INTRODUCTION

J'avais conçu depuis long^temps un vif désir de contribuer de tout mdn pouvoir à l'avancement des sciences dont l'étude a fait l'i^ne des plus heureuses occupations de ma vie; mais j'étais encore incertain sur la marche que j'ayais'^à suivre pour atteindre ce but, lorsque plusieurs savants qui veulent bien m' honorer de leur amitié se réunirent pour me persuader que je rendrais un service éminent à l'enseignement de» mathématiques si j'arrivais à populariser les belles et rigoureuses méthodes du plus habile de nos géomètres. Je me suis laissé convaincre sans effort; j'avais eu moi-même cette pensée; je savais d'ailleurs que M. Cauchy, qui , à la qualité glorieuse d'élève, me permet d'ajouter celle plus glorieuse encore d'ami , m'accepterait volontiers pour intermédiaire et pour écho dans ses savantes ^communications avec le public.

XÎV INTRODUCTIOIV.

On apprécie généralement les grands et beaux travaux de M. Cauchy sur la théorie des nombres, sur la mécanique céleste , et sur la théorie de la lumière* Le monde savant a applaudi et applaudit bien plus encore aujourd'hui aux admirables mémoires par lesquels il a reculé toutes les limites de Ita science; mais il me semble qu'on ignore ce que l'enseignement classique des mathématiques lui doit de perfectionnements inespérés. Depuis plus de trekite-quatre ans, celui qu'on affectait naguère d'appeler un jeune profe'^':eur, n'a pas cessé de combler quelqu'une des lacunes que présente l'enseignem^t élémentaire des sciences. On l'a vu chaque année substituer des imêthodes simples et rigoureuses aux' méthodes empiriques et incomplètes que l'on gémit de rencontrer jusque dans des auteurs très estimés* La justice et la reconnaissance me font un devoir de prouver ce que j'avance.

M. Cauchy a rédigé sur des bases nouvelles , et l'on sait à cgiielle occasion , des traités élémentaires d'Arithmétique et de Géométrie; on aime à voir un grand génie, inspiré par un noble dévouement, suspiendre la poursif ite de ses brillantes découvertes pour rendre accessibles à un Jaune et royal exilé les importants secrets des sciences.

Si de l'arithmétique et de la géométrie nous passons à l'algèbre et à l'analyse algébrique, nous verrons M. Cauchy lutter sans ccssse contre des difficulté qui , jusqu'à lui, avaient semblé grandir avec la science. Il commence d'abord par substituer des dé-

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finitions précises, dès démonstrations rigoureuses, aux paralogismes et aux cercles vicieux qui servent malheureusement d'introduction au plus g^rand nombre des traitès d'analyse ; puis c'est une succession non interrompue d'aAiélioralions longtemps attendues en vain. La scieivge reçoit de lui tour à tour, i^ une mé||||pide générale de résolution d'un nombre quelconftjue jd' équations du premier degré à plusieurs inconnues, méthode plus élégante et plus Êicile que celle de Laplace ; &<> une théorie nouvelle et très simple des combinaisons et des nombres figurés que MM. Mayer & Choquet ont introduite en partie dans leur Traité d'Algèbre ; 3^ une démonstration , aussi élémentaire qu'elle peut l'être, du théorème £3ndamental que toute équation a une racine ; 4® une théorie très ingénieuse des fonctions symé* triques, qui permet de calculer directement, à l'aide de simples divisions algébriques , une fonction symétrique quelconque des racines d'une équation donnée; 5^ un moyen sûr d'éviter l'équation aux carrés des di£Férences et d'obtenir immédiatement , par un calcul arithmétique , quand les coefficients de l'équation primitive sont des nombres entiers , lUK limite inférieure à la plus petite dififérence entre les racines réelles de cette équation ou entre les modules de ses racines imaginaires ; 6^ la première solutioii connue du problème proposé par Lagrange sur la détermination exacte du nombre des racines réellea d'une équation algébrique ; 7^ une théorie entièrement neuve, conduisant à des démonstrations

\V) lxNTRODlt:TU)N.

simples et directes des beaux thcorènies de Descartes, de Diibuat, de Biidan, de Fourier et de Sturm, sur la détermination exacte ou approchée des racines réelles d'une équation donnée ; 7^ un tliéorème nouveau et vraiment extraordinaire, qui donne le nombre des racines im^naires dont la partie réelle et la partie imaginaire sont comprises entre des limites données , théorème qui contient^ comme cas particulier , le théorème de Sturm et tous les théorèmes analogues; 8^ une méthode rigoureuse pour le calcul par approximations successives des racines d'une équation numérique quelconque ; cette méthode, qui se réduit à celle de Newton quand cette dernière est applicable , donne réellement à chaque opération une approximation plus grande ; 9^ des considérations importantes sur la convergence des séries, et deux règles très simples pour l'appréciation de cette convergence; 10^ la solution d'un grand nombre de questions difficiles d'analyse.

