INTRODUCTION. XIX

devait former le troisième volume des Applications du Calcul infinitésimal à la Géàmétrie. L'ensemble de ces Traités et Mémoires formait plus de io4o pages in-4® ; pour le resserrer dans les limites d'un seul volume in-S**, il a fallu changer presque entièrement la rédaction. J'avais à la rendre à la fois plus concise et plus élémentaire; puissé-je avoir réussi !

Ce qui, je l'espère, attirera surtout l'attention dans ce nouvel ouvrage, c'est la rigueur et la netteté des démonstrations. La rigueur est le caractère , j'oserais presque dire le caractère distinctif de la manière de M. Cauchy; son esprit éminemment exact et pénétrant n'a jamais pu s'accommoder de ces demi-preuves auxquelles tant d'autres géomètres se sont résignés. Cette rigueur n'est pas ennemie de la simplicité, elle en est au contraire la compagne inséparable. Une démonstration incomplète est une difficulté cachée, mais non résolue, qui tôt ou tard se fera jour et deviendra la source de difficultés plus grandes encore; une preuve rigoureuse est toujours, aucontraire, unedifficulté vaincue. Avant que M .Cauchy publiât ses Traités, les démonstrations des théorèmes fondamentaux du Calcul différentiel reposaient trop souvent sur la considération de certaines séries que Ton employait sans discernement , sans avoir pu s'assurer qu'elles étaient convergentes , ou qu'elles étaient l'expression exacte des fonctions qui semblaient leur avoir donné naissance. C'était un véritable abus contre lequel M. Cauchy n\'i pas cessé de

\X INTRODLXTIOIV.

réclamer ; il n'a jamais eu recours à un développement en série sans avoir d'abord mis en évidence sa possibilité , sa forme j sa convergence , son existence ei? un mot, comme expression de telle fonction donnée. Je crois pouvoir affirmer sans crainte qu'en étudiant ou en enseignant ces Leçons, on ne rencontrera pas une seule démonstration qui ne satisfasse pleinement l'esprit. Je suis même convaincu que dès qu'on se sera familiarisé avec les notations, d'ailleurs très simples et très élégantes, de M. Cauchy , on sera forcé de reconnaître que ses méthodes sont les plus élémentaires de toutes.

J'ai cru devoir prendre pour base et pour point de départ du Calcul différentiel la considération de la fonction dérivée, dont on se fait toujours une idée nette et précise en disant qu'elle est la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable indépendante. De la définition de la dérivée je passe à la différentielle , qui est le produit de la dérivée par l'accroissement arbitraire attribué à la variable indépendante. Je n'ai pas craint de dire que cette différentielle, regardée par Euler comme rigoureusement égale à o , est en réalité inie quantité indéterminée finie ou indéfiniment petite, suivant que l'accroissement arbitraire attribué à la variableindépendante est lui-même fini ou indéfiniment petit : de fait cependant , dans le calcul différentiel considéré comme distinct du calcul aux différences finies, la différentielle est toujours une quantité très petite. M. Cauchy a cru, dans ces dernières années.

IMTROnrCTION. \xj

devoir donner de la différentielle une définition directe, immédiate, indépendante de la considération des fonctions dérivées. Se rapprochant des idées de Maclaurin et de d'Alembert, il appelle différentielles des quantités dont les rapports sont équivalents aux dernières raisons des accroissements que peuvent prendre simultanément les variables. En partant de cette définition on peut calculer les différentielles sans passer par les dérivées, comme je l'ai fait voir avec détail dans la quatorzième leçon ; mais je n'ai pas voulu la prendre pour point de départ : elle n'est réellement avantageuse que lorsqu'il est question des fonctions de plusieurs variables indépendantes; j'aurais craint, en l'employant trop tôt, de jeter quelque obscurité sur les principes du Calcul différentiel qu'il importait tant d'éclaircir.

