A DIE. DU

déterminer les formes de ces fonctions de telle sorte

que l'intégrale f yds soit un minimum; et il se ramène, par conséquent, à chercher le minimum absolu de lin-

dx? d PE:

fee: -)]e

À étant une fonction de s inconnue mais invariable de

tégrale

forme, dont on disposera pour satisfaire à la condition

4! PCA . ° 4 e # L4 Li La - __… arbitraire, on pourrait, sans diminuer la généralité des formules, faire

Résolu sous cette forme, le problème nous ramènerait à la chaînette, comme dans le cas où x était la variable indépendante.

118. Ces considérations sont tellement importantes, leur application se présente si fréquemment, qu’on nous saura gré d'exposer plus en détail la marche à suivre lorsqu’on veut déterminer une courbe plane jouissant de quelque propriété de maximum ou de minimum, en prenant l’arc s pour variable indépendante. Soient x, y les coordonnées rectangulaires d’un point de la courbe, x',x”,...7', y... les dérivées successives de x'et der prises par rapport à s, et supposons qu il s'agisse de déterminer æ ety en fonctions de s, de manière à rendre maximum ou minimum l'intégrale

Sa , | F{s, Ly 3 Cr ARE D) ds (Es CAN

Les fonctions inconnues x, y étant liées entre elles par la S 42 12 a an! RENE ON? di A1 relation x°+y—1=0, il faudra à F(s,x,x',x",y,ÿ',y") ajouter le terme À (x? + y'?— +1), À étant une fonction indéterminée de s, de sorte que le problème reviendra à. chercher le maximum ou le minimum absolu de l’inté-

Sa de ee Î Vds, Si

VTC EPA ES 7") ne (x + y).

grale

dans laquelle

(*) Comme le point à partir duquel l’arc est compté est com létement L P P q SHCOMND P

5, —=0, 5, = ss, sétant la longueur entière de la courbe ; mais nous conserverons aux limites s,, s, leur notation ordinaire, pour que les formules perdent moins de leur symétrie,

LS L + F & n£ - je jt EL COURBES PLANES. 239

Désignons respectivement par P, P,, P,, Q, Q,, Q,. les es partielles de V prises par rapport à x, x’, x’, Y,.Y', Y”3 la variation de l'intégrale sera

;: dP, d?P, DD — De rm : le !{ ds Bi ds? 9

dQ, d’Q; . +(e— Ti rar }er dx 6 ap, “ | +| vas (rt) set (a) } N s, Gr de | dox ddr | Se RC dt

pourvu qu'on comprenne sous le symbole ds, tantôt la variation de s5,, tantôt celle de s,, suivant la substitution qui l’affecte (n 025). Égalée à à zéro, cette variation. donne d’abord les deux équations indéfinies

D ä P, FAT = C0 | ds ds? ?

I Ü (1} | 2 UE Ç Far DÉC OT ol

lesquelles jointes à la condition D'AENT S

serviront à déterminer les fonctions x, y, À.

Lorsque la fonction F ne renferme pas l’are s, les équations (1) admettent toujours une intégrale première facile à obtenir. En effet, dans la dérivée totale de V dV - im dV.,

Pr + Pia ct Pat E Qy' HE QE + — |’, as d

le dernier terme disparaît, puisque À n'entre dans V que

sous forme linéaire et qu’on a

EN pr SCC d

Substituant à P,Q leurs valeurs tirées des équations (1}, on aura donc

dV ! (4 [] [/4 Sn — (P;x” + Pix ) + (P: x” — P',x') + (QI + r)+(@r"— Q5 7)

expression qui se compose de quatre dérivées exactes et qui donne par l'intégration

L° + Q:7”— AR ds

dP (2) V=k+P;x +Q,ÿy +P;:x"— 7

k étant une constante arbitraire.

119. Pour tirer plus facilement parti des termes aux limites de dS, nous y remplacerons d’abord les valeurs : dx dy :

ei "bIDEE les variations des valeurs limites de x, y, x’, y’. Désignons par E, £',n, n! les valeurs de x, x’, y, y' correspondantes à

l’une ou à l’autre des extrémités de la courbe, en sorte

limites des variations dx, dy,

que l’on ait Eee Ji, ARR Pre a], ER BE

le signe de substitution devant porter tantôt l'indice 51, tantôt l'indice 5,, nous aurons, en prenant la variation des deux membres (n° 30),

= | (+230) cv =] (SE arss),

= | (dy + y'ds), = | (SE +"):

Il en résulte qu’on peut, sous le signe de substitution, dans les termes aux limites de 0S, remplacer dx, dy, dd x

par les valeurs suivantes :

ds dd x | dx IE xs, ———=0dE— x2"0s, ds dd y R 0Y—=Èn— Yy'0s, ET e ds % | ces termes deviennent alors | >

dP, d (e —)s + (QE) an + P,9E + Q: sn |

ki ModP\,0, 4 40 Aa +] iv—( rs 27) Lil Ps —Q:7 Fe

Or, en vertu de l'équation (2), le coefficient de ds n’est autre chose que la constante #; on a de plus

> | Ads — k (Ds — ds) — AD (s:— 5), S3— 5 étant précisément la longueur entière de la courbe. Donc les termes aux limites de dS prennent la forme définitive

iot—4+f È (Re

Nous pouvons dès à présent et avant tout faire une

ee +(o— D Jrr+-P28 Qu |

remarque importante. Lorsque la longueur ss; de la courbe est déterminée, le terme ROUE 5) disparaît avec la variation d (s,—5s,) qui est nulle; mais chaque fois que la courbe est variable de longueur, ce terme égalé à zéro fournit la condition d'AÉsene IV. 10

qui réduit l'équation (2) à

dB, dQ; V ax ni A Pubs TES $ HAVE , MP un à Le ds | (a ds ) 1! Ps @J ;.

120. Voyons quelles sont, pour quelques restrictions particulières, les équations aux limites que la courbe doit vérifier. te

° La courbe doit étre menée entre deux points

fixes. — Les valeurs limites £, n de x, y étant don-

nées, on a 0£ — 0, dn—0o. Il est vrai que la relation générale x/° + y'? = 1 entraîne pour les valeurs limites de x’, y' une relation pareille, ou £!?+ »/?°— 1, d’où il semble résulter que les variations d£', d»' sont liées entre elles par la condition

0 Er n 00007

mais comme on a déjà tenu compte de cette dépendance générale entre x et y’ au moyen du facteur indéterminé À, on n’a plus à s’en occuper, et il est permis de regarder dès à présent dE”, 0n’ comme arbitraires et indépendants l’un de l’autre. Les termes en 9£", dn’ de la va-

riauon de l'intégrale fourniront par conséquent pour :

chacune des limites les déux conditions

(3) P:= 0; n0ite0,

2° La direction de la iangente à la courbe en chacun des deux paris extrémes est donnée, ces points restant eux- mémes indéterminés. — On à DE 0 dn'== 0, tandis que DE et Jn sont arbitraires, Les équaions à DATÉE pour: Chