SECONDE PARTIE
^**'«*LICATI01iS GÉOMÉTRIQUES, OU RECHERCHES DES PROPRIÉTÉS DES COURBES PLANES , DES COURBES A DOUBLE COURBURE ET K)ES SURFACES.
*^^ la tangente et de la normale à une courbé plane et située dans un plan pris pour plan unique des coordonnée^.-»- Longueurs appelées Tangente, Normale y Sous-tangente , et Sous-normale.
iOl . Définition. La tangente i une courbe en un point ^nnë (oOjjr) est une sécante dont deux au moins des points d'intersection sont réunis en un seul.
Pour déterminer la tangente i la courbe au point x, y y menons par ce point un demi-axe parallèle à Taxe des x et dirigé dans le sens des x positifs, et concevons qu'un rayon vecteur mobile appliqué d'abord sur ce demi-axe , tourne de droite à gauche autour du point x, y^ et vienne colincider avec la corde ou sécante meqée du point x, y^ au point X H- Ax , y + Ay \ si l'on nomme t l'angle qu'aura
décrit le rayon vecteur ; on aura tang f = — •, et en appelant I , y? , les coordonnées d'un point quelconque de
ipo CALCUL DIFFÉRENTIEL.
la sécante , son équation serait
Concevons à présent que le point {pc-^-^x^y + A^) vienne à se rapprocher indéfiniment du point (x,j'), la sécante qui joint ces deux points tendra de plus en plus à se confondre avec une certaine droite que Ton nomme tangente à la courbe , et qui touche la courbe au point (x^y). Pour déterminer la direction de cette tangente, i^ suffit de chercher la limite vers laquelle converge Tangl^ t quand les diflerences Ajr, Ay deviennent infinimeim "^ petites. Or , en appelant t cet angle , on aura
Ungr=Um.- = -^=r.
On tire de cette équation
dx i .1 , dx
cotT=— -7- ==— — , cosr=:
Ki+r'* Vdx^ + dy^
et en appelant Ç , >} , les coordonnées d'un point quelconque de la tangente , son équation sera
102. Si parle point {pc , y) on mène une droite perpendiculaire à la tangente, elle fera avec Taxe desx un angle V déterminé par l'équation
1 I dx
tang» —— ^^ ——-,—— —,
et les coordonnées ( , 19 , d'un point quelconque de cette
VllfOTiÈME LEÇON, I9I
perpendiculaire que Ton désigne sous le nom de nor^ nuJe'y vérifieront Tëquation
105. Supposons que Féquation de la courbe dont il s^agil soit II = P (x, j) = o. En différentiant , on a
— dlr -I- — dy ^ o «
dx ^ dy -^ '
et en substituant dans cette dernière équation, à la place .de dzj Jjr, les quantités proportionnelles $ — x^m — y , ou — '(>? — y)^ $ — X, on trouve pour Téquation de la tangente
et pour l'équation de la normale ,
Aiixsi , pour obtenir Féquation de la tangente , il suffit de
t'emplacer dans Féquation différentielle de la courbe les
différentielles dx^ dy par les différences | — x, >} — jr-^
au contraire , pour obtenir Téquation de la normale , on
devra remplacer dy par J — x, et dx par — (m — jr).
104. Scolie 1^^. Les équations de la tangente et de la normaie ne changeraient pas si , à Téquation F (x , j^) = o, on substituait l'équation F (x,j^) = c, ou u = c. Scolie 2*. En regardant dans les équations
1? >3 comme des quantités constantes, chacune de ces
deux équations, combinée avec Téqnation F (x donnerait les coordonnées x et y des points o gentes et les normales menées par le point ^ , trent les diflférentes courbes représentées par F(x,j^) = c; et puisque ces deux équations j pendantes de la quantité c , qui seule varie ^^u à l'autre , elles représenteront évidenmient les métriques des points où les courbes qu'on déd quation F(x^jr)= c^ en faisant varier la co; sont rencontrées par celles de leurs normales 01 tangentes qui passent par le point ^ , y}\ àe sorte mener par le point ^ , tî des tangentes ou des n ces courbes , il suffira de construire les deux ligi
elle» rencontreront les courbes F (pc^j) = c e points que Ton joindra au point | , y? , et Ton au gçntes et les normales cherchées.
