II' I
- = - cos'ce H — sm'a
P fi ' Pt
se réduit, à cause de p, = p.t.j à
- = - (cos*tf -f- sm *«) = -.
Ou trouverait aussi que dans ce cas lès valeurs des coordonnées 5 , yj , (^ , ou des angles a ,' 6 , y qui correspondent aux rayons de courbure principaux, sont indéterminées.
Les points de la surface pour lesquels toutes les sections normales ont la même courbure s'appellent des ombilics.
Pour que les rayons de courbure principaux soient égaux et dirigés en sens contraires , il est nécessaire que dans l'équation AQ^ + BQ + C =o le coeiEcient de Q s'évanouisse, et que l'on ait en conséquence
(/?» -h ï)t — 2pqs -f- (9* -h i)r z= o.
Remarque. On démontrerait plus simplement la réalité des racines Q' et Q", en supposant, ce qui est toujours
permis , que Ton a pris pour plan xy un ulan parallèle au
TaEjiTE-QLiATUlLME LE^OA . ., 3^3
plan tangent mené par le point (x , y^ z). On aurait en ofl*et , oans cette supposition ,
-, Z' = o, 7 = o; rë<}uation qui donne Q deviendrait
(/•-Q)(/-Q)-*>=Q, d'où ^
la quantité sous le radical est essentiellement positive , donc , etc.
194. Considérons toujours une surface courbe représentée par Téquation u = o, et sur cette 'surface une courbe quelconque passant par le point (x^jr^ z). Si Ton nomme s Tare de cette courbe pris pour variable indépendante, et F son rayon de courbure correspondant au point (x, j', z), les cosinus des angles formés par ce rayon avec les demi-axes des coordonnées positives, seront (n« 166)
d*x dW d*z P p £ p
^ ds*' ds*' ds-'
Si de plus on mène la normale à la surface ei'i ce même point,' et si Ton fait, pour abréger,
« = v/(ÊJ-(|)--(S)".
les cosinus des angles compris entre la normale et les demi-axes des coordonnées positives, seront respectivement
I du i du 1 du f
Cela posé , soit i Fangle que fait la normale avec le rayon
374 CALCt'L DIFFÉRENT1EI«.
de courbure , on aura
du , du , du ,
— d^JL -h —d^X-^ —d^Z
? dx dr dz
COSd^ = — ^, .
R ds^ *
D'ailleurs en différentiant deux fois de suite Téquidoii '1 u = o, et désignant par a, 6, y, les angles que fôrmela tangente prolongée dans un seiH^ou dans un autre avec .. les demi-axes des coordonnées positives, on en tirera, comme nous Tavons déjà vu,
du , du , du ^ .
la valeur de Q étant déterminée par l'éyiation
ad*u d^u ^ d^u = -7 CCS*» -|--r--COS*o H p- COS'y CLT* djr* dz*
-f- 2 -; — r cos^ cosy -f- 2 -r— r- COSy COS« -f- 2 -z — ;- cos« co$», dfdz dzdx dxdy
et Ton aura par conséquent
P cos^ Q R I.
Des trois quantités R , Q et ^ , la première R dépend uniquement de la position du point (x, y^ z) sur la surface*, la seconde Q dépend à la fois et de cette position, et de la direction de la tangente à la courbe tracée sur la surface», i représente toujours l'un des angles formés par le plan osculateur de la courbe avec le plan tangent, ou , ce qui re* vient au même, par la normale principale de la courbe, avec la normale à la surface. Cela posé, il est clair que si Ton donne avec le point (x, ^, z) , la tangente à la courbe, et le plan osculateur, ces quantités Q et R seront connues,
ainsi que cos à \ oh pourra donc déterminer le rayon de
R courbure à laide de Téquation P = — -- cos^. De plus,
comme les quantités F et R sont csseiitiellcmeiit gositives, cos 5 et Q devront être de signes contraires ^ et comme on connaît le signe de Q, cm pourra dans tous les cas dér terminer le signe de coâc^, et, par conséquent, le sens dans lequel on devra porter lé rayon de courbure F sur la^iiormale principale de 1^ courbe proposée. •* 195. Si l'on voulait avoir le rayon de courbure p de la section normale, il faudrait faire coïncider le plan osculateur de la courbe avec un plan normal, en posant
cos J =^ ±1 I . On trouverait ainsi p = zp — , valeur qui
^'accorde avbc celle que nous avons obtenue plus haut^
en substituant , au lieu de -^, sa valeur :t. p^ on aura
F = di p cosJ. On conclut facilement de cette derniènî équation le théorème suivant :
* Concevons qu'une courbe quelconque étant tracée sur une siu^ace, on mène par la tangente à cette coui'be en uu point donné (a:, jr^ z), un plan noimal à la surface^ le rayon de courbure de la courbe sera le produit du rayon de courbure de la section faite par le plan normal par le cosinus de l'angle aigu compris enXre ce même plan et le plan osculatcur de la courbe.