On verra que je me suis efforcé de faire comprendre parfaitement le sens des notations du Calcul différentiel et de leur enlever tout ce qu'elles pouvaient présenter d'obscur ou d'ambigu. Je regrette de n'avoir pas banni complètement de ces leçons les notations vagues et incommodes ^, ^^> ;^i ^,

^ /ùr, ^ ^ ^» pour leur substituer les notations

plus tranchées jrl=T>:c Jf ^xj^ ^r=^x^f aj=DyZ, //fS, dyZj etc.

Puisque le développement des fonctions en séries n'est qu'une des nombreuses applications du Calcul différentiel , j'ai cru, toujours en suivant M. Cauchy , et quoique l'opinion contraire ait été soutenue

Xxij INTRODUCTIOlf.

par Lagrange , dans son remarquable et célèbre onyrage sur le calcul des fonctions, qu'il importait d'établir les principes fondamentaux de cette branche importante de l'analyse, indépendamment de ce développement ou indépendamment de la formule de Taylor. M. Cauchy ramène dans tous les cas le calcul des dérivées à la considération des

valeurs que prennent pour j? = o les trois ex-

pressions (i + x)' , -^ ^ , ; cette méthode

paraît au premier abord trop subtile , elle n'est réellement qu'ingénieuse , et il est presque impossible de l'éviter sans tomber dans quelque cercle vicieux, ou sans cesser de marcher du simple au composé. Il est d'ailleurs utile de montrer de bonne heure aux élèves le parti qu'on peut tirer d'une heureuse transformation analytique. Dans une Note sur la li-

mite de ( I H — ) , insérée dans le dernier numéro du

Journal de Mathéuiatiques pures et appliquées ^ M. Liouville dénonce comme insuffisantes les démonstrations dont on fait ordinairement usage pour prouver que cette limite a pour valeur le nombre

c= I H 1 h etc. J'aime à croire que cette

observation ne s'étend pas à la marche suivie par M. Cauchy, et que M. Liouville, dans sa pensée du moins, a fait une exception en faveur de son illustre confrère. Dans tous les cas, comme cette limite est pour M. Cauchy la base du Calcul

IftTRODLCTIOW. ^^".1

différentiel, je ne puis me dispenser de faire ressortir en peu de mots la rigoureuse exactitude de sa méthode. Il n'a pas à prouver que la limite de

l'expression ( i + - ) est égale au nombre e, cette vé-

rite est pour lui le résultat d'une définition , car il appelle e cette limite, qui, toujours la même quel que soit.r, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, est une quantité finie plus grande que i et plus petite que 3. La seule chose à démontrer, pour M. Cauchy, c'est que le nombre e ainsi défini est

égal à la somme i H 1 1 =+etc., ce qu'il

fait très rigoureusement quand, après avoir prouvé

que la série e^ -=• i H 1 h etc . . . est couver-

gente quel que soit a: , il y fait jc = i .

Au point de vue où je me suis placé avec M. Cauchy, la cinquième leçon, sur les relations qui existent entre les fonction^ d'une seule variable et leurs dérivées, est la plus essentielle de toutes. Elle contient réellement en germe le Calcul différentiel et le Calcul intégral tout entier, avec leurs plus importantes applications. Quand les élèves l'auront bien comprise, rien ne pourra plus les arrêter. I^s démonstrations des deux théorèmes fondamentaux de cette leçon me semblent ne laisser rien à désirer sous le rapport de la simplicité et de la clarté; elles demandent cependant à être l'objet d'une étude sérieuse , car la généralité de ces théorèmes leiu* donne je ne sais quelle apparence d'abstraction qui effraie an j>rcmier abord.

XXIV IWTRODUCTIOIV.

J'ai rangé dans le meilleur ordre possible les applications analytiques du Calcul différentiel; on n'étudiera pas sans intérêt et sans fruit la leçon sur les quantités infiniment petites , et les règles dont l'ensemble constitue la méthode infinitésimale. Dans les dernières années de sa vie, le grand géomètre enlevé trop tôt à la France, dont il faisait la gloire , M. Poisson, déclara la guerre à la théorie des fonctions telle que l'avait faite le génie de Lagrange, et s'arma de toute sa puissance pour ramener le monde savant à la méthode infinitésimale. Il affirma que les infiniment petits ne sont passeulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres, mais qu'ils ont une existence réelle, c'est-à-dire qu'il existe des grandeurs qui ne sont point nulles, qui même peuvent êti'e doubles, triples, quadruples d'autres grandeurs , et sont cependant moindres actuellement que toute grandeur donnée. Quoique appuyées d'une si imposante autorité, ces assertions furent vivement combattues et repoussées : elles n'énonçaient pas seulement un mystère dont la raison aurait pu s'effrayer sans avoir le droit de le rejeter; beaucoup d'esprits judicieux y virent une évidente impossibilité. En effet , ou ces grandeurs, plus petites que toute grandeur donnée, sont encore étendues et divisibles, ou elles sont simples et indivisibles : dans le premier cas leur existence est ime chimère , puisque, nécessairement plus grandes que leur moitié, leur quart, etc., elles ne sont pas moindres actuellement que toute grandeur donnée;

IKTRODUCTIOM. XXV

dans la seconde hypothèse, elles ne seraient plus des grandeurs mathématiques, les adopter, ce serait renoncer à Tidée du continu divisible à l'infini, point de départ nécessaire et fondement de toutes les sciences mathématiques. Quelques applications moins heureuses de ces principes, dont le plus grand inconvénient était de ramener trop ouvertement la science à son berceau, firent mieux comprendre la nécessité des méthodes plus rigoureuses dont MM. Poinsot etCauchy s'étaient faits les défenseurs. Pour ces géomètres, un infiniment petit n'est qu'une quantité variable ou indéterminée qui a zéro pour limite, qui peut décroître indéfiniment sans s'arrêtera une valeur appréciable; une quantité qui, prise isolément, peut être conçue plus petite que toute quantité donnée. Il suffit de cette définition pour mettre hors de doute les règles fondamentales de la méthodeinfinitésimale. Convenablement appliquées, ces règles ne peuvent pas égarer; si j'ai évité d'en faire usage , c'est uniquement parce que leur emploi entraine nécessairement des considérations préliminaires assez délicates, qui font perdre à la méthode infinitésimale le seul avantage qu'on semblait ne pouvoir pas lui disputer, la promptitude avec laquelle elle conduit au but. Pour faire mieux comprendre ma pensée, je me hâte de recourir à un exemple. Si l'on veut obtenir par la méthode infinitésimale la différentielle de l'arc s d'une courbe , il ne suffit pas de remarquer que l'accroissement Aj de l'arc étant sensiblement égal à sa corde , on a

YXVJ INTEODUCTION.

Pour que cette marche soit admissible, il faut nécessairement démontrer avant tout que l'accroissement ide Tare diffère de la corde d'une quantité infiniment petite du second ordre , ou du moins que le rapport de l'accroissement de l'arc à sa corde a pour limite l'unité. Entravée par cette démonstration et ramenée aux proportions de la méthode que nous avons adoptée dans notre Traité, la méthode infini* tésimale devient, ce semble, rigoureuse, mais en cessant d'être expéditive , et l'on est forcé de convenir que , très avantageuse quand il s'agit de prévoir ou de retrouver les résultats, elle ne constitue pas à elle seule une méthode d'exposition suffisamment exacte et classique.

Pour me conformer à un usage reçu et distinguer l'une de l'autre les formules qui donnent les développements de F(a: + A) suivant les puissances ascendantes de À , et de F {x) suivant les puissances ascendantes de j?, j'ai appelé la première formule de Taylor, la seconde formide de Maclaurin; mais en réalité la gloire de ces deux formules, qu'on a voulu aussi attribuer à un autre géomètre anglais, appartient tout entière à Taylor, comme le reconnaissent ouvertement Maclaurin et Stirling dans plusieurs endroits de leurs ouvrages.

