce résultat par l'expérience, en faisant passer un rayon polarisé à travers un paquet de lames minces de quartz, dont les sections principales seraient orientées dans des plans différents et disposées au hasard.

M. Jamin, comme nous l'avons vu plus haut (291), a calculé les valeurs de ^ — y et de k, pour le cas où un rayon polarisé traverse une lame de quartz perpendiculaire à l'axe , inclinée d'un angle variable sur la direction du rayon incident. A l'aide des nombres qu'il a trouvés et de la formule que nous venons d'établir pour le cas ou le rayon traverse un grand nombre de lames minces de même épaisseur et également inclinées sur la direction du rayon, nous pouvons calculer la rotation que subit, dans ce cas, le plan de polarisation. Cette rotation est en effet égale à wp, c'est-à-dire à

i-fe*

Les résultats qu'on obtient ainsi par le calcul de np montrent que la rotation du plan de polarisation produite par le système des lames est à peu près égale à celle que donnerait une lame de quartz

perpendiculaire à Taxe, ayant Ja même épaisseur que le système des lames minces. Cette conclusion était tout à fait inattendue, car on était habitué à regarder le pouvoir rotatoire comme disparaissant rapidement à une petite distance de l'axe. Or, l'affaiblissement que subit le pouvoir rotatoire du sulfate de strychnine lorsqu'on le met en dissolution pouvait s'expliquer à l'aide de celte hypothèse de la disparition rapide du pouvoir rotatoire lorsqu'on s'éloigne de l'axe. Comme cette hypothèse est reconnue inexacte pour le quartz, il en résulte que l'observation de M. Descloiseaux présente une difficulté dont on n'a pas encore de solution.

La méthode de la superposition des lames permettrait de suivre le pouvoir rotatoire jusqu'à une distance de l'axe à laquelle le procédé de M. Jamin n'est plus applicable, et de déterminer sa valeur pour chacune des valeurs de l'angle 6 que fait l'axe de cristallisation des lames avec le rayon incident , ou*, ce qui revient au même, avec la normale à la surface de ces lames. Connaissant ensuite le pouvoir rotatoire en fonction de l'angle 6, on pourrait en déduire le pouvoir rotatoire des dissolutions.

En effet, quand un cristal se dissout, on peut admettre qu'il se divise en un nombre très-grand de lamelles orientées à peu près indifféremment dans toutes les directions, et il est facile de calculer le nombre relatif de lames dont la normale fait un angle 6 avec l'axe de cristallisation. Pour cela, menons par un point quelconque 0 une parallèle OA à Taxe de cristallisation, et, de ce point 0 comme centre, décrivons une sphère avec un rayon égal à l'unité.* Comme nous avons supposé les chances égales dans toutes les directions , chacun des rayons de cette sphère sera perpendiculaire à un même nombre de lames, ou, en d'autres termes, deux éléments égaux de la surface sphérique seront parallèles h un même nombre de lames cristallines. Le nombre de ces lames dont les normales font avec l'axe des angles compris entre ô et 6 + d9 est donc proportionnel à la surface d'une zone sphérique qui a pour expression an sin 0 dO. Soit maintenant ^ (ô) la valeur de la rotation pour Tangle 6 t

l'intégrale I * (p (6) sin 6 dO donnera la rotation produite par l'ensemble des lames^ c'est-à-dire la rotation produite par la dissolutioUi

On voit que, si, le pouvoir rotatoire est le même dans toutes les directions, Ç{0) est une constante c et l'intégrale se réduit à

cl * sinO d6=-c.

Dans ce cas particulier, la dissolution aura donc le même pouvoir rotatoire que le cristal lui-même dans la direction de Taxe.

BIBLIOGRAPHIB.