Ce théorème remarcpiable, dû a Meunier, peut, en ne considérant que des sections planes, s'énoncer aussi comme il suit : le rayon de courbure d'une section oblique est la projection sur le plan de celte courbe du rayon de la section normale qui passe par la même tangente. En imaginant une sphère décrite de l'extrémité du rayon de courbure de la section normale prise pour centre, et avec ce* même rayon, on pourrait dire encore que tout plan conduit par la tangente coupera cette sphère suivant un cercle qui sera le cercle osculatcur de la stîclîon faite dans la surface par ce même plan.
376 CA.tciJL DIFFÉABMTIEL. '
On petit aisément vérifier le théorème cpii précède dans plusieurs cas particuliers. Ainsi , par exemple , si par un point donné sur une sphère , on fait passer un grand cercle et un petit cercle qui aient en ce'point la même taîxgentc, on reconnaîtra sans peine que le rayon du petit cercle est équivalent au rayon de la sphère multiplié par le cosiiais de Tangle aigu compris entre les plans des deux cercles. ^
Supposons encore que la surface courbe est la surface de révolution engendrée par la rotation autour de Taxe des X de la courbe y z=f{x)^ et que Ton demande le rayon de courbure P de la section faite dans la surface par un plan normal à la courbe génératrice , et passant par le point {x^jy z), L^angle aigu compris entre ce plan et un second plan pci^cndiculaîre à Taxe des x^ sera évidemment égal à Tinclinaison t de la courbe génératrice par rapport au même axe. Ce second plan coupera la surface de révolution suivant un cercle dont le rayon F est égal au signe près à Fordonnéey(a:) de la courbe génératrice* Qn aura donc , en appelant toujours p le rayon de courbure de la section normale , et parce que
Les équations qui précèdent se simplifient considérablement dans le cas où Téquation de la surface f^ = o est de la forme z — fip^-ij) = o ; on trouve en effet alors
R = \/p^ H- ^« 4- , , Q = rcos*« •+■ 25cos«cosC -h rcos»o, '
oo8^ rcos'« -f- ^.jcos«coso -+- rcos*C
P Yp^ 4. r/> -h I *•
TUENTE-CIWQLIÈME LEÇON. 377
trente-ginOvièhe leçon.
ou velloA propriétés des sections principales. — Lignes de courbure cics urfacos. — Centres de courbure. —SurEsce lieu des centres de courbure.
\ 96. ^i dans les équations (a)(n® 189) on met à la place e Ç , >3î Çi leurs valeurs tirées des équations
JL Ldx 1 ^ Ldy ^ 1 l-dz
= P»cosa=p»— , «=p>cosb=f>a^, Ç=p»cx>sy=/3> — »
T Q trouvera, en posant -7=T',
(d^x \ dx d^u dy d*u dz , du
dx* ^J ds dxdy ds dxdz ds dx^
r tK 1 d*u dx fd^u f^dy d*u dz ,^,du
^^ \ d^dJ'^ ydP^^^JdJ ^'^^Ts "■ d^'
d*tê dx d^u dy
dxdz ds dydz
ds ^ \dz» ^J ds;~ dz
^.ppelons /, m, n les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au plan osculateur de. la section normale, cette ligne sera nécessairement perpendicul§ire à la tan-^ ;ente à la section normale et à la normale à la surface , et Ton aura
cos / dx -h cos w dy -f- cos ndz-zr. *» ,
, du du du
cos l —, h cos /// -r- \- cos w -T- zzi n .
dx dy dz
'ijS CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Cela pose, si après avoir multiplié res|EectiveiQen^les équations (b) par cos /, cos m , cos n, oit les ajoute , Q et T' disparaîtront, et Ton trouvera •
cos/
dx
d*u dxdy
dx
/d*u \lxd}
d*u dxdz
dx
dz\
cosm
COSH'I -; — — dx
\dxdz
djrdz ^ ' dz* équation que Ton peut écrire sous laiforme très ^mple
ld.%
du du
cos / a,-^ -f-<x)S m rf.-r- -4- cos n d,-~- = o, dx djr dz
puisque Ton a identiquement
dx
dy
d^u du
-■; — 7- dz =r d, --, ... etc.
