II . I
- =r — cos*a H sm*« ,
ou
it - = — C05* * — — sm •«.
P Pi Pa
On arriverait directement à ces ccpiations de la manière suivante. Quand on prend pour plan xy le plan tangent
34^ CALCUL DIFJFJÊREIVTIEL.
2"*» Exemple : L'ellipsoïde — + ^^ -[- il = i .
Le plan tangent a pour écpiation
il ne rencontre la surface qu'au point (j:, y, ^) : en effet, des écpiatious simultanées
^a "^ A» "*" ^a — ' » 77 "^ AT "^r-r; — ■ >
jointes à l'équation de l'ellipsoïde — + T7 + — = i> on tire
ou, ce qui revient au même ,
et par suite
èz=x, n=jr^ Ç=2.
Les équations de la normale sont
3"*^ Exemple : L'hyperboloïde à une nappe
TRENTE-raoïsiÈHf LBçoif. *^ 35g
tDLule *
le second , à .' . ^
P p. Pa '.
) donc une relation très simple entre Jie rayon de *c d'une section normale quelconque et les deux de courbure des sections principales, relatk>nqui de calculer facilement ce rayon de courbure quelquand on connaît les rayons de courbure 'princiil les angles que la tangente à la section normale c les tangentes aux deux sections principjales. courbe devenait un cercle, on aurait
pi = p. = r
tte ligne était formée de deux droites parallèles , !S deux rayons de courbure principaux, p^ par
e, serait infini^ — serait nul, el p serait donné
[uation très simple
p = — COS*c«,
Pi
it d'ailleurs le rayon de courbure de la section e qui aurait pour tangente la perpendiculaire meiL deux parallèles par le point (x,y, z).
rêvons que le rayon de courbure p étant donné par
ion ' j^ %
— = ±— cos*a± ^ sin*fle, . < * V
344 CALCUL DIFFÉIIEJNTIBL.
par Téquation
X* . r* HZ
a* 6* c En différentiant, on trouve
Les équations du plan tangent et de la normale sont
(f--)^ + (^-r>f-(C-.)'- = o,ou^!+;^^
d'où l'on tire
L___^= i2__JL!, x(e-*)-lrr(,-j')+2z(Ç— *)=o.
Cette dernière équation prouve que la oormale au paraboloïde elliptique en un point donné est comprise dans le plan tangent mené par ce point à un ellipsoïde de révo* lution dont l'équation serait de la forme
Dans le cas où l'on considère x, j^, z comme seuls variables, l'équation
représente un second paraboloïde de même foime que le premier, mais dont l'axe coïncide avec la droite qui a pour équation
et le sommet avec un point situé sur cet axe et corrcs-
TRENTB-QUATRIÈME LEÇON. 36 1
Détermination analytique des sections de coorbore principales et des rayons de courbure principaux. — Rayon de courbure ou d^une courbe quelconque tracée sur la surface.
190. Concevons à présent que Ton veuille déterminer dans Tespace, pour un point cpielconque {x^y^ z) de la sui^ face donnée, la direction des tangentes aux sections de courbure principales, et les rayons de courbure principaux, n suffira évidemment de chercher le maximum et; le minimum, ou les deux minima du rayon de courbure
en supposant les coordonnées ^ 9 y7 , (^ liées entre elles par les deux équations
ilu du y du
Par suite on reconnaîtra que les valeurs de ^ , y? , (^ cor-^ respondantes aux rayons de courbure principaux, devront satisfaire à Féquation
dp=:qy ou f r/f + f r/«r + Ç^? = a,
[\46 CALCUL DIFFÉREIHTIBL.
