TT = :7Z= ±/W

^fJT. CALCUL DIFFÉRENTIEL.

eVINGT-SIXIEME LEÇON

Usage des coordonnées polaires pour la détermination dé la tangente, de Parc , du rayon de courbure et du centre de courbure d'aune courbe {due.

149. Nous prendrons pour coordonnées polaires, i®lf t*ayon vecteur menéde l'origmeau poîntquelconquê(x, j)ï rayon vecteur qui sera toujours pour nous une quantité positive^ 2,^ Tangle u que fait ce rayon vecteur avec Taxe des X positifs \ Tangle u sera positif lorsque le rayon r se sera mû de droite à gauche , négatif dans le cas contraire \ cet angle peut d^ailleurs acquérir toutes les valeurs }K)ssiblcs. On a généralement

X •= r cos w , y •=. r fàn u.

Pour transformer une formule quelconque en coordonnées polaires, il suffira de substituer dans cette formule, à la place des coordonnées x, j^, de leurs dérivées et de leurs différentielles , leurs valeurs tirées de ces deux équations.

i**^ Exemple : On demande de déterminer en coordonnées polaires Tangle r, que la tangente en un point (pwr conque fait avec Taxe des x. On a

du

taDcr u -+- r —

djr sin udr -^- r cos udu ^ dr

^ dx cos u dr'^-' r un udu rdu *

I— tanga —

du tangr— tanfftt

r — z=i —^ -=^— = tang (t— le),

fir I + tangrtaDg tf ^^ '

VINGÏ-SIXIÈME LEÇON. 2^3

doue

. . du , . dr

tam; (t— a) = r — - , cet ( t — «) = — 7-. * dr ^ ' rdu

Si, en considérant u comme variable indépendante, on désignait par r\ r" les dérivées ne r relatives à li , on aurait

tang (t — ") = -7? cot (t — u)= —.11 serait facile dèslors de trouver Téquation polaire de la tangente et de la normale. L'équation polaire d'une droite, qui passe par un point dont les coordonnées polaires sont i/q, r^, et qui fait avec le demi-axe des x positifs Tangle r , est r sin (m — t) = To sin («o — t). En effet, si dans l'é-

quation tang t =^ ^, on substitue pour j:,j^,Xo,j'o?

leurs valeurs , on trouve

sm r rsin u — r^ sid w©

tang r = = ,

^ cost rcosie — roCOS«o

r(sinr cosii — sin u cosr) = ro(sin tcos m© — sin u^ cosr),

r sin (tt — t) = To sin («o — t).

Cette équation^est susceptible d'une transformation avantageuse. En effet, on a

w — r = («— Ko) H- (Wo— t) , Mn(a— T)=8in(« — tto)cos(tto— r)-|-«in(ao — T)cos(tt— «o),

et parce que rsin(a — T) = rosin(iio — t),

7-sin(if — tto)cos(«o — T)-|-rsin(Mo— r)cos'(ii — ao)='*osin(wo — r),

«>s (wo — t) rsin [u — Wo) = sin («o — r) [r^ — rcos (w — «o)] ,

£COs(tf — i#o)— rp cos(ao— r) w > w x