dxdz dx
dx * ' dxdy
Les trois équations •
du du du
cos Id. -r- -h cos^md, -r- -h cosnd.-j-, dx df dz
cos / -; — h cos m— — h cos/i -p- = o,
dx dy dz
cos* / -f- cos* m -h cos» /i = I ,
suffisent pour déterminer, au signe près, les trois quantin?^ 1 cos /, cos m^ cos n , ou pour fixer la position du pla*» osculateiu* à la section normale dont le rayon de courbure est un maximum ou un minimum.
197. Supposons maintenant qu'ayant mené par le point (x, j^, z) une section normale quelconque , on considère sur cette section im second point dont les coordonnées soient x + Ar , y + Aj^, z + Az, menons par ce second point, ainsi que par le point (x,/, z) , deux normales à la surface , et par Tune de ces nomales faisons passer un plan parallèle à Taulre. Si Ton désigne par /', m\ n les
TR£IfTE-ClMQ1Jl|;ME LEÇON. 879
2S que forme avec les axes une perpendiculaire à ce ,^on aura tout-à-U-fois • .
., du ,da , du
.cosi -7 — h cos/w -7- -hcos/i -f- = o, dx dy dz
, /du du
\da: dx
\ Jdu du\
, (du du\
>n en conclura
cos/' A — — h ces /n'A-; — h ces n'A -r- = 0. dx djr eiz
is deux normales deviennent infihiment voisines, : dernière équation deviendra
,, ,du , M^u / . ^tt
COSi a.-r--|- cos/w a.-r h cos/i a.-r-=:o. -
or djr M
conséquent pour tout plan parallèle JLla normale mepar le point (a:, y^ z) et à une normale infiniment ine menée par tîn second point de la courbe que Top idère, les angles l\in\n! seront déterminés par les c équations
., du ,du , du
cos V - — h cos m' -7- -h cos/i -;- = o, dx dy dz
du , du du
cos/ d,— — hcosiw'fi^.-r- -f- cos /i' é/.-t- = o. dx dy dz
nd la section normale que Ton considère est une on de plus grande ou de moindre courbure , on a , me nous venons de le voir, en désignant par /, m, » ngles que la perpendiculaire au plan osculateur ou au de cette courbe fait avec les axes ,
du du du
cos l -- — h cos m - — H cos n -r- = o , dx dy dz
cQ%ld.~ — h cosiw d.-i — h cosw d.-y- = o.
CALCUL ClIFFÉRENTIEL.
On aura donc
cos/' cosm' Cosn'
^ps f cos m cos n
du , du . ' du ,
•-- dx -^ -r- df -\- —- rfz = o ,
dx df dz
du du du
cosld, -1 — h cos md. — — h cosnd. —- = o,
dx dy eiz
il est clair que ces deux équations sont précisément lc5 équations différentielles des deux systèmes de lignes de courbure. La dernière de ces équations peut, comme on Ta vu, se mettre sous la forme
f d^u dx d*u dy rf*« d%\
\dx* ds dxdy ds dxdz ds )
, . 1 / d^u dx d^u dy d*u dz \
\ \dxdyds ' dy^ ds dydz ds J
/ d*u dx d*u dy d*u dz \
\ dxdz ds dydz ds dz^ IG '
et par conséquent le plan normal qui renferme une sec- • tion de plus grande ou de moindre coùrbq^^au point {Xjj^ z) renferme en même temps la normale à la sii^ face menée par un second point de la section infiniment voisin du premier. •
198. On appelle ligne de courbure d'une âurfacc courbe, toute ligne qui, étant tracée sur cette surface, est tangente en ce point à une section normale de pins grande ou de moindre coiu'bure. D'après cette définition, •< les v^eurs des différentielles dx , dy^ dz , ou plutôt des
rapports -r- % -r- ^ correspondant aux lign^ de eouimrc,
doivent être celles qui répondent aux sections normales de plus grande et de moindre courbure ; et , puisque ces valeurs se déduisent des deux équations
•rtlENTE-CiNQUIÈME LEÇON. 38 1
Ilcurs , des formules
dx ' dy dz
cos/-=- -4- cosiw -7- -h cos/i -7- = o, ds ds ds
du du du
COS/-T- -4- cosm —, h cos/i -r- = o ,
dz dy dx
cos/ cosm cos/i •
bt dudy dudx du dz dudy du dx'
is dz ds dz ds dx ds dx ds dy ds
lans l'équatioii (a) on remplace les trois cosinus
, , ■ • 11 du dz du dy
5 quantités proportion nellçs ^ -^ — T'T i^^-i^^
dra une équation du second degré entre les rapports
-y et en éliminant un de ces rapports à Taide de
je
tion
du du dy du dz
dx dy dx dzdx
t du premier degré seulement, on aura, pour déter- ■ Tautre, une nouvelle équation du second degré, t ce qu'on appelle plus proprement Téquation difTélie des lignes de courbure.