Pour obtenir la ligne d'intersection de la surface avec le plan tangent, il suffit d^assujétir les coordonnées 1, v!) (^ à vérifier à la fois les deux équations
a» ^»"" c ' fl* b* c '
Or si entre ces dernières et Féquatiou de la surface
â»"~ b^ ^T' OU élimine Ç et z , ou j5 + (^ , on trouvera
fl« "^ Â"> "^^ ^ "" à^~* V^ "^ *vJ ■" "*'
ou
et Ton eu conclura
? — J^ __ «y— J Izif — »y — X
Ces deux équations , jointes à celles du plan tangent, représentent deux droites qui sont Tintersection du paraboloïde avec ce même plan : ces deux droites peuvent être regardées comme les généra ti*ices de la surface. 7"*® Exemple : Le paraboloïde hyperbolique
L'équation du plan Ungeut est
- nx +fjr = c(Ç + z),
viendra
dxdjr
dxdy
dxdz d'où Ton tirera
d^u dydz
dxdz dx^
, d^u ^ ^du
duffd^u ^fd^u \ (d*u\
rfaf rf'a rf«
rf»a
dy\^ dzdx dydz \dz^ ^Jdxdy j^duT d^u d*u fd^u ^\ ^*" "*"^L dydz dxdy ~ \^ "^J
dydz dxdy
dur d*u d^u /d*u \
S L ^^ dydz "" \ifa»" V
.dur d*u d*u fd^u \
'^dzV dxdy dzdx \dx^ V
dzdx
dxdy
dxdy dzdx dur d*u d*a
dydz
dx\ dydz dxdy \dy^ ^J dzdx dur d'u d*u ^fd^u^ \ d*u ^ [ dxdy dzdx \d^ ^J dydî
dy[ dxdy dzdx
durfd^u ^\fd*u \ fd*u\
dy*
= Kfi,
= irfi,
v désignant un coefficient dont on déterminera facilement la valeur. En effet, si Ton substitue les valeurs de ^9 m^ ^9 dans les deux équations
on trouvera , 1**
^du ^ du ^ du
« =• DCcr
M* désignant la somme des carrés des coefficients de »
348 CALCUL DIFFÉBEJNTIEL.
^, ^, -p prend une valeur indéterminée; 2** quand
ces trois quantités deviennent nulles ou infinies. Dans Tun et Tautre cas, Fécpiation du plan tangent deyieut identique , ou renferme au moins une constante arbitraire. Considérons, par exemple, le sommet de la surface oonic[ue représentée par Técpiation
le plan tangent a pour équation ^x+mjr = R"(^z. Au sommet du cône qui coïncide avec Forigine des coordonnées, on a a: = o, y = o, z = o; Téquation du plan tangent se réduit à o =o : la position de ce plan est donc indéterminée. Pour faire disparaître cette indétermination , posons .
x=rcostfy X =z rsiauy
d*où Ton conclut
ré<]^tion du plan tangent devient alors
f cos a + jy sin tf = Rz ,
et ne dépend que de Tangle u.
Or cet angle, qui est déterminé pour tous les points de la surface conique autres que le sommet , cesse de rétro pour le sommet lui-même, et se ch^gc alors eu constante arbitraire ; car il y a une infinité de manières de satisfaire aux équations
x=rcosa = o, / = rsina=:o.
Aux diverses valeurs de cette constante répondent une infinité de plans tangents à la surface conique.
Remarquons que l'on peut calculer T quand on connaît », et que, par conséquent, le problème précédent est complètement déterminé.
191. Lorsque les variables j: , ^, z, sont séparées dans ['équation u = o de la surface , on a
dfdz * dzdx ~ * dxdy ^ '
es équations qui donnent ^, >3, (^ et Q, deviennent
/JaV /^^Y /'^Y
W . \dy) , \dz)
-t- -rr = o.
