V-7 —. — = cot(r

p srn (w — tt) ^ ' rdu r

telle est Téquation polaire de la tangente. Pour obtenir celle de la normale , il suffit évidenkment de remplacer,

dans cette équation , Tangle t par Tangle v = t ±: -; on

aura donc , en désignant par v , |0 les coordonnées variables de la normale ,

• «cosTu — !«) — r , . du r

psm(c» — u) "^ ' dr r

150. Dans le cas des coordonnées polaires, on appelle sous-tangente Sj la partie OT (Jîg» 28) de la perpendiculaire au rayon vecteur OM, comprise entre l'origine elle point où cette perpendiculaire rencontre la tangente; et sous-normale S„ la partie ON de cette perpendiculaire comprise entre le point où elle est rencontrée par la normale et Torigine. Les longueuis MT =r T et MN =K seront la tangente et la normale.

Pour calculer plus facilement ces diverses longueurs ^ appelons a Tangle aigu compris entre la courbe ou la tangente et la perpendiculaire M Pau rayon vecteur OMi

a sera l'angle compris entre le même rayon et »*

tangente, et Ton aura

^ — - = ±(r — tt),

.ang. = ±co.(r«) = ±=±^ = ±-^- De plus , comme tang a sera une quantité essenti^^^^

VINGT-SiXlÈME LEÇON. 3^5

ment positive, et que pour de très petites valeur» de Au le rapport — se trouvera toujours affecté de même si-

dr gne que sa limite — = r' , on devra , dans Téquation

r' tang a =: ih — , prendre le signe + si le rayon r croit

avec K, et le signe — dans le cas contraire, ^niin, en partant de la valeur de tang a , on trouve

cos«=H j sin« = rh

Cela posé , le triangle rectangle OMT donne

tangOTM' ' tang« r'- . dr '

OT . r*

cosTJTM ' r' cos fit

Le triangle ON M donne de la même manière

^__ OM « r I # • dr

0N = 77777^, S,= -^ — = rtangfli = ±:r' =±1 — ,

tangONM' cota * </a'

MN

151. En désignant par s Tare de la courbe et par p le rayon de courbure, on a , comme nous l'avons vu,

I , dx'd^Y — dy d^x ds^=zdx* -^dj^^, -=±: ^ ^ — .

^ {dx^-^ df*) >

>i Ton substitue dans ces dernières formules les valeurs le X, j^, tirées des équations

êtzxreo^Uy jr zzzrùaUf

276 CALCUL DIFFÉaElfTIÈL.

OU trouvera, après les réductions effectuées, ds*=dr^+r^ du^j -=±'^ ^--^ p^ ^,

et Ton en conclut, en prenant u pour variable indépendante*

On abrège considérablement lescalculs qu'entraîne cette, substitution , en remplaçant les équations

x = rcosi», jr zziràh Uy

par les équations, équivalentes

x + xv^ — I = IV , g^^M I = yg

En effel, en prenant, par exemple, ix pour variable i^ dépendante , on déduira de ces équations

dx + df\/^'^i =:(r'+rï/^l)e" "^ dUy dx—dxy/Z:i = {r'—r\/:^)e'~''^'^^'du,

et.par suite,

^ ^^ du'

de plus,

dxd^y '^^dy d*x

sera le coefficient de l/— i dans le produit

d:r»4-rfr* = ** = «^"*(''*-+-^'*)» X"! = ''* + ^*^

VIWGT-SIXIEME LEÇON. 277

on aura

dx d^y —dyd^x = (2r'' — rr" 4- r*) rf«^

r» — rr"-4-2r'»

OU ces8sait de prendre u pour variable indépendante, j-ouverait, par cette méthode,

^ * + ^ * = dr^ + r^du* , ^jf'^dyd^xz=.r{drd*U'^dud*r)"\-{7,dr*^r*du^)dUyeX!C.

32. Soieut uiaintenant g ^ y? les coordonnées rectanguîs du centre de courbure correspondant au point(x,j^) K , Vx les coordonnées polaires du même centre , liées premières par les formules | = r, cos m,, ï? = Ti sin m, , .ura, comme nous avons vu (n** V^)^

n-^y f — j: dx^ '^dy*

djç ''^dy dxd^y "-^dy d*x^

on en conclura

ydx^^xdy xdx-\-ydy

dx^ + dy*

dx d*y — dy d^x * ce qui revient au même ,

J?+/<— (j:*-hj') J^ — yç __ dx*+dy* ydx'^^xdy xdx+ydy dxd*y — dyd^x'

3ste à substituer les coordonnées polaires aux coor nnées rectangulaires ; or les équations

ut/— I

fir — rtfj l/— I z= ( r/r — r r/aV/— i ) ^

donnent

^( +r« ='•'•1 cos(w, — w), *• +r*=''S

ydx^~xdx = — r*duy xn — jrf = r r, sin (a, — «),

xdyr+ydx zurdr ^

et par conséquent,

Tx cos (a, — a) — r r, sin (a, — u)

dr^ +r*du^ ^__

^ r(drd*u — dud*r)'^{ldr*+r^du*)ii»

Si Ton prenait u pour variable indépendante , on aurait simplement

co$(tf , — «) = -7 sin(a, — 11) = — -rr- „ , ,

on tire de cette dernière formule

r'« — rr"

r,cos (i«, — a) = r— 7j — — FT-Ta '

ar ■ — rr -f-r

et par suite

tang(«,-«) = -^.^-,,-^„r;= ^(^,.,l,^.^^).->

ou bien

r,sin(ax — «) =db

p = ± p sin «,

r, cos(«x — a)— r=:ir: — . (j = zûpcos*.