dans Téquation de la surface les variables étaient ses, on aurait
dydz ' dzdx ' dxdy
équations différentielles des lignes de courbure se
raient à
du , du , du ,
— dx-^—dy H- — rfs = O',
(Le dy dz
t ( d^u d^u\ , , du (d^u d*u\ . .
du /d*u d^u
du fd^u d^u\ ,
382 ' CAIXIJL DÎ^FÉHEKTIElA
Ainsi , par exemple , les lignes de çourbjire dlune dkp solde rapporté à sonr centre et à ses' axes se tmaveroDt déterminées par le système des deux éqâations différentielles
xdx ydjr zdz
:^(^> r») dydz -f- jz{^ — a^)dxdz
H — - (a* — b*)drdy :=o.
La première de ces deux équations différentielles peut être remplacée par Téquation même de rellipsoïde. Pour une surface de révolution on aurait (n** 191) »
du d^u d*u
<ir "
dz""' df*" dz^
et, par suite, l'équation (3) se réduirait à
dx
-\dx{ydz — zdy) = o,
et Ton en conclura que les lignes de courbure ne sont antre chose que les sections planes faites par des plans pc^rpendiculaires à Taxe, ou par des plans passant par Taxe.
Puisqu'à chaque point d'une surface donnée il existe en général deux sections normales de plus grande ou de moindre courbure , à chacun des points de cette surface correspondront aussi deux lignes de courbure qui* conrnie les sections principales , se couperont nécessairement à angle droit.
Considérons , en particulier, le cas où réquation de la surface se présente sous la forme
u = z ^ /(xyy) = o.
Pour obtenir la direction des lignes de courbure, tjU'
THENTR-CTNQLrLME LEÇOM. 383
ïiicide avec celle des sections principales , il suffira dans Iquation
î substituer pour Q sa valeur tirée des éqhations , cos« cos^ ces y
exprimée au moyen de l'un des rapports
cos^ djr cosy ' dz cos« dr* cos« dr'
\ premier, par exemple : on trouvera de cette manière
— [(/>*+ l)s—pqr]=0.
a prouvei'a très facilement que les deux racines de cette nation sont toujours réelles en supposant, ce qui est tou-
urs permis , que le plan xy est parallèle au plan tangent \ i aura en effet, dans cette hypothèse,
P = Oy Ç = O,
Téquation cpii précède deviendra
'•» dr , X dr* -r — /
1 en tire
dy r — r
dx 7J 2S
» deux valeurs sont évidemment toujours réelles ^ en les ^signant par tangr, tangr', on a de plus
tangr tangr = — i ,
[\yo CALCUL DIFFÉRENTIEL.
fl par suite
ou, mettant pour Ç sa valeur p^ + gri^
[r- {p- -M) Q] f -f. (s^pqq)n = o, (5-/;yQ)f-f-U-(^>-M)Q]if = o, [r-(,>«^i)Q][f-(7*4- i)Ql-(*-/^Q)*=o, Q'(/?'-f-^'-f- 1 )— [ (/?•-+- 1 ) t—'ipqs-h{q*-hl)r] Q -f-rf— J»=p.
Oïl trouvera encore
x-~pqQ {p*'hl)Q — r ps^qr-hqQ ps~-qr-^
Ob tirera enfin des formules qui précèdent
cos« ■ cosw cosy
f — />^Q "■ (/?'+ 1 )Q~r '^ ps — qr-^q(l
L'équation
= AQ>-+.BQ-hC =
donnera évidemment deux valeurs réelles de Q. On âur en effet
B» ~4 AC= {(;»• + i)/— 2^75 -f.(7'H-i)/}»— 4(^*+9« -h i)(r«—j>)