"Je me propose de réunir sous peu de jours, dans un petit volume , l'ensemble de ces perfectionnements; ce sera une exposition nouvelle et très élémentaire de la théorie générale des équations, et du grand problème de la résolution des équations numériques.

Nous devons encore à AI. Cauchy une rédaction complètement neuve des deux trigonométries rectiiigne et sphérique, et de l'application de l'algèbre à la géométrie. Il a eu l'heureuse idée de rattiener l'étude dés lignes et des surfaces du second degré à la

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discussion facile et simple d'une é([uation à trois termes r*+2/r+tt— A:=o. Il suffit alors dequelques raisonnements évidents, de quelques calculs élégants, sans transformation aucune des coordonnées, pour Éaire ressortir toutes les propriétés de ces lignes et de ces surfaces. S'il s'agit par exemple des surfaces du second degré , on arrive dans deux ou trois leçons , en suivant une marche très uniforme et tout-àfiait analytique, aux équations du centre, du plan diamétral, des plans diamétraux principaux, des axes principaux , du plan tangent , des sections rectilignes , des sections circulaires , des foyers ; aux relations qui unissent les axes principaux aux diamètres conjugués, etc., etc. Il me tarde aussi, en publiant cette admirable méthode, de simplifier l'enseignement de la géométrie analytique.

Quant à ce qui concerne les traités de Calcul différentiel , de Calcul intégral et de Mécanique dont j'entreprends aujourd'hui la publication , il suffira de les parcourir pour se convaincre qu'ils diffèrent totalement des traités publiés par d'autres auteurs , qu'ils sont presque en entier l'œuvre de l'illustre géomètre. Quand il emprunte à ses devanciers les énoncés des théorèmes, le mode au moins de démonstration est à lui. On verra mieux ce qui lui appartient plus en propre dans l'analyse que je placerai à la tète de chacun des volumes de cet ouvrage. Je n'ai à m' occuper aujourd'hui que du Calcul différentiel.

C^ Traité doit être regardé comme une édition T. I. h

X\IIJ IJSTHODl CTIOJN.

nouvelle, mais considérablement augmentée, des Leçons de M. tlauchy. Je l'ai fait aussi complet . qu'il m'a été possible; ce n'était pas assez qu'il fût au niveau de la science telle que l'avaient faite jusqu'ici les traités classiques; ces traités ne préparaient pas suffisamment à la lecture des ouvrages des grands maîtres; il fallait nécessairement donner à l'enseignement un nouvel essor : j'ai essayé de le faire. J'ai fait entrer dans la composition de ce premier volume les ouvrages suivants de M. Cauchy : i'* les Leçons sur le Calcul différentiel y deuxième édition , Paris , 1 829; 2** les Leçons sur V application du Calcul iîifinitésimal à la Géométrie , t. i*^% Paris, i8îi6; 3° un Mémoire publié dans le troisième volume des Exercices de mathématiques , sur les surfaces que peuvent engendrer, en se mouvant dans l'espace, des lignes droites ou courbes de forme constante ou variable; 4" im Mémoire sur la théorie des suites et les lois de leur convergence, imprimé d'abord dans les Comptes tendus de UAca-demie des Sciences , et plus tard, avec des additions importantes , dans la neuvième livraison des Exer^ cices d'Ànalj'se et de Phjrsique mathématique; 5** un Mémoire sur l'interpolation , d'abord lithographie , puis inséré dans le troisième volume du Journal de Mathématiques de M. Liouville; 6® divers Mémoires sur le calcul des résidus , faisant partie des Exercices de mathématiques; 7** un Traité inédit du calcul aux différences finies; 8^ enfin un cahier manuscrit que M. Cauchy a bien voulu me confier, et qui