105. Applications. Si Téquation F (x , j") == ^ à K + M -4- w-f-, . . = c, u, >', w... étant des entières et homogènes , la première du degré conde du degré m — i , la troisième du degré n aura
dY ^" 1. ^^ i ^^ • ^F du dv c
dx dx dx dx '^ dy dy dy i
et réquation de la tangente deviendra
/* \(^^ dp dw \ fdu dp i
VINGTIÈME LEÇON. igZ
Mais, en vertu du théorème des fonctions homogènes, on
aura
iim du dv ^ dv . .
dx '' dy ^ dx '' dy ^ '
Técpiation de la tangente se réduira donc , en ayant égard ' à Féquation U'\~V'\-W'\-...= c^k
^f €iu dç . d(p\ . /du dç ^ dw \
Cette équation représente, quand on y regarde x, y, comme seiils constants, ^, y?, conmie seuls variables, la tangeii.te i la courbe menée par le point {x^ y)\ et quand on ; regarde J, m comme constants, x, y conmie variables , une courbe du degré m — i qui renferme les points de contact de la courbe avec les tangentes qui concourei:itau point (|, yj). Si i^ = o, tv = o, on a
^ du ^ du dx dy
406. I*' Exemple. Considérons le cercle x^ -f-y" =R". Ici m = 2, « = x*-f-j*, <r = R»,
Véquation de la tangente est |x + >3jr = R". On y par- [^ viendrait encore en remplaçant dans Téquation différentielle xdx +ydj :=o^ dx et djr par | — x et 17 — y ; ce qui donne
(f — x)xH-(» — r)r = o ou fj: + i^r = x*+j» = R». L'équation de la normale est
^^^i^tion de la droite ou du rayon qui va du centre au point (x,y). L'équation
194 CALCUL DtFPÉREIlTIEL.
qui peut se mettre sous Tune des formes
et qui représente la tangente quand x çXy sont constant^ ^ \ , yj variables, représente, quand | et » sont au contraîc"^^ déterminés , sous la première forme un cercle qui a poi^^ centre le milieu de la droite qui va de Torigine a*»-^ point ( Ç , yî ) , et pour rayon la moitié de la distance cl ^^ l'origine à ce même point ^ sous la deuxième une certain. <^3 droite. Sur ce cercle et cette droite se trouvent les poin**-^ de contact des tangentes menées au cercle par Ic^poir^ ^ (Ç, y}) , et comme le cercle est indépendant du rayon R, i 1 est le lieu géométrique de tous les points où les tangent menées du point (^ , vî) aux divers cercles que l'on obtiei en faisaiit ^rier R dans l'équation x* H-j^' = R*, rei contrent ces cercles. Il en est de même par rapport ai
normales de la ligne - = -.
a™* Exemple. Considérons l'ellipse ou l'iiyperboj représentée par l'équation Aa:' + 'î&xy -t-Çy' =K.
Ici m = 2, c=K, a = Ax* H- aRrx -f- Cj'* ;
Téquation diflerentielle de la courbe est
ci:r(Ax + Br) + dy[Ç.y + Rr) = o,
on trouvera donc pour les équations de la tangente et la normale^ en suivant l'une des méthodes ci-dessus i diquées ,
(f — a:) (Ax + Br) + (, — jr) (Cr + B*) = o, (f — x)(Cr +Bjr) — (,— r)(iU + Br) = o,
ou , pour l'équation de la tangente ,
|(AjrH-Br) + if(Cr+Bx) = K.
VINGTIÈME LEÇON» IpS
i réquation de la courbe était
l^^quation de la tangente deviendrait
f5±^|.= ^ o«(f-^)Ja±('— r)fi-o, etc.
3"* Exemple, La parabole j^^rira/^x. L'équation de la c^sangente est
[n — y)y — /?(?— j:) = o ou ny — p(=pxi Civile de la normale
r{S — ^)+p{*i — r) = o, etc.
4"* Exemple. La logarithmique
1^ équations de la tangente et de la normale sont
ar!a(jf— j) — (f — x) = o, jcl/i(f— -x) +(jï — r) = <>•
5"* Exemple. La spirale logarithmique
y W^jpM-t* r •
^ = tangl - — s^' arctang-^ = IV/ir» +^»1R;
J^ Ëx JC
en différentiant, on a
et les équations de la tangente et de la normale sont
(e— ar)(x + j^) + (9 — r)(r— x) = o, (f— ^)(r — ^) — («— r)(^+r) = o.