Après la démonstration si simple et si ingénieuse que M. Cauchy a donnée de ces deux formules fon-

INTRODUCTION. ^^Vlj

damentales, je ne concevrais pas qu'on put recourir encore à la méthode trop imparfaite et trop inexacte des coefficients indéterminés, qui suppose tout et prouve seulement que dans tous les cas où les fonctions F (x) et F (x -h A) pourront être exprimées par des séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de jc ou de h^ ces séries coïncideront avec la série de Maclaurin ou avec la série de Taylor.

On renvoie ordinairement au calcul intégral la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, et pour effectuer cette décomposition on a recours encore à la mauvaise méthode des coefficients indéterminés; M. Cauchy a montré depuis long-temps que cette décomposition est une simple extension de la formule de Taylor au cas où la fonction qu'il s'agit de développer, suivant les puissances ascendantes de x — a, devient infinie pourx = a. La douzième leçon , sur les formules de Moivre , sur la définition ou la détermination du sens qu'il faut attacher aux expressions x^, A*, Lx, sinx, cosx, dans le cas où la variable x prend une valeur imaginaire, mérite aussi beaucoup d'attention. Les notions qui s'y trouvent réunies sont malheureusement fort peu répandues, et je regrette de n'avoir pas pu entrer à ce sujet dans de plus grands détails, que l'on trouvera du reste dans l'analyse algébrique de M. Cauchy.

Je me félicité d'avoir pu, dans la dix-septième leçon, donner une démonstration élémentaire de

XXViij IHTRODUCTION.

cet admirable tliéorème de M. Cauchy, qui ra« mène la loi de convergence des séries à la loi de continuité des fonctions qui leur ont donné naissance , et suivant lequel une fonction quelconque , réelle ou imaginaire, d'une variable réelle ou imaginaire Xj est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , tant que le module de cette variable conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction et sa dérivée cessent d'être finies et continues, c'est-àdire cessent de prendre pour chaque valeur de la variable une valeur unique et finie , croissant ou décroissant infiniment peu avec cette même variable. Ce beau théorème , en ramenant le développement d'une fonction quelconque F(;r) à celui de l'expression très simple , fournit, i ^ une démonstration

très remarquable de la formule de Taylor ; i^ une expression nouvelle du reste de /Cette série. Il s'étend d'ailleurs avec une extrême facilité au cas de plusieurs variables indépendantes.

On ne trouve dans aucun ouvrage élémentaire la démonstration de la belle série donnée par Lagrange pour le développement des fonctions implicites ; il faut même nécessairement convenir que les raisonnements par lesquels on a essayé jusqu'ici d'établir cette série laissent beaucoup à désirer; on admettait sans preuves la possibilité et la forme de ce développement, on prétendait mettre son existence hors de doute, indépendamment de la considé-

IWTRODUCTIO» . XXix

ration des valeurs attribuées à la variable, ce qui ne peut être, puisque la série n'est convergente qu'entre certaines limites quelquefois très rapprochées. Il m'en aurait trop coûté de laisser dans l'enseignement une si grande lacune ; cédant à mes vives ins^ tances, M. Cauchy, pour qui lutter contre une difficulté est déjà l'avoir vaincue, est heureusement parvenu à étendre aux fonctions implicites les règles de convergence qu'il avait établies pour les fonctions explicites , et à donner de la série de Lagraïige une démonstration aussi neuve que rigoureuse, qui, je n'en doute pas , sera bien accueillie de tous les géomètres. L'application qu'il a faite de cette théorie nouvelle à une question importante , résolue avec de grands efforts par le célèbre Laplace dans deux longs Mémoires, mettra mieux en évidence ses immenses avantages.

