PREMIÈRE NOTE
Soient d'ailleurs 6, , A*j^, , «A*iv, , . . . , ce que deviennent les valeurs de ë , A*y, A'tv, . . . , tirées des équations qui précèdent, quand on y remplace x par Xi , / étant Tun des nombres entiers i, a, .../}. Si les valeurs de
sont très petites et comparables aux erreurs que comportent les observations, il sera inutile de procéder aune nouvelle approximation , et Ton pourra s'en tenir à la valeur approchée de ùj" fournie par l'équation Ajr=ëSùgri, Si le contraire a lieu, il suiBra, pour obtenir une troisième approximation , d'opérer sur la formule qui donne A^, comme on a opéré dans la première approximation sur la formule (i). En continuant de la sorte , on obtiendra la règle suivante :
L'inconnue jr^, fonction de la variable x , étant supposée développable en une série convergente
(I) au -h bif -h av -f-...,
QÙ u^Uy IV, ... , représentent des fonctions données de la même varîable , si l'on connaît n valeurs particulières de jr correspondantes à n valeurs particulières
de X, si d'ailleurs on nomme i l'un quelconque des nombres entiers i , 2, . . . . , n , et j^, , Ui^ i^, , . . . . , ce que deviennent j^, II, i', . . ., quand on y remplace x par Xi\ alors , pour détenir la valeur générale de jr avec une approximation suflBsante, on déterminera d'abord le coefficient a k l'aide de la formule
(II) U = etSWi,
dans laquelle Sui désigne la somme des valeurs numé-, riques de li, , et la différence du premier ordre ùjr à l'aide
5^4 CALCUL DIFFÉREMTIBL.
(le la formule ^ ^
(m) r = «Sj/ -+- A^.
Si les valeurs particulières de A^, représentées par Aj', , A j^t 9 • • • 9 AX„ , sont comparables aux erreurs (Inobservation 9 on pourra négliger ^y et réduire la valeur approchée de j' à
•Sri.
Dans le cas contraire , on déterminera 6 à Taide des formules
(IV) V = «SPi -h AP, AP = CS'APi,
S' Ai^i étant la somme des valeurs numéri(pies de As^, , et la différence du second ordre ^y à Taide de la formule
(V) Ajr = CS'AJ -h A»r.
Si les valeurs particulières de A'y, représentées par A*jr„ A^t 9 • ' * 9 ^ V" 9 ^^'^^ comparables aux erreurs d'observation , on pourra négliger ù^y et réduire en conséquence la valeur approchée de j^ à «Sy, + êS'Aj^..
Dans le cas contraire, on déterminera y par les formules
(VI) iVirzBStv.-l-Atv, Atv = ;S'AM\-h A'tv, A*f«' = yS"A*iVj,
S^A'tv, étant la somme des valeurs numéri(pies de A'tv, , et la différence du troisième ordre ù^y par ta formule
(Vn) A»/ = yS'Vj, 4- A^^etc.
Ainsi, en définitive, en supposant les coefficients «,6,7,... déterminés par le système de ces équations, etc., on devra calculer les différences des divers ordres représentées par
AJ, A\>-, aV
ou plutôt leurs valeurs particulières correspondantes aux valeurs a:,, Xj,. . .• j:„ de la variable x, juscpi'à ce({ue Ton parvienne à une différence dont les valeurs particu-
PREMIÈRE NOTE. Ssî^
iières soient comparables aux erreurs d'observation. Alors il suffira d'égaler à zéro la valeur de cett» différence tirée du système des écpations (III) , (V) , (Vil), . . . pour obtenir avec une approximation suffisante la valeur de y. Cette valeur générale sera donc
y = «Sjô ou y -= oiSxi -+■ ^S'aj^i, ou etc.,
suivant que Ton pourra, sans erreur sensible, réduire la série à son premier terme , ou à ses deux premiers termes. . . Donc , si Ton nomme m le nombre des termes conservés , le problème de Tinterpolation sera résolu par la formule
X = «St.- -h SS'a j.- -h yS"A Vi -h etc.,
le second membre étant prolongé jusqu'au terme qui renferme A"''"'^,.
n est bon d'observer que des formules précédentes on tire non-seulement
S«,= i;SC,= o, S' , = i; Sy, = o, S'yi = o, S'Vi= i,etc.;
mais encore
Sac, = ô; Saw», =r o, Sa'cv, = o, S'a*w, = o, etc. . . , et Sàyi=zo ; Sà*Xi=Oy S' A»7.=o, Sa Vi=o, S'a Vi==o, S^'a Vi=o,...
Ces dernières formules sont autant d'équations de condition auxquelles doivent satisfaire les valeurs particulières de a , 6 , y, . . . , ainsi que celles des différences des divers ordres de a, i^, iv, . . . , j^^ et il en résulte qu'on ne peut commettre dans le calcul de ces valeurs particulières aucune erreur de chiffres sans en être averti par le seul fait que les équations de condition cessent d'être vérifiées.
En résimié, les avantages des nouveUes formules d'interpolation sont les suivants :
I®. Elles s'appliquent aux développements en séries, quéUe que soit la loi suivant laquelle les différents termes
se déduisent les uns des autres , et quelles que soient les valeurs équidiilQérentes ou non de la variable indépendante;
a°. Les nouvelles formules sont d'une apfdication très facile , surtout (]uand on emploie les logarithmes pour le calcul des rapports a, 6, 7 V9 ^^ ^^^ produits de ces rapports par les sommes des diverses valeurs des fonctions ou de leurs différences. Alors, en effet, toutes les opérations se réduisent à des additions ou k des soustractions.
3^. A Taide de ces formules les approximations succès^ sives s'exécutent avec une facilité déplus en plus grande, attendu que les différences des divers ordres vont généralement en diminuant;
4^. Ces formules permettent d'introduire à la fois dans le calcul les nombres fournis par toutes les observations données , et d'augmenter ainsi l'exactitude des résultats en faisant concourir à ce but un très grand nombre d'expériences ;
5^. Elles offrent encore cet avantage, qu'à chaque ap* proximation nouvelle, les valeurs qu'elles fournissent pour les coefficients a^ t, r, . . . sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à craindre est la moindre possible ;
6^. Ces formules indiquent d'elles-mêmes le moment où le calcul doit s'arrêter, en fournissant alors des difKrences comparables aux erreurs d'observation ;
7^. Enfin les quantités qu'elles déterminent satisfont à des équations de condition qui ne permettent pas de commettre la plus légère faute de calcul , sans qi>e l'on s'fn aperçoive presque immédiatement.
On trouvera dans les nouveaux Exercices de Afatliémnfir/ues de nombreuses applications de ces formules d'interpolation.
DKLXIEME NOTE.