Lorsqu'on y regarde Ç, tj comme constants, x,^ comme seuls variables , ces dernières équations représentent deux cercles qui coupent la spirale logarithmique aux points
196 CALCUL DIFFÉREMflEL.
OÙ elle est rencontrée par celles des tangentes qtii coit-^ courent au point (|, m).
107. Si les axes des coordonnées cessaient d^ètre tangulaires et faisaient entre eux Fangle co , le rapport
exprimerait non plus tangr, mais -7^ -^ Téquatioi
de la tangente serait toujours
et Téquation de la normale deviendrait
l-t--j^COSâr
/ X ^ / \ i + r ces* -^
-^ + cos # "^
dx
108. Considérons une courbe quelconque AB (Jig^ i) a point M de cette courbe, menons à la tangente la normal MN ; les parties MT et MN de la tangente et de la no maie comprises entre le point de tangence et Taxe des sont ce qu'on appelle la tangente et la normale, nous 1 désignerons par les lettres T et N ; on appelle sous-tan sente et sous-normale, et nous désignerons par les nota tions St , S„ , les distances comptées sur l'axe des x en le pied de l'ordonnée et les points où cet axe est ren contré par la tangente et la normale à la courbe, quatre lignes sont faciles à calculer.
En effet, en désignant par ^1 , |i les abscisses des poin où la tangente et la normale rencontrent l'axe des x, 1 longueurs S, , S„ sont égales, au signe près, aux différen ces Ç, — x^ Çi — X , mais en faisant >} = o dans l'équa tion de la tangente et de la normale, on a
(loiic
vt par suite
on a donc
Chi parvient encore plus simplement à ces valeurs en reoiaixjuant que si t et v sont les angles que la tangente et la nor-male font avec les axes, les triangles rectangles MTP, MNP donnent
tangr y' smr y'
tang» '^ "^ sinr j ^ -r j
C^s équations donnent S< .S„ =j^' ^ Tordonnée j^ est i^o^enne proportionnelle çntre la sous-tangente et la sous- ^^OïTnale.
JExemples :
S,=±x, N=R, T=±^(R»— x«f; "a*. Ellipse ou hyperbole : — ± t^ =lt i ,
le rapport de la sous-normale à Tabscisse est constant, la sous-tangente est indépendante du demi-axe b ;
3*». Parabole : ^» = 2/>j: , S, = ax, Sn=^ p,
Ti=p^(p + 2xy, T = axVxH-^V;
la sous-normale est constante et la sous- tangente doubla de Tabscisse ;
4". La logarithmique x = Ly := z-\f ^
la
S,= ^, S.=la«^'-, N=W»*'-y(lY.
,axlii.
la sous-tangente est constante.
109. 5**. Cycloïde. Concevons que le cercle ADE(^gf. a) tangent à la ligne AX au point A, roule sur cette lign< AX , le point de la circonférence qui coïncidait au premie instant avec le point A, décrira une courbe que Ton nomm* cycloïde . Prenons pour axes des coordonnées les deux ligne AX, AY; pendant que le cercle roulera sur Taxe desx, 1 centre se mouvra parallèlement au même axe , et le rayoi CA tournera autour du centre en décrivant un angle qu croîtra sans cesse ^ désignons par co cet angle MON , pa AN=a , 0N= J les coordonnées du centre O, par AP=j: PM =jrles coordonnées de Textrémité du rayon ou d'u] point quelconque de la courbe , Tare MN = Rw sera évi demment égal à la ligne AN = a, puisque tous les point de l'arc MN se sont tour à tour appliqués sur AN \ on \ donc a = Rco, i = R,
a? .= AP = AN — PN = AN — MQ = Râ» — Rsinir, ^ = MP =r ON — QN = R — R cosâ»;
on. aura donc, en admettant que la notation ai^c cos dé* signe toujours un arc compris entre les limites— -, H — ,
* = R(i» — sindf), 7" = R(i — cosi), co8«=— ^-=^,
JH—y
et = arc cos
± /iir, sioâ» =±: ~ V^2R^— ^*«
Dans cette seconde formule on doit prendre le signe -tou le signe — , suivant que Tangle w est de la forme a/i7r+S ou de la forme (îi/»-t- i) t: + 6, 0 étant plus petit que ir , ^e sorte que Ton peut écrire
sin «» = - cos/ir k aR^ "*" J* > R
««^ = R f arc cos — ^-^ ih nw U~-cos/iir V^tRjt — j» .