On a souvent besoin , dans la théorie du contact des courbes et dans la solution de plusieurs autres questions d'analyse , de comparer entre elles les dérivées de deux ou de plusieurs variables indépendantes prises successivement par rapport à diverses variables considérées comme indépendantes. Les bases de cette comparaison manquent dans la plupart des ouvrages élémentaires, j'ai essayé de la rendre rigoureuse et facile à l'aide d'une suite de théorèmes importants dont l'ensemble forme la première partie de la dix-neuvième leçon. Pour ne renvoyer au Calcul intégral rien de ce qui appartient proprement au Calcul différentiel^ j'ai pris soin, dans cette même

"xkx IWTRODLXTIOW.

leçon , d'établir les principes et les formules qui ser* vent à l'élimination des constantes ou des fonctions arbitraires avec l'aide d'un certain nombre de différentiations.

Je ne m'étendrai pas, dans cette Introduction, sur la seconde partie du Calcul différentiel ; elle est, plus encore que la première, l'ouvrage de M. Cauchy; dans l'impossibilité de mieux faire, j'ai dû souvent me borner à le copier. Après m'être ainsi effacé, j'aurai acquis le droit de dire que l'ensemble de ces applications géométriques me semble véritablement un chefd'œuvre. Je ne crois pas qu'on puisse concevoir plus de précision et de clarté dans les définitions , plus de simplicité et de rigueur dans les démonstrations , plus d'élégance et de rapidité dans les transformations analytiques. Dans ce bel ensemble, je recommanderai comme plus spécialement dignes d'attention, i^ les considérations si ingénieuses par lesquelles M. Cauchy est parvenu à établir les équations que doivent vérifier les coordonnées des points singuliers ; a® la recherche de la courbure , du rayon de courbure et du centre de courbure d'une courbe plane ou quelconque ; 3® l'appréciation du contact des courbes ou des surfaces courbes; 4^ la' détermination des rayons de courbure et des lignes de courbure des surfaces; 5*^ la recherche des équations finies ou aux différentielles partielles , des surfaces que peuvent engendrer en se mouvant dans l'espace des lignes droites et courbes de forme constante ou variable, soit que ces surfaces doivent passer par

INTRODUCTIOK. XXXJ

tine directrice déterminée, soit qu'elles doivent être circonscrites à une sur&ce donnée ; 6^ enfin la théorie des lignes et des surfaces enveloppes.

I^ calcul des résidus, création de M. Gauchy, est devenu entre ses mains un puissant instrument d'investigations nouvelles et profondes. Il en a déduit des procédés rapides pour la détermination d'un nombre immense d'intégrales définies et des méthodes d'intégration spécialement applicables aux équations que l'on rencontre le plus souvent dans la solution des problèmes de physique mathématique. J'ai cru dès-lors rendre service aux géomètres en ajoutant une leçon sur les principes élémentaires de ce calcul , complément nécessaire du Calcid différentiel. Le calcul direct aux différences finies avait aussi naturellement sa place dans ce premier volume; j'ai été heureux de trouver dans les manuscrits de M. Cauchy tous les matériaux de la quarante^^inquième leçon. On verra avec plaisir comment M. Cauchy , après avoir ramené la recherche de la différence finie de l'ordre n au cas très simple où la fonction donnée ¥{x) est égale à a', déduit les deux formules fondamentales du calcul aux différences finies de la considération des équations symboliques.

Deux Notes enfin complètent ce volume. La première a pour objet les formules nouvelles d'interpolation de M. Cauchy, qui sont peut-être l'un de ses plus beaux titres de gloire, et qui bientôt, je l'espère , seront exclusivement adoptées , parce qu'elles peuvent seules résoudre le problème de l'interpola-

XXXij INTROnt'CTIOW .

tion avec une approximation certaine et suffisante . Je n'aurais pas assez fait pour la clarté de cet ou^ vrage si je ne donnais pas quelques explications au sujet d'im procédé d'élimination employé presque à chaque page et à l'aide duquel on échappe souvent à d'immenses calculs. Quand il s'agit de déduire d'un certain nombre d'équations les valeurs d'un nombre égal d'inconnues^ M. Cauchy a presque toujours soin de ramener ces équations à une suite de fractions égales dont les numérateurs, toutes les fois que la chose est possible, renferment la première puissance d'une seule des inconnues. Cette transformation faite, il achève l'élimination avec une dextérité admirable, en égalant chacune de ces fractions multipliée , s'il est nécessaire , par un facteur convenablement choisi , au rapport que l'on obtient en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, ou la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs. Le choix des facteurs n'est jamais entièrement arbitraire ni par conséquent difficile , parce que les équations mêmes de la question indiquent toujours ce qu'ils doivent être. Pour mieux faire comprendre cette méthode si ingénieuse et si féconde, reprenons im instant l'exemple de la page 279. Il s'agit de trouver le rayon de courbure et les coordonnées polaires du centre de courbure , d'une courbe plane quelconque; les trois inconnues Ti, u^ et p doivent satisfaire à l'équation du cercle osculateur et à ses équa-

iSTAODXJCTioir. xxxiij

tions différentielles du premier et du secoud ordre : ces trois équations peuvent se mettre sous la forme

(i) [r,àii(« — «,)]* H- [r, co8(« — «,)— rf = p% (a) rr^ mD{u ^^ u^)du — [r, cos(a — «,) — r]€irr:z o, (3) r^sin{u — Ut)[nl^u^^dudr]

on tire de la seconde

r,cos(tf — «,) — r Tx sin(tt — a,)

rdu dr

Les inconnues Ti, i^i ne sont pas ici au premier degré, mais il est facile de voir que dès qu'on aura r, cos {u — u^) et r^ sin(2< — M|) , on aura immédiatement Ti = V^r^ cos* {u — «i) -h rj sin* ( w — m,) et sin(a — u^) ou cos(zi — M|), et par suite M|. De plus l'équation (i) montre qu'en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs des fractions qui précèdent par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs , on aura le

rapport très simple . ^ , dont le numéra-

teur renferme la troisième inconnue p au premier degré. Enfin si, ayant égard à l'équation (3), et après avoir multiplié haut et bas la première des fractions par d^r-^rdu^j la seconde par rd^u + idudry on divise la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, les inconnues r, et u^ disparaîtront et Ton obtiendra le rapport

r(drd*u --dud^r) -h(Q^dr* -f- r*du*) du ' T. 1. C

XXXI V INTRODtICTtON.

qui servira immédiatement au calcul des trois in* connues. Cet exemple suffit pour montrer, dans tous les cas, la marche à suivre. Il est bien choisi, car l'élimination que nous venons de faire aurait été trop pénible par d'autres procédés.

I^es théorèmes sur lesquels reposent cette méthode d'élimination de M. Cauchy sont d'ailleurs é>àdents, car des équations

j^—^^„— etc.

on tire

a -h a' -h a^' + etc. «__«'«" rTb' + b'' -f- etc. "b^V^V' ^'*^''

^"* Û'^VT'^ V^ " bu^b'a'-^b^ct" ■" 6 "- T'^^'-'

fl a^û^' 1^ /fl*-Hfl'*H-fl'''-l-etc.

b—b'^b" V b^-\-y^+b"-+etc:

En faisant ressortir ce que j'ai trouvé de neuf et de vraiment admirable dans les travaux de M. Cauchy, j*ai accompli un devoir sacré, j'ai répondu au premier besoin de mon cœur. Qu'il me soit permis en finissant d'exprimer ma reconnaissance à quelques savants qui m'ont été grandement utiles par leurs bienveillants conseils ou par leurs écrits : à M. Lacroix, le doyen de cette génération de géomètres qui a conquis tant de gloire à notre France, et qui, par ses ouvrages si répandus,