DUT5D.F
En différentiant de nouveau, et répétant plusieurs fou les mêmes transformations, on trouverait
DiF(r)=DÎ [T4D.F(jr)],.... D;F(^) = Dr'[Y-D.F(r)].
En faisant maintenant dans ces diverses équations x = 0, et remarquant, i® que pour x = o on a jr- = z ^ a® qu'au lieu de prendre la dérivée, par rapport à z, d'une fonction \ de x et de z, pour y donner ensuite ky une valeur pa^ ticulière , on peut donner d'abord i x cette valeur et différentier ensuite \ on aura
DiF(.) = D.{[/(»)]«D.r(»)}, D1F,.)=D.' { [/(.)]'D^(«) } . ., D;F(.)=D;- { t/(.)]"D.F(»)},
F (/) = F(.)+*/(.)D.F(,) + flD. {[/(«)3*D.F(.))
cette série que Lagrange a donnée dans les Mémoires d^ Berlin de 1770, comprend comme cas particulier, celles du n* 89 que Ton en déduirait en faisant z=o et F(y)==^
DIX-NEUVIÈME LEÇON. Ijr3
DIX-NEUYIEHE LEÇON.
Sorlei dérÎTéés d^uDe ou de plusieurs variables cousidérées comme dépendantes , prises snccessiTement par rapport à diverses Tariables conlidérées comme indépeudantes. — Sur remploi de la différentiation poor l^limination des constantes et des fonctions arbitraires.
91. On a souvent besoin de coiiiparer entre elles les dérivées d'une où de plusieurs variables dépendantes, prises successivement par rapport à diverses variables considérées comme indépendantes ; or cette comparaison ]erient très facile à Taide des théorèmes suivants.
Théorème i*''. Les dérivées successives d'une même ririable dépendante u , prises par rapport i ime certaine rariable s^ conserveront les mêmes valeurs si à cette variable on en substitue une autre t, liée avec elle par Vé^ {nation ;== j+a, ou qui n'en difière que par une quantité constante.
Démonstration. De l'équation t = 5 -4- a , on tire
ds dt = dSm, — = I • ' dt *
2t par suite
du duds du d^u d^u ds d^u •
H^didt'^di' dF^d^di'^dF * '
Corollaire. Si les dérivées successives de deux varia- '^ i< et 1^, prises par rapport à une certaine variable 5,
sont égales entre elles, elles le seront encore quan^ prendra ces dérivées par rapport à deux variables t ^^ qui sont liées avec s par les équations t=s+a , t=5^ ou qui ne diflireut d^ s que de quantités constantes a ^ 92. THéoRiatt a^. ConMtoiisque detix variables x ^ soient liées tour à tour avec une troisième variable considérée comme variable indépendante , par les éqf tions
et que les fonctions F, f^ Fij /i, soient telles que, cL le passage des unes aux autres , les variables et leurs * rivées
eue d*x d'^x
ds' IF "5s*'
djr^ d^ d^
^' ds' ds* ds»'
jusqu'à celles de Tordre n inclusivemeiftt , conserveat même valeur pour certaines valeurs de x et de j",
sorte que les dérivées de l'ordre n+i, , z^,
au moins Tune d'elles, changent de valeurs quand pasae des fonction» F,/*, aux fonctions Fi ,y'| ; si Ton oo sidère une nouvelle variable r liée avec x et ^ par Féqi tion r= F(Xjjr)^ les n premières dérivées de cette y riable , prises par rapport à 5 , ou les quantités
dr d*r d'^r
ds' d? d?'
ne changeront pis de valeur dans le passage des fonctio F, y, aux fonctions Fj, /J.
Démonstration» Puisque x, y^ sont des fonctÎMis < s , oti aura , en diâercntiant plusieurs fois de saîle T
DIX-lfEXnriÈME LEÇON. ^ I75
dr __ dFdx dF dy ds dx ds dy ds^ d*r^ dFd^ dF d^y d^^ dx ds* dy ds*
d*Fdx* d*F dxdy d^F dy*
'^dx* ds* "^^ dxdy dsds^ dy* Us**
d^r dFd'^x . dF dy
— =: 1 :^— f- etc.
dsf^ dx d^ ^ dy d^ ^
Or, 1^ les quantités
àF[x,y) dF[x,y) d*F{x,y) d*F{x,y)
dx dy * dx* dxdy
etc. ,
dépendent uniquement de la forme de la fonction F ^ mais nullement de F, y, Fj , /l; 2** les dérivées
dx dy d*x d*y d^x d^y
conservent, par hypothèse, la même valeur quand on pose des premières fonctions aux secondes. Il en sent <Ionc encore de même des dérivées
dr d*r d^r
ds' ds*'' ' d^
as as* asr
Ajoutons que la dérivée ^^ , donnée par Féquation
€/*+»r dFd'^*x . dFd'^^y
rfx-+' dx d$^' "^ dy ds^^ ' '
changera ordinairement de valeur avec , ^^, , , ^ j
^n^md on passera des premières fonctions aux^secondes ; ii^nmoins le contraire pourrait avoir lieu dans certains
mg-m
lj6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
cas, par exemple, si les valeurs particulières de x et de jr, dont il est question dans le théorème , réduisaient a o les
coefficienu ^^ , i£tlA des dérivées S?,S.