Dans la même Hypothèse , la quantité T et les trois angles a , 6 , y seront déterminés par les équations
^-q)cos. ^(g^^Q)cosg^ (^-Q)<^y
dx'
dx dy dz
du
-Ql \^-Q
Prenons pour premier exemple Tellipsoïde (i) h i- H = I :
35o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et, eu dîfféreutîant deux fois l'équatiou a = o,
du , du , du , . d*u , . d^a , . rf*a ,
dx ^ dy ^^^dz ^ dx* • dy' '^ dz*
du , du , . du ,^ ^ ,
ou -T- d*x -A — — d*r H — ;- d*z = — Qds*.
dx ^ dy ^ ^ dz ^
«nposaut, pour abréger,
d*u dx^ d^u dy* d*u dz* d*u dr dz
^ dx* ds^ ^^ dy* ds* ^ dz* ds* ^^ dydz ds ds
d*u dz dx d*u dx dr
dzdx ds ds dxdy ds ds
I / du du dtt\
Faisons en outre R = y/(g J + ( J J + (^ J.
il viendra
du du """ du
dx dy dz
VU) +y +u)
__ (g — x)</»ar-:t- (y— r)^'r + (C — g)^'g __ ds* ^i
du , du , du , "~ ÔrtS^^^O'
dx ^ dy -^^dz
donc
</« du '^. R 0 *
du
dx dy dz
•et par suite
Cette dernière équation donnera la valeur du rayon àe
TRENTE-QUÀTRlinME LEÇON. 867
le nouvel ellipsoïde passera encore parle point (a:, j^, z). On peut remarquer que les sections faites par les plans ooordonnés dans Fellipsoïde proposé, et dans ce nouvel ellipsoïde, ont les mêmes foyers; car on a
2™* Exemple. Concevons qu^après avoir tracé dans le
plan o^^ une courbe représentée ' par j^ =y(j:), on fasse tonmer cette courbe autour de l'axe des x ; elle engendrera une surface de révolution dans laquelle la distance du
point (j:, /, z) à Taxe des a:, savoir, V^*+z", sera équivalente, au signe près, à l'ordonnée f(x) de la courbe génératrice. On aura donc pour tous les points de la surface
et son équation pourra se mettre sous la forme d'où
;£=-/(.)/ (X), ^ = r, jj = .i
L'équation qui donne la valeur de Q sera
[/(x) /'{*)]• .ri+i!
d'où , en remettant pour j^' + 2' sa valeur L/^(je:)]', On aura d'ailleurs
35a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Les rayons de courbure des diverses sections normales, menées par un même point, ont entre eux des relations remarquables, que Ton mettra en évidence en examinant comment le rayon de courbure varie avec les angles a, ê, y* Pour y parvenir on a recours à une construction géométrique très simple , qui consiste à porter sur clia<{ae tangente une longueur égale à* la racine carrée du rayon de courbure correspondant. Les extrémités de ces longueurs forment une courbe plane qui est du second degré : en effet, si Ton appelle^, y?, ^ les coordonnées de Tune de ces extrémités , on aura
JL J. -1
?— X=p»COS«, If— J = p»COsC, Ç 2=/9>COSy,
et en plaçant l'origine au point {pc^y^ z),
fzzrp'î'cos*, ninp^COS^y Ç=f>TCosy.
En tirant de ces équations les valeurs de cos a , cos 6 , cosy et les substituant dans Féquation QjO== ±:R, où ron a d'abord mis à la place de Q sa valeur en fonction de ces cosinus , il vient
dx* dy^ dz* dydz
+ ^-J-T Cf + 2 -— -fjyzziR.
dzdx dxdy
Cette dernière équation, quand on y considère |, >î, ^ comme seuls variables, représente une surface du second degré qui renferme la courbe plane , lieu de toutes les extrémités. Cette courbe, dont le centre coïncide avec l'origine actuelle, ou avec le point (a:,j^, 2), est donc bien réellement une courbe du second degré complètement déterminée par réquation de la surface et celle du plan tangent qui, dans Thypothèso où Ton prend le point (.r, y, 5;) pour origine, t^w posant .rr=f), r = o, z = o, se
TRteNTMl-Ql^ATRlÈME LEÇON. iîfig
rouvcra
du du du 1
//zdlr ' dxdr
Q = rcos'« H- itscosA cosC-H rcos*C, pcos» -f- q cos^ = cosy;
s deux équations de la courbe plane qu'on obtient en ant, à partir du point {pc^y^ z), sur la tangente à [ue section normale , des longueurs égales à la raoine ée du rav^n de courbure de cette même section, nt
ts rayons de courbure principaux sont toujours délinës par la formule
dpz=z^ di -h jjrfjy-hÇ^/t = o,
iquelle on devra éliminer rZ|, drij fl^^ à Taide des itions différentielles
r-i -+. .ç„)rff 4- {s^ -h tfi)d>i = Oy pdi -i-f/dtizrrzdi;^;
ii Ton élimine d'abord rl^^ on aura Ton conclut
re>-f-2,vîi,H-^i,» ±R . — ^— O
354 ^ CALCUL DIFFÉABUTIEL.
gucur p^ Yerifiént toujours une seule des deux équations
dx* ^dxdy " 5>^' ~
Si dans le passage d'une section normale à une autre, le .premier membre de ces équations change de signe, on devra eiAployer tour à tour ces deux équations, qui correspondent, la première à Téquatioi»- = ^ , la seconde i
Téquafion - = — ^ . Alors aussi nécessairement les rayons
dé courbure de CJ^ deux sections normales seront dirigés en sens contraire : au reste ce premier membre ne peut cbanger de signe que dans le cas où la différence
est positive , c'est-à-dire dans le cas ôù la courbe est formée du système de deux hyperboles conjuguées, ou de deux hyperboles , dont Tune a pour axe réel Taxe imaginaire de Fautive, et réciproquement. Dans ce cas le plap tangent à la surface donnée divise cette surface en deux parties dont Tune renferme les sections normales dont le rayon de courbure se dirige dans un sens, tandis que l'autre comprend les sections normales dont le rayon de courbure est dirigé en sens inverse. Au contraire , lorsque la courbe est une ellipse, toutes les sections normales ent leur courbure tournée dans le même sens, ce qui suppose que la surface courbe est située tout entière d'un même côté daplan tangent.
Piusqu'il existe des relations nécessaires entre les rayons vecteurs relatifs à certaines lignes du second degré et les rayons de courbure des diverses sections nor-
TREiM'Ç-QlATRIÈME LEÇO» . Sjl
, on déterminera fartJement et les deux rayons de courirc principaux , et les directions des tangentes menées irle pt>int (x, j^, z) aux sections principales.
Comme le produit (^(^' de ces deux racines est égal à — 5', elles seront de même signe si Ton a rt — 5* > o , les deux rayons de courbure dirigés dans le môme sens rpnt les valeurs maximum et minimum du rayon de mrburc p. Si Ton avait rt — 5' < o, les deux racines e l'équation seraient des quantités de signes contraires, : les rayons de courbure dirigés en sens contraire repréînteraient deux valeurs minima de p. Si Ton avait ^ — 5' =0, Tune des racines s'évanouirait, et la valeur laximum de p deviendrait infinie : donc alors une des actions principales aurait une courbure nulle. Il est aisé e s'assurer que cette circonstance a lieu en chaque point 'une surface développable : par conséquent les valeurs e r, ?, 5, tirées de Téquati on d'une semblable surface , érifient la formule rt — s^ = o, quelles que soient les va- 3urs attribuées aux coordonnées. x, y, z.
Les deux valeurs Q' et Q" deviennent égales dans le as où B' — 4 AC = o , ce qui ne peut arriver sans que •»s deux carrés dont se compose cette différence soient éparément nuls, ou sans que l'on ait à la fois
s\x , ce qui revient au même ,
/?* -f- 1 pq 7* -h I fi
)rdans cette supposition , l'équation qui donne Q, c'csli-dî rc
SlÀ pALCUL DIFFÉRENTfEL.
devient *
(r- XQr) {t- ÂQO -(. - ^Q.)» =«>,
d'où Ton tire , en remarquant que dans le' cas dont il s V git r£ — 5* n'est pas nul, •
A- /?* + ! pq 7*+i'
Donc alors la vajeur de Q , et par conséquent celle de p« est indépendante des angles , a , ë , y , ou des coordonnées
Et en effet, F équation r
