CONDITION DE CONVERGENCE

DE LA SÉRIE QUI DONNERAIT LE DÉVELOPPEMENT DE LA PLUS PETITE RACINE DE l'ÉQUATION J^ = XCOSJ'.

Si ce volume , dont j'aurais voulu faire l'expression complète de la science actuelle , n'avait pas cru au-delà de toutes mes prévisions, j'aurais placé ici une exposition simple et facile de deux des plus importants travaux de M. Cauchy , ayant pour objet la résolution des équations littérales ou numériques de tous les degrés , et des équations transcendantes. Forcé de m'arréter, je donnerai seulement un exemple de la résolution des équations transcendantes ; cette application est d'autant plus nécessaire, qu'elle complétera une des plus belles théories exposées dans ces leçons.

Nous avons dit que la plus petite racine j^y de l'équation j^ = X cosy sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x pour tout module inférieur au plus petit de ceux qui répondent aux équations simultanées :

cos r

ces r , — ^^nr — sinj,

SaS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dont la seconde peut être réduite à col y = — y^ on peut être remplacée par la formule

cos^ -h xùax = o.

Quand on développe sin j^ et cos j^, cette dernière formide devient

Or si Ton nomme Y le module de la variable réelle on * imaginaire jr, le module du polynôme qui précède ne pourra pas surpasser la somme des modules de ses diven termes, savoir

Y« -^--+-eic.

D'où il résulte que l'équation cot j^ = — y n'admettn point de racines réelles ou imaginaires dont les moduki soient inférieurs à la racine positive unique de l'équation

ou, ce qui revient au même , de l'équation

qu'on peut encore présenter sous l'une ou l'autre des deux formes

, 2Y-I(Y -f-i)-hl{Y-i) = o.

D'ailleurs cette racine, supérieure à l'unité, en vertu de

la formule

DECiXIBME NOTE. :}2g

M'î'd , en vertu de la formule

inférieure à la racine positive deTëcpation

ï"'est-à-dire au nombre V — +2k 1.2 = 1,2100. . .^ et si Ton pose dans l'équation 2Y — l(Y+i)+l(Y — i)=o, Y = 1,2 + i, I sera renfermé entre les limites — 0,2 et 0,1. Cela posé, en considérant 1,2 comme une première valeur approchée de la racrne pomtive Y de cette dernière équation , on obtiendra facilement , per Temploi de la formule de Taylar, de nouveUes valeurs de plus en plus approchées. En effet, désignons par F (Y) le premier membre de cette équation , par a la valeur approchée de la racine Y , et par a + ' sa valeur exacte , on aura

F(Y) = ¥(a ■+■ 1) = F(a)-hi¥\a -+- Oi);

6 indiquant un nombre inférieur à Tunité, et les valeurs de F'(Y), F'(a + fli) étant

Dès-lors Téquation F (Y) = o donnera

PW^

VI comme on aura encore

/l=:l,2, ¥(a) = la — 1( j=r 2,4 — l(i i) = o,oo2io5,

53o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on trouvera définitivement

I = — 0,00a 1 CD ^ — .

En vertu de cette dernière équation , non-seulement 1 sera négatif, mais de plus sa valeur numérique sera inférieur* au produit

et par suite supérieure au produit

^ I — (1,2 — o,ooo32i6)""* ^

Donc, en poussant l'approximation jusqu'aux millionièmes, on aura

Cette dernière valeur de Y représente donc une limite inférieure que ne peuvent pas dépasser les modules des valeurs de Y qui vérifient Téquation

Mais ces modules peuvent atteindre la limite dont il s'agit , puisqu'on satisfait à la dernière de ces équations ni

supposant ^ = Y V^ — i == 1 , 1 99 678 . . . \/ — i , ou en prenant pour Y la racine positive de réquatîon

Y» __^^Y4 » Yfi

Ce n'est pas tout^ comme, en vertu des équations

X cos r, cos j -k-y sm j — • 0,

on a

co^X siiij^'