PREMIERE LEÇON
Définitions. — Des variables et des fonctions coiitinaes ou discontinues, explicites on implicites, simples ou composées. — Des limites des fonctions. — Dérivée et différentielle. — Objet du Calcul diflR^rentiol.
1 . On nomme quantité variable celle que Ton considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle au contraire quantité constante, toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque des grandeurs variables sont tellement liées entre elles que les valeurs d'une ou de quelques-unes étant données on puisse en conclure toutes les autres, on conçoit ces diverses grandeurs exprimées au moyen d^ine ou de plusieurs d'entre elles qui prennent le nom de variables indépendantes ; les autres grandeurs , exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce mion appelle des fonctions de ces variables.
2. Les fonctions sont explicites et s'expriment à l'aide des notations y = F(x), y = /(x), z = F(x,j),
les valeurs des variables dépendantes sont données immédiatement par des équations résolues : elles sont implicites lorsque les variables dépendantes sont liées aux T. I. I
variables indépendantes par des cH[uations non résolues
Il est important de remarquer que si deux fonctions sont représentées par la même caractéristique F ou/*, ou (fy ou y^^ etc. , elles sont formées de la même manière au moyen des variables qu'elles renferment.
3. Les fonctions se divisent , i^ en fonctions simples ou composées suivant qu'elles résultent d'une ou de plusieurs opérations eifectuées sur les variables; 2** en fonctions algébriques rationnelles ou irrationnelles lorsqu'elles résultent des cinq premières opérations de l'algèbre, et en fonctions transcendantes.
4. Une fonction y z= F (x) est continue lorsqu'à chaque valeur de la variable répond une valeur unique et finie de la fonction, et que de plus un changement infiniment petit h = Ax dans la valeur de la variable indépendante, produisant dans la valeur de la fonction un changement Ay infiniment peti t, la différence Ay = F(x H- A) — F(x) =zF(x+Ax) — F(x) est infiniment petite. Si ces deux conditions ne sont pas remplie la fonction est discontinue. On appelle ici infiniment petite une quantité très petite qui a o pour limite , qui peut décroître indéfiniment, sans s'arrêter à une valeur appréciable, ou une quantité que l'on peut concevoir plus petite que toute quantité donnée. Les changements Ar, û^ peuvent être positifs ou négatifs, on les désigne cependant toujours sous le nom d'accix)issements.
5. Lorsqu'une première variable dépend d'une ou de plusieurs quantités qui dépendent elles-mêmes d'une ou de plusieurs autres variables, on dit que la première variable est fonction de fonction. Exemple : si Ton a
z sera une fonction de fonction de x.
VRKMtkBB LEÇOir. 3
6. On appelle en général limite d'une fonction ^ la ra* kar vers laquelle elle converge lorsque la variable dont elle dépend convei^e elle-mÊme vers une valeur déterminée. Cette limite peut se présenter d^abord sous une forme indéterminée, et pour la calculer il faut souvent
recourir à divers artifices. Ainsi, par exemple, les fonctions
/ . \x L(i-Hc) ,
j^ = (i-f-wC) '> y = — ^ se présentent pour a: = o
sous les formes indéterminées i^, |, et acquièrent cependant, pour la valeur o donnée à la variable, les valeurs finies e = 2, 71828...; Le =p, a étant la base.
du système de logarithmes désignés par L, et 1 représentant les logarithmes pris dans le système dont la base serait e ou les logarithmes népériens et hyperboliques. La considération de ces deux limites étant extrêmement importante, nous donnerons ici la preuve de leur existence et le moyen de les calculer.
La variaUe x en convoitant vers o, ou plutôt - en
convergeant vers Tinfini, peut admettre des valeurs positives entières ou fractionnaires, ou des valeurs négatives. Examinons d'abord le premier cas.
Si ~ = m, m étant un nombre entier, on aura
^ ' \ mj I 2 m
H 5 — ' — 5-Hetc.,
ou, en efi*ectuant la division^
(.W=.+i(-i)+îK-i)(--=)
4 CALCUL DIFFÉREUTIEL.
lorsque x est très petit ou m très grand, tous les termes
du second membre sont positifs, la limite de {i-^-x) est donc un nombre plus grand que 2. De plus le second membre croîtra certainement si , après avoir négligé les
termes né^ tifs, , ,—,... on remplace chacun
des dénominateurs 3,4) S-*- c^- 9 P^i* un dénominateur plus petit 2 \ noua aurons donc
lim.(H.ar)'<2 + i. + |+i. + ^ + ...etc.=:3.
La limite de ( i +wc)^ est donc comprise entre 2 et 3. On la désigne par la lettre e , et Ton aura de e, . qui est une quantité incommensurable , une valeur très approchée en donnant à m une très grande valeur; en supposant, par exemple, m = i 000 000, on trouve , à un cent-csûllième près, e = 2)71828.
Si ~ est un nombre fractionnaire , il sera compris entre
deux nombres entiers consécutifs m et /i = m + i « et Ton aura
L'expression ( i + x)' sera donc évidenmient renfermée entre les deux suivantes :
PAEMIEAB LEÇON. 5
Quand x décroît indéfiniment, ou quand m et n croissent à Finfini , les deux quantités f i H — ) > ( * H — ) convergent Tune et Fautre vers la limite e, tandis que les exposants I +^9 1 H — approchent indéfiniment de la limite i ^
ilenrésulteque les deux expressions [ i-| — j y(>-l — j?
et par suite l'expression intermédiaire ( i -|- x)' convergent encore vers la limite e.
Eiafin si x devient négatif, i+x sera plus petit que
I, l'on pourra poser i -f- ar = , a étant unfi quan-
I — |— et
tité positive qui converge elle-même vers zéro, et Ton troavera
{t+xf=(i+^) • =L(n-rJ
puis en passant à la limite , lim. ( i + ^r)' == c.
Considérons maintenant l'expression — ^ • .
Ona
L[(.+,)^]=Hi±f),
donc
lim. !lll±f) = Um. lL ( I +x)' J = Lif ,
^^y en vertu d'un théorème connu,
X la
6 CALCUL DIFFÉRBJVTIKL.
et par suite '
,. l(i-)-af) I
lun, -i — *—^ = W = 7- = I .
X le
On trouvera aussi que le rapport a pour limite Tu-
ni té, lorsqu'on fait converger x vers la limite o. En effet, sin X est plus petit que Tare x ^ Tare à son tour est plus petit que tango? puisque le triangle formé par la tangente, la sécante et le rayon R, et qui a pour mesure 7R tang or, est plus grand que le secteur correspondant
On a donc
sin^ ^ X sinx . sinx
<'- = i, > = cosx.
XX X tangx
Or cos X à la limite est égal à i , donc le rapport
toujours compris entre deux quantités qui, à la limite, sont toutes deux égales à Tunité, aura lui-même Tunité
pour limite, et nous aurons lim. = i .
