DUT II = O

lang«=cotT=-, « = -;

3ur M = 00 ,

tanga=:o, « = o, tang(«, — «)== -.

On en conclura que la courbe touche â l'origine le emi-axe polaire, et devient, pour de grandes valeurs e II, sensiblement perpendiculaire au rayon r. Dans la léme hypothèse les valeurs de p et de r, correspondants à des valeurs nulles ou infinies de l'angle u , seront , omme cet angle, nulles ou infinies, à moins que /i= i.

3"** Exemple : Spirale hyperbolique , ainsi nommée à

;i82 CALCUL DIFFÉ&EHTIBL.

raison de l'analogie de son équation ru = a (a désignant une constante positive) avec celle de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. Elle prend son origine à iine dis^ tance infinie et forme une infinité de révolutions autov du pôle dont elle s'approche indéfiniment, mais sans Tau teindre, puisque Ton n'a r = o qu'en attribuant à TaiigL^ u une valeur infinie. On a dans ce cas ,

tang.= — cot(r--«)=-, -= -,-,

pour a = o,

! ÎT I

taneee = — colr z= tangit, =: -, «=:-, p^r, =- ;

pour u = 00, tang« = o, « = o, taiig(a, — «*) = -» ^ = r, = o.

De ces équations l'on conclut, i® que l'angle a est sensiblement droit et la courbure sensiblement nulle ponrde très petites valeurs de m, c'est-à-dire dans la partie del* spirale hyperbolique qui est très éloignée de l'origine et se confond à très peu près avec rasymptotej^ = a de celle courbe ; 2,^ que , pour des valeurs croissantes de l'angle u,

l'angle a diminue sans eesse, depuis «=- jusqu^à a = 0.

c'est-à-dire que la spirale tend toujours à devenir perpendiculaire an rayon vecteur ^ 3^ que le rayon de courbure p et le rayon vecteur du centre de courbure r, doni les valeurs sont d'abord très grandes finissent par s'évanouir. En éliminant u entre les équations qui donnenl tang(ii, — u) et r, , on obtiendrait l'écpiation de la développée qui sera une nouvelle spirale s'approchant anssi

minant a entre les équations qui donnent tang(u, — u) et r., on obtiendrait l'équation de la développée de la spirale d'Archimède , développée qui est eUe-mème une nouvelle spirale offrant un point d'àrrèt correspondant

aux coordonnées r, = -, i*, = -, normale eu ce point au

cercle décrit de Torigine comme centre, et qui, en s'éloignant de ce même cercle , fait autour de Torigine une infinité de révolutions, de manière à s'approcher déplus en plus d'un second cercle concentrique au premier , et décrit avec un rayon deux fois plus grand. Comme la circonférence et la nouveUe spirale qui s'en approche ne se rencontreront jamais, on peut dire que ces deux courbes sont asymptotes Time de l'autre.

2"* Exemple :

, ./Il wf«+ i) +a* I tang«=cot(r— «) = -, -=-i L__^^,

pour II = o ,

iang«=:cotT=-, « = -; ' o 2

pour M = 00 ,

tangoe = o, mzziOi taiig(tt, — «)=-.

On en conclura que la courbe touche â l'origine le demi-axe polaire, et devient, pour de grandes valeurs de i/, sensiblement perpendiculaire au rayon r. Dans la même hypothèse les valeurs de p et de r, correspondantes à des valeurs nulles ou infinies de l'angle u , seront , comme cet angle, nulles ou infinies, à moins cpie /i== i.

3"** Exemple : Spirale hyperbolique , ainsi nommée à

284 CALCUL DIFFÉREKITIEL.

d*où l^on tire , en substituant pour u sa valeur u = u^ — , 1^

lai H, ) la( H, 4-1—1

OU en posant lae ^ = e*,

équation d'une nouvelle logarithmique que Ton décriram^ en faisant tourner la première autour de Forigine, d^ manière que chacun de ses points décrive, avec unmoiB. — vement de rotation direct ou de droite à gauche, unan^

égal à 7 (a étant égal à la). On serait parvenu a

même résultat en partant des équations faciles à établir

/• r, 8in(«, — tf)^r' = -, r, cos(tfi — a) = o,

d'où Ton conclurait

«I = a H — , r, = rlfl^ etc.

154. Terminons ce que nous avions à dire sur remploi des coordonnées polaires, en cherchant la différentielle du secteur compris entre la courbe et deux rayons vecteurs quelconques. Pour cela considérons le secteur OAM = S {^fig^ 3o) décrit par un rayon vecteur que nous supposons se mouvoir de telle sorte que le secteur S croisse en même temps que Fangle u \ S sera une fonction de u que Ton ne peut déterminer généralement, mais dont on peut trouver facilement la différentielle. • En effet, donnons à u un accroissement Au, le secteur prendra un accroissement AS = OMm. Du point O, avec les rayons OM, 0/71, décrivons deux arcs de cercle MM/, mm. En supposant que Taccroissement Au soit assez petit pour que dans l'intervalle de u à r/-f- Am, le rayon vecteur ail

indéfiniment de l'origine sans pouvoir jamais Tatteindre.

4"* Exemple : Spirale logaritl^mique u = Lr, r=a''^ r = e*'' (a désignant la base du système de logarithmes représehté par la taractéristique L , base quç nous supposerons plus grande que l'unité). Pour u = o^ on a r= i. Lorsque Tangle u croit positivement , r augmente de plus en plus. Ainsi, en partant du point Â, la courbe forme autour de l'origine une infinité de circonvolutions et s'éloigne indéfiniment de ce point. Si l'angle u croit négativement, le rayon vecteur diminue de plus en plus et la courbe s'approche indéfiniment de l'origine, satis pouvoir jamais l'atteindre.

De l'équation r = e**'* on tirera

tangee = cot(r — u) =lûr,

' ^ ' COSflfc

L'angle a est donc constant , c'est-à-dire que la tangente , et par suite la normale, font constamment le même angle avec le rayon vecteur. De plus, pour obtenir le rayon de courbure en un point quelconque M , il suffit (Jig> 29) de mener par les points M et O deux perpendiculaires, Tune Ofi au rayon vecteur OM, l'autre M|x à la tangente MT; M(x sera le rayon de courbure cherché. En eflet, on

a Mu = = p. Cette construction et l'équation

p = montrent que ce rayon de courbure est égal à

la normale. A l'aide de cette propriété, on démontrerait très simplement que la développée de la spirale logarithmique est une autre spirale logarithmique. En efiet, u,, r, étant les coordonnées du centre de courbure , on a