155. n serait facile de parvenir aux équations qui <Iodnent le rayon du cercle osculateur et les coordonnées p^

ViMGT-SlKlÈME LEÇON. ^JQ

du centre de courbure, en partant des principes que Ks avons établis sur le contact des courbes. En effet, le Cîle décrit du point (m,, r,) comme centre avec le rayon ^ pour équation ,

r* — 2r,r cos(a, — w) -f- rj =: p*.

Lor que ce cercle devienne osculateur d'une courbe n^née en un certain point pris sur cette courbe , c'est*à* '« pour qu'il acquière en ce point avec la courbe un atact du second ordre, il faudra que non-seulemeot ► coordonnées^ n et r, mais encore les différentielles «, d*u^ dr^ rf*r conservent les mêmes valeurs relatives i point de contact dans le passage du cercle à la courbe, a d'autres termes , les valeurs de u^du^ d*u, r, rfr, rf'r, rées des équations de la courbe , devront satisfaire à relation du cercle osculateiu* et à ses équations diiTérenslles du premier et du deuxième ordre. D'ailleurs ces ois dernières équations peuvent s'écrire comme il suit :

[r, sin(a — a,)]' ■+-[r, cos(a — «i) — r]* = ib*, rr^ sin (« — m, ) </a — [r ces (a — a, ) — r]dr=: o,

an (tt — Ut)ird*u-h'2dudr] — [rcos(u — ii|) — r](<f»r— rd«»)= — (dr»-|-r"dSB»).

n en tirera

os(u--ii,)^r r, >in(u~-ii.) ^__ ( L**! 8in(u-ii,))»-f-[r,co»(ii-u,)-r]' } T rdu - d? "■*■ v/d>« H- r"di»»

^ f f, sin(M-M,) (rd*U'i-idudr)~[rtCOs(u^u,)-rXd*r'rdu*)

"" l^dr* -f-r«^ "" '' (^^^^ •« — *^ **") + (*^* -♦- r*du*)du

r {drd »a — dud*r) -♦- (ad^« ^ r *du*)du'

ette demièr§ formule contient toutes les équations que ous avons d'abord obtenues.

n reste à montrer quelques applications de ces foriules générales.

a8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

i**^ Exemple : Spirale d'Ârchimède , r = au* Si Tod

désigne par b le rayon vecteur correspondant A u = av ,

on aura

et la spirale pourra être considérée comme engendrée par une mobile , qui , en même temps que le rayon vecteur fait luie révolution, parcourt sur ce rayon vecteur, dW mouvement uniforme, une longueur b. On aura, dans ce cas particulier ,

r' z=z ûT, r" = o, tang et = cot(r — u) =:•— ,

-={ I -\ ; — )- — -- -, tang («X — a) = « + ->

, a»+(cc>+,)' r I ^1

Pour M = o,

r=o, tang* = cot^=: tanga,==- = oo, « = -, p = r,:=-;

pour 11=00^

tangtf = o, tf =r o, tang(ai — w)=-, - = o, r, = a.

On conclut facilement de ces valeurs , i" que la spirale d'Archimède touche, à l'origine des coordonnées, le demi-axe polaire; 2^ que pour des valeurs croissantes de

u Fangle a et la courbure - décroissent indéfiniment, tan-

dis que la valeur de r, croit sans cesse , mais de manière A

rester comprise entre les limites - et a; 3*^ que pour des

valeurs très considérables de u^ le rayon r,, mené de l'origine au rentre de courbure ^ est sensiblement égal à a et sensiblement perpendiculaire au rayon vecteur r. En éli-

VINGT-SIXIÈME LEÇON. a8l

linant a entre les équations qui donnent tang(u, — u) t r„ on obtiendrait Féquation de la développée de la »irale d' Archimède , développée qui est elle-même une ouvelle spirale offrant un point d^àrrèt correspondant

IX coordonnées r, = - , i*, = - , normale en ce point au

rde décrit de Torigine comme centre, et qui, en s'éîgnant de ce même cercle , fait autour de Torigine une finité de révolutions, de manière à s'approcher déplus

plus d'un second cercle concentrique au premier , et crit avec un rayon deux fois plus grand. Comme la cirnférence et la nouvelle spirale qui s'en approche ne se ncontreront jamais , on peut dire que ces deux courbes nt asymptotes l'une de l'autre.

a"* Exemple :

, nr „ n{n»^\)r

tang

/ ./Il //(/!+ i)+ a*