BA

Il suit de là qu'on peut développer A: et A:' en fonction des puissances ascendantes de « par la méthode du retour des suites. En se bornant aux deux premiers termes, les expressions de A: et de A^ seront de la forme

les facteurs m et m! étant de signes contraires, et l'un composé ave.c A comme l'autre avec B. En retranchant l'une de l'autre ces deux équations on a

m et m' étant d'ailleurs proportionnels à la constante c, il en résulte que la différence k — k est composée de deux termes dont le premier est indépendant du pouvoir rotatoire et dont la valeur augmente

à mesure qu'on s'écarte de Taxe, et dont l'autre , très-petit par rapport au précédent, est une fonction du pouvoir rotatoire. Il suil encore de ce que nous venons de voir qu'à mesure qu'on s'éloigne de l'axe les effets de la double réfraction masquent de plus en plus ceux du pouvoir rotatoire, de sorte que, dans le cas où l'inclinaison de la normale à l'onde sur l'axe du cristal est un peu considérable, il est inutile de développer davantage les calculs, car il ne serait pas possible de comparer les conséquences de la théorie avec les résultats de l'expérience. Le cas le plus intéressant est celui où la normale i l'onde fait avec l'axe un angle très-peu considérable. Dans ce cas (A — B)^ et Ixc^k^ ont des valeurs comparables, et on ne peut plus avoir recours aux approximations précédentes. A et B différant trèspeu, il en sera de même de k et de k\ et la différence de ces deux dernières quantités sera de l'ordre de la constante c.

Nous pouvons maintenant établir un principe important, vérifié d'ailleurs par des expériences dont nous avons déjà parlé à propos des effets d'une lame de quartz sur la lumière convergente. Dans ^équation (6), le coefficient du terme en h varie très-peu par rapport à lui-même, quand on y remplace k par k' ; la racine positive de l'équation ( 6 ) et la racine négative de l'équation qu'on obtient par la substitution de k' à k ont donc entre elles à peu près les mêmes relations que les deux racines de l'équation (6), c'est-à-dire que leur produit est , sinon égal à — i , du moins très-voisin de — i . Si ce produit était égal à — i, cela signifierait que les axes de l'ellipse relative à k seraient inversement proportionnels aux axes de l'ellipse relative à k', ou, en d'autres termes, que les deux ellipses seraient géométriquement semblables et qu elles seraient parcourues en sens inverse, sur les deux rayons, par les molécules d'éther. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner que les calculs d'Airy, fondés sur la similitude absolue des deux ellipses, l'aient conduit à des résultats peu différents de ceux de l'expérience. Quant à la différence de sens des mouvements sur les deux ellipses, elle subsiste toujours à cause de la différence de signe des deux valeurs de A. Le rayon ordinaire est polarisé de gauche à droite, et le rayon extraordinaire de droite à gauche.

Pour trouver la valeur du rapport h, nous pouvons*, dans une

première approximation , négliger la variation de k et poser alors

/ étant la longueur d'ondulation du rayon ordinaire dans le cristal,

comme nous l'avons vu dans la théorie de la dispersion (171).

L'équation (6) devient, en remplaçant A, B et A par leurs valeurs

respectives,

.., /(6*^fl«)sin«e, .

2 TTC

et en prenant, comme il convient, la racine négative de cette équation, on obtient

11 faudra pour chaque valeur de 6 calculer la valeur numéricpie de h, et on aura ainsi tous les éléments nécessaires pour vérifier expérimentalement la valeur de ce rapport des axes de l'ellipse.

Cherchons maintenant des valeurs plus approchées pour les quantités k et k. De l'équation (9) on tire

le radical étant très-p)3tit, on peut extraire la racine carrée des deux membres de l'équation et prendre par approximation celle du second membre, ce qui donne

^-'['■+JTÏTBjV/(*-Br+i''*'J-

On trouverait une relation analogue entre k' et s, et l'on a définitivement

^"^ "^ ^ • ~ ïtâW) ^^^ - ^^* -^ ^"^ **

Le dénominateur du second facteur du second membre, dans chacune de ces équations, différant très-peu de l'unité, on peut faire d'une façon approchée la division de l'unité par ce dénominateur, et il vient ainsi

• *-;^[-î(*Vi]v/Fn>)Mrï^].

Dans la quantité qui est sous le radical on peut commettre sur Tun des termes une erreur très-petite par rapport à ces termes mêmes;

on peut remplacer 1^ et k;^ par la quantité -r qui en est, conune

nous l'avons vu, une valeur approchée. En remplaçant, dans les deux

équations précédentes. A? et ft'^par -r^ on en tire aisément la valeur

de i — A', c'est-à-dire de la différence de phase des deux rayons elliptiques pour une épaisseur du cristal égale à l'unité. Il vient ainsi

^J(A-B).+iî

(Ah-B)» ^

Pour tirer de là une expression vérifiable par l'expérience , il faut introduire les données du problème. Remplaçons A par i^, A — B par (6^— a^) sin^fl, ainsi que cela résulte des valeurs de A et de B; prenons pour A + B la valeur approchée aJ^ et pour s la valeur

trouvée plus haut -m- ^ nous aurons

d'où, en remarquant que l'on a

{*'-^f=^57.[(*^-«7sin»fl+i^], .

formule vérifiable par l'expérience.

Il faut remarquer que, dans ces valeurs approchées de h et de A' — À:, l'approximation sera toujours suffisante pour toutes les va-

^/^^ *\/2 . iTk nvo . 4C*5*

leurs de 0 avec lesquelles les expériences peuvent se réaliser, c'està-dire pour toutes les valeurs très-petites de cet angle.