dx dx ds^^^^df^
ou du moins le coefficient de celle dont la valeur changerait. La même remarque s'applique aux dérivées
Bl<
ds^-^*' ds^-^^*
etc.
93. Théorème 3®. Coneevonsmaintenant queTon veuille prendre, au lieu àe s, r= F(Xjy) pour variable ind^^-* pendante , les n premières dérivées
ds dr'
rfr''
dh dr^'
dx
dr"
d'x dr»'
dr
dr'
dr* "
d'y dr*'
ne changeront pas de valeur quand on passera des fon^ tions F, y aux fonctions Fi, yj.
Démonstration. Si Ton considère s comme fonction r, les variables x^j, et par suite /^(x, j), deviendroKBt des fonctions de fonctions de r, et en différentiant plu:* sieurs fois, par rapport à r, Téquation r = F^x^y)^ on aura
' "" TsJr' dFd*s d^Fds* ^"'dTdf' '^'dFdr*'
^^dFd^s d'^Fds"
ds dr** ds^ dr*
Or, comme nous Tavons prouvé, les n premières dérivées
dF{x,xf dr d^F{x,x) d*r rf"/* (x, ^) jl^
ds ""ds' ds* ^ ds*'''* ds'^ -^ds^
DIX-NEUVIÈME LEÇON. fj^J
conservent'la même valeur quand on passe des fonctions
F,/aux fonctions F, , y,; il en sera donc aussi de même
des n dérivées
ds d^s d'*s
dr' d?'"' d^^'
'iées aux premières par des équations du premier degré. & de plus on a égard aux équations
dx dx ds dy dy ds
dr ds dr^ dr ds dr*
X dxd^s d^xds^ d*y dy d^s d^y ds^
''^ds dT^'^ds^ dï^' dr^ "" ds dr^'^dT^ dr^ '
d'x dx d^s d'*y dy d'^s
TT"=3- Tz -f- etc. , -rr=^-^ -, h etc.,
dr" ds di* ' £/r« ds dr" ^
^n en conclura que puisque les n premières dérivées dy d"x d"y ds d^s d^s
ris' ds' ds"' ds"' dr' dr*' dr"'
conservent la même valeur quand on passe des fonctions F , ^ aux fonctions Fi, ^i , il en sera de même des n dédx dy ' d"x d"y
Corollaire i". Sans troubler l'égalité qui existe de part
ffjp dv d"x d"v'
et d'autre-entre les n dérivées -r-, -^ . . . - — , -7^ qiiand
ds ds ds" ds" *
on remplace les fonctions F, /" par les fonctions F,, y,,
on. peut donc substituer à la variable s la variable r liée
par une équation Unie quelconque avec les variables x , y^
utilement, après cette substitution, on ne pourra plus aflfir-
naer que pour les valeurs particulières dont il est question
dans le premier théorème, Tune au moins des deux déri-
d"'^^x d"^^Y vées ■ ^ , ^ n+i change de valeur quand on passe des
premières fonctions aux secondes.
T. I. la
94.|tJen n'empêche, dans les théorèmes qui précèdent de supposer r = a: , alors des dérivées —, -^ , . . . -7— 1 première se réduit à Punité, les suivantes à o, tandis qu les expressions -^, j~r>*"TT» deviennent les dérivée
y\ j^",... J^^"^de j^, prises par rapport à x\ on peut dès lor énoncer le théorème suivant.
Théorème 4"*- Si pour certaines valeurs particulière (le X et de y^ les n premières dérivées
dx dy d'^x d^jr
ds' d7'"' dF' dF'
de deux variables Jtr, j^, liées tour à tour avec une troisième variable s par les équations
ou, oe qui revient au même*, liées tour à tour entre elle par les deux équations
conservent la même valeur quand on passe des fonction: F, f aux fonctions F, , y* , , ou de la fonction y à la fone tion (pg , il en sera encore de même des n premières dérivées j^',j^",. . . j^^"^ de y prises par rapport à x, et pa conséquent des diflerentielles rfy, rf*j^, . . . d^j, Ajouton que dans le passage de F, y, à F» , y*,, la dérivée ou la diférentiellc de Tordre /i+ i et les suivantes, prendron ordinairement des valeurs nouvelles; néanmoins, leçon traire pourrait avoir lieu dans certains cas particuliers.
