W /II"^"I

On trouvera ainsi

g,-H^,x+3aax\. .+(n- 1 )fl«,x,«--* ^

270 CiLGUL DIFFÉREKTIEL.

et en ayant égard aux équations de condition ,

Telle est, sous une forme très simple, réquationdelaoowbe

parabolique du degré u — i , qui a en un point do^né

(a:, y) un contact de l'ordre n — \ avec une courbe donnés.

On parvient encore à c^tte même équation de la bai-

nière suivante : La parabole passant par le point {p^^j\

son équation pourra se mettre sous la forme

et pour qu'elle ait un contact de Tordre n — i avec la courbe F(x, ^) = o , il suffit que les valeurs de

dy\ d'y, d'^-y.

dx' dxy ' dx^

correspondantes à x. = x, savoir : dti, i.aa^, i.a.3. . . {n — 2) a„i, i,s>.3 . . . (f» — i)ii««o «oient respectivement égales à j^', y", ... j^"~*^ ; on aura^ûo^

en substituant ces valeurs des constantes dans TéquatioD de la parabole, on retrouve l'équation déjà obtenue.

Dans le cas particulier où Ton prend n = a , la par^' bole osculatrice se change en une droite dont l'équation e?^^

et représente, QQmnie on devait s'y at<(endre , la tangen ^ au point (x, y) à la courbe donnée.

148. Considérons une courbe plane dont l'équation jr=f(x). SoîenlÇfig. 27) M,,, M deux points pris sur cet

vihgt-cimquième leçon. aji

irbe et correspondants aux abscisses x^y x\ Taire A onprise entre la courbe, Taxe des x et les deux ordon- €sj^o>^? est une fonction de Tabscisse x que l'on ne ut déterminer qua dans un petit nombre de cas particuirs, mais dont il est facile de trouver la différentielle. En effet , appelons Ax Taccroissement attribué à. la vaibie X, Taccroissement correspondant A A de la fonction représentera l'élément de surface i^enfermé entre la irf)e, Taxe des x et les deux ordonnées/(a:),/(a:+Aa:). d'ailleurs f(x+OAx) et /(ar-|-6,Ax) sont la plus mde et la plus petite des deux ordonnées de la courbe , 18 l'intervalle Ax^ l'aire A A sera comprise entre les ULx produits

par suite -— - entre les deux quantités

/(x + OAx), /{x+0,Ax).

r i la limite ces deux quantités devieiment égales enî elles et% f (x) ^ on aura donc aussi

A* dx

dK^=±jrdx.

^ supposant que l'aire A croisse avec l'abscisse a?, on finira le signe + quand l'ordonnée y sera négative, le fie — dans le cas contraire.