^t^ reconnaîtra sans peine , à Taide de ces équations , que la o^cloïdeest composée d'une infinité de branches, toutes Pa.r^iUes les unes aux autres, dont les points extrêmes si- ^^^s sur l'axe des x répondent aux abscisses
*^ = o, X =± a«-R, X =db 49rR,... x =± 2/ivR ,
^^ dont chacune est divisée en deux parties symétriques une ordonnée correspondante aux abscisses
^ =: srR, j: = ±3irR, ... x=±(2/i — i)irR, etc.
"^ plus, en diflérentiant les équations
jr = R(« — sina») et j =:R (i — cosa»),
^*i trouve
rfa: = R(i — cos«)//«=: jr^r, djr = Ksïn&dtt,
=*,/âr„
aOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d'où
dx y y
et l'on aura par suite ,
On conclut facilement de ces valeurs, que si dans le cercle générateur de la cycloïde, on trace un diamètre paraUèle à Taxe des j^, les directions de la normale et de la tangente à cette courbe au point ^{x^ y) seront données par les droites menées de ce point aux deux extrémités de ce diamètre , de sorte crue la longueur appelée normale sera précisément la coroe MN qui dans le cercle générateur sous-tend Tangle oi).
VINGT-lîMÈME LEÇO^ . 20I
VINGT-UNIEME LEGON.
Dptotcs des courbes planes. -> Propriétés direrses des courbes planes déduites de leurs équations. — Points singuliers.
10. On appelle asymptote d'une courbe plane, une ite de laquelle cette courbe s'approche indéfiniment 9 pouvoir jamais la rencontrer. Il est facile de trouver asymptotes d'une courbe représentée par une équa- 1 quelconque jr = F(x) ou f{x^y)=^ o. En effet, Lsidérons d'abord les asymptotes non parallèles à l'axe y^ et soit j'= «a: + 6 l'équation de l'une d'entre ». L'ordonnée correspondante de la courbe devant se luire sensiblement pour de très grandes valeurs nuriques de x , à l'ordonnée de l'asymptote , elle se préitera sous la forme y=aa: + 6die, t étant une antité qui s'évanouira pour a: = ±oo . Cela posé, quation qui précède donne
3C JC i/C
3Ù, en faisant je:= dioo , et remarquant que si 6 était fini , l'asymptote située à une distance infinie dispalirait tout entière , on aura
« = lim. — .
^nc, pour déterminer la constante a, il suffira de poser
a02 CALCUL DlFFÉREIfTlEL.
danà Tëquatioii de la courbe, - = 5 on jr = sx-^ puis de
déterminer la limite ou les limites vers lesquelles convergera la variable 5, tandis que la valeur numérique de X croîtra indéfiniment. Après avoir trouvé la constante a, on tirera de l'équation j^ = ax -t- 6 ih e ,
et en faisant x = di oo , 6 = lim. (y — ax) , de sorte que pour avoir 6, il faudra, dans l'équation de la courbe, poser y — ax = t, et chercher ce que devient t pour X = ±: Qo ^ à chaque système de valeurs des quantités a, 6, correspondra une asymptote de la courbe proposée.
En raisonnant de la même manière, mais en échangeant l'une contre l'autre les variables x, /, on trouverait évidemment les asymptotes non parallèles à l'axe des X.
111. Scolie. En général, le rapport - pour x = oo, prendra la forme indéterminée — , et sa véritable valeur
sera celle que prend pour j: = oo , l'expression — ou j^';
on aura donc alors a = y' , Dans ce cas aussi 6 sera déterminé par l'équation 5=y — y'Xy dans laquelle on fera a: = oo 5 or, si l'on se rappelle que l'équation de la tangente en un point {x^ y) est
• — ^ = 7'(f— x) ou n = y'i + y — ^x,
on reconnaîtra facilement que l'asymptote d'une courbe plane est une tangente dont le point de contact avec la courbe s'éloigne à une distance infinie. Cette remarque peut dans certains cas faciliter la recherche des asymptotes, puisque, pour avoir leur équation, il suffira de
VlNGT-UlilÈME LEÇON. 20i
iercher ce que devient l'équation de la tangente quand Le point de contact s'éloigne à l'infini.