95. Si , en considérant toujours r comme variable ixti dépendante, on désigne par f, ci, etc. , de nouvelles fonctions des coordonnées x,y, on aura
T)lX-NEIIVlkME LEÇON. 1^9
fit ^^dt dx. dt dx dr dx dr djr dr^
du dt d^x dt d^r dH dx^
dr^ dxdr^ dy dr^ dx* dr*
d*t dxdy d*t dy*
dxdy dr dr dy* dr*^
dH dt d'^x dt dl^y
Z= -r- -; + -r- T^ + etC. ;
dr^ dx dr'^ dy dr*
, . dx dy d'^x d^y
€t comme les expressions —, — , . . . -^, -7-^ , conser-
▼enl la même valeur quand on passe des fonctions F, f aux fonctions F, , y*, , il est clair qu'on en pourra dire autant, non-seulement des fonctions dérivées -r » t^ >••• v- 1
dr^dr*^ dr"^
mais encore des di (Té renti elles dt^ d^t^.,. d'^t. On arriverait à des conclusions semblables en substituant la fonction u à la fonction t. On pourra même , d'après ce que nous avons dit, échanger entre elles, de toutes les manières possibles , les fonctions f, u, r, et énoncer généraleinent le théorème suivant.
Théorème 5™*. Si pour certaines valeurs de x et de j-, les n premières dérivées
dx d*x d^x dy d*y d'^y
di' dF'"d^' di' d^''"di^'
iesvariables x , j^, ne changent pas de valeur, qtiand , aux
équations
* = F(i), y=/{s) ou F(x,s) = o, f{x,s) = o, on substitue les suivantes
* = F,(^), y =/,{s) ou F,(ar, s) = o, f,{x, s) = o, on pourra en dire autant des n premières dérivées ou des
;UiU
n premières différentielles d'une fonction quelconque t \\\t des variables x , y^ prises par rapport à une autre fonction arbitraire u de ces mêmes variables.
Si les dérivées de l'ordre /ï+ i, . . , . ^, ou au
moins Tune d'entre elles , changeaient de valeur dans le passage des fonctions F, f^ aux fonctions Fj,y|, il en
sera en général de même de la dérivée ,^, ou de la
différentielle ^„"+7; le contraire pourrait cependant avo^r lieu dans certains cas particuliers.
96. On arriverait à des conclusions analogues si , au li de deux variables x^ jr^ on en considérait trois x, j', et Ton démontrerait facilement le théorème suivant :
Théorème 6™*". Si pour de certaines valeurs de x, j, les n premières dérivées
dx d*x d^x dy d^y
di' 'dp'"' IP' Ts' dp'
dz d^z d^z
ds' dp*" dp'
d^y ds"
des variables x, ^, z, ne changent pas de valeur, quai=:vdi aux équations
ou
on substitue les suivantes
ou
on pourra en dire autant des n premières dérivées, des n premières différentielles d'une fonction quel que t des trois j^ariables x^ jr^ z, prises par rappo
ou
DIX-NEUVIÈME LEÇON. l8l
une autre fonction arbitraire u de ces mêmes variables.
^«+1^ ^a+iy. ^/n+xg
Si les dérivées de l'ordre n+ i, ■■ ,, , , . , . , , . .., ,
rfy"T' aj*T' cty'^T» '
OU au moins l'une d'entre elles, changeaient de valeur dans le passage des fonctions F, f^ f , aux fonctions F, , /i, fj, il en sera en général de même de la dérivée
r-;:^;', ou de la différentielle d^'^'^^t^ quoique le contraire
paisse arriver dans certains cas particuliers.
Rien n'empêche, dans le théorème qui précède, de faire tt= z, puis, tour à tour, t=.x^ ^=J\ ^^ arriverait de cette manière à un nouveau théorème.
T'héorème 7"*. Si pour certaines valeurs particulières de acjjr^ z, les « premières dérivées
elx d'*x djr -d'^X dz d^z
ds' ds'^' ds'"' ds'^' ds]" ds^'
fes variables ,x , j^, z , liées tour à tour avec s par Ic^s ^nations
^^, ce qui revient au même, liées tour à tour entre elles l>ar les équations
»Xe changent pas de valeurs, quand, aux fonctions F, /*, f , On substitue les fonctions Fi,yi, f,, ou, ce qui revient au Xnèiue , quand, aux fonctions f et ;(| on substitue les fonctions f 1 et yi^x ^ on pourra en dire autant des n premières dérivées
dx d^x d'*x dy d^y d^y
Tz' 'dt^'"' dz-' di' 'd^'*"lh^'
prises par rapport à z, considérée comme seule va-
l84 CALCUL DIFFÉREfiTIEL.
