Le rapport -^ =*-i i— ' se présente quand
on fait x^=' o sous la forme indéterminée - et acquiert
néanmoins en réalité une valeur finie , qui est en général une fonction nouvelle de x , et exprime la tangente trigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la tangente à la courbe y=F{x)^ au point x^y. Cette fonction nouvelle, limite du rapport de Faccroissement de la fonction à Taccroissement de la variable indépendante, prend le nom de dérii^e et se désigne par Tune desnota-
j xy f \ 1- AT 1- F(x+Ax) — F(«) Uons r ou F (x) = lim. -^ = um. — ^ — ■ ^ i— '.
8. Puisque le rapport— a pour limite F'(ar), il faut qu il difi^re de F '(or) d'une quantité e qui s'évanouisse
PKBmlAE LEÇOH. 7
avec dx, on aura donc
et par suite
Le premier terme de Faccroissement ^jr ou le produit de la àényéey par Faccroissement Ar de la variable indépendante, s'appelle la différentielle de la fonction j^* et se désigne fiar la notation djr^ àe sorte que Fon a identiquement
djr =^Aar =: F'(x)àXj ou même df = ydx = F'(x)dlr,
parce qu'il suit des définitions données, que la différentielle dx de la variable indépendante est égale à sou accroisseniént.
La différentielle sera d'ailleurs , en général , une quantité finie ou infiniment petite, suivant que Faccroissement Ar = dx sera lui-même fini ou infiniment petit. Quand Ax est infiniment petit, e doit Fétre aussi, puisque
le rapport — doit alors différer infiniment peu de sa limite j/; on peut donc, dans Féquation — =y' + e^ négliger € par rapport à la quantité finie ^, ce qui donne Ay =j^Ajr= djTj d*ôù Fon conclut que la différentielle, lorsqu'elle est infiniment petite, est sensiblement égale à raocroissement de la fonction et réciproquement.
9. La recherche des dérivées et des différentielles des fonctions simples^ et composées , l'application des propriétés de ces différentielles et de ces dérivées à diverses questions d'analyse et de géométrie, forment Fobjet du calcul difiërentiel.
8 CALCUL DIFFéRBNTIÈL.
Galeul de* dériTéet et des différeDtielles des fooetlons simples.
iO. La dérirée et la différentielle d^une quantité constante sont nécessairement nulles.
On trouvera
Ar Aj; i". Pour Yziza+a. , . -^ = — = I , . . .
•^ AX AX
donc lim. — = ^ =r i , dy '=:y'dx = dx\
AX • ,* Ar AX
a®. Pour r=a— x.,.-^=— — =— i . . .
•^ AX AX
r'= — I, dxz=:ydx:='^dx\
Ly aAx 3®. Pour r=flx... — = = a...
*^ AX AX
y=fl, dy '=^ y dx -=: adx\
, ^ a Ar X-4-AX x
4**. Pour r =-• • . -— = — ^ =—
AX AX (x+Ax)x'
. ^ ^ Ar (x+Ax>— X* 5». Pour r =«•. . . — = — -^- —
AX AX
posons
a et 6 seront deux quantités qui décroîtront indéfiniment avec Ar , et nous aurons
Féquation (i+a)* — i =r 6 donne
(i +•)•=: i+Ç, l(H-C) = £il(i+a);
or les deux expressions -^ ^ et -i— ^ — - convergeant
toutes deux vers la limite i , nous pouvons poser
7 et ^ étant encore des quantités qui convergent vers la limite o; ces deux équations jointes à celle qui précède, donneront
-•=a — i — , lim. -=:a, - i+y •
et par suite
Ar lim -^ = jr' = aaf^y dy -ssiy'd^ = oj^^^dx;
de sorte que dans tous les cas , pour avoir la dérivée d'une puissance de x , il faut la multiplier par son exposant et diminuer ensuite cet exposant d'une unité ;
fr.Poar j.=a., ^ = ?lî:^=£ = f!(a*--.),
posons à^ — I = a , d'où £ix = L ( 1 + «), nous
lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
aurons
= fl*
Ax L(i+«) L(ï+«)'
et
Ar a*
lim. -=^ = Z' = — ^ ^ fl* la , djrzi:iy(ix-=za*\adz;
sia = ejjr=e'j on aura j/ = e*, rfj^ = e'di: ^ la dérivée de e* est cette même exponentielle ^
7«. Pour r=Lxj -£. = — 1 L £ = î^ i,
' Aj: Ax Ax
posons
— = «, d'où Ax=:0t4r.
il vient
^x X m Ax X x\a
Ijffdx dx
ci £! = «, / = lr, on aura y=-, rf/ = — ;
«^ «. . ûr sîn^x+^x) — sinx
en posant
x+^^ = tf + ^9 x=:a — ^) d^où
. ^x - Ax
fl=X+— , * = — ,
lin (x + Ax)— ain X = sin( fl + ^ )— sin (a — 6 ) = 2 sin A cos ar
. ùx / ^ Ax\ = 2ain — co8(^x + — J,
OXnXliOR LBÇOlf. II
il vient
— ' — Ar a
àx ux
dy =:ooft«4s= fin ( x + - ji£ar;
^•.Pwirr = oo5x, — = —
et par une transformation semblable à celle qui précède,
. ÂX
sin — ^ .
-=^= sm(x H ),
AX Ax \ a /'
lim. — = y= — 8inx=: cosf x H — \ df =:-'Sinxdlr=:00ftfx + - j dx'j
10^ Pour jr=:arc8inx,
«=8nijr, co5jr=:V^i — X», Ax=: 8in(/ + A/) — sin jr,
sm-^ cos^r + YJ
AX -^ COSjr V^i xt ^' i/^l — X»
, H®. Pour jr = arccosx, x = cosj, sinj=l/i— x»,
Ar / Ar \ Ax = cos(jr-h Aj) — co8jr= — 2sin~sin( ^+— J,
la CALCUL DIFFÉKEITTIEL.