à volonté les m constantes qu'on élimine , il est ëvideni qu'on pourra former autant d'équations de Tordre m, renfermant n — m constantes , que Ton peut faire de combinaisons m à m avec n quantités , c'est-à-dire
/i (w— r)(/i — 2). . . (/i — w+ 1) 1 . 2. 3 . • • fn
Lorsqu'on différentie n fois , on a /» -f- 1 équations entre lesquelles on peut élimiijer les n constantes de l'équation d'où l'on est parti : on a ainsi une équation de l'ordre noù il n'en reste aucune , et qui est commune à toutes les équations que Ton peut déduire de la proposée, en attribuant successivement aux constantes qu'ellç contient toutes les valeurs possibles. Il est important de remarquer que si, après avoir calculé, comme nous l'avons dit tout-à-l'heure , une équation différentielle de l'ordre m qui ne contienne qu'un nombre n — m de constantes, on différentiait de nouveau cette équation n — m fois, ce qui donnerait, en la réunissant aux équations résultant de cette opération, un nombre n — 77/ -|- i d'équations, et qu'oii éliminât entre elles les n — m constantes restantes, on retomberait toujours sur la même équation différentielle de l'ordre n qui n'en contient aucune.
99^ U est inutile de nous arrêter à la possibilité de l'élimination d'un certain nombre de constantes par la différentiation successive d'une ou de plusieurs équations à plusieurs variables indépendantes. Passons à l'élimination des fonctions arbitraires. Considérons d'abord l'équation 14=^(1^), dans laquelle u et v* sont des fonctions de .T, j^, -3, et 9'(i') une fonction tout-à-fait arbitraire de 1^. En donnant tour à tour à cette fonction difféi*entes formes, on obtiendra diverses écjuations, qui offriront toutes un caractère commun, en ce sens qu'on peut, en éliminant la fonction y, arriver à une équation qui soit
DIX'KEUVIEME LEÇOM. 187
et I élimination des cinq dernières de ces quantités entre
les six équations dont il s'agit, produit, comme on devait
s y attendre, une équation aux diflerentielles partielles
du premier prdre entre les variables indépendantes x^jr
et la variable dépendante z.
Lorsque les équations proposées renferment deux fonctions arbitraires ç (c), ^ (^)^ ^^ se réduisent à
en joignant à chacune de ces équations ses dérivées partielles du premier et du second ordre, on n'obtient en loixi; que douze équations entre lesquelles il n'est pas possible d'éliminer , du moins en général, les douze quantités
de de d^e d^e d*c
' dx' dy' dx^' dxdy^' dy^'
n^^is en s'élevant jusqu'aux équations du 3™* ordre, on ol> tiendra en tout vingt équations, entre lesquelles on pourra éliminer ces douze quantités avec les suivantes :
d^c dh dh dh ,
^t. 1 élimination produira deux équations aux difTéren- ^oUes partielles du 3"® ordre, entre- les variables indépendantes x,y, et la variable dépendante z.
Il est bon d^ observer que, dans certain cas, l'ordre des équatiouB aux différentielles partielles produites par l'élimination dont nous venons de parler, peut s'abaisser considérablement. Supposons, par exemple, que les équations données renferment trois fonctions arbitraires ç(c), >CC^), ^(c); coDMne on aura dans cette hypothèse m=3, ^^i' — 1 = 5, il faudra généralement, pour eflectuer l'éli- '^^iiatiou, s'élever jusqu'aux dérivées du 3"*^ ordre, et ^^t te élimination produira trois équations aux différen-
l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tielles partieUes du 5"* ordre, entre x, y el z. Mw
Ton établit entre les fonctions ^(c), X W» ^(p)'» ^®* ktions jf (c) = (p' (c) , ^ (c) = (f"(c) , c'est-à -dire si équations proposées se réduisent à
alors, en joignant à ces formules leurs dérivées du p:
mier et du second ordre , on obtiendra en tout doiB^
équations , entre lesquelles on pourra éliminer les oik-
quantités ,
de de d*c d*c d^c
^' H' ^' ^»' dxdy' ^'
^W, (P'{c)y f{c), (P'"{C), r^'ic),
et Télimination produira une seule équation aux di rentielles partielles jlu second ordre , entre les variab
Nota, Les deux équations
équiv(dent évidemment à une équation unique
De cette remarque, joint à ce qui précède, on cond i^ qu^il ne suffit pas, en général, de recourir aux di rentielles du second ordre pour éliminer d'une équati donnée deux fonctions arbitraires ^(oc^jr^ z), xC-^j J'y 2** qu'en recourant aux différentielles du second ordre pourra toujours éliminer de l'équation
F[x, 7, z, ç{x,x z)y <p'{xyyy z), <p"{x, jr, z)] = o,
la fonction arbitraire y et ses dérivées <f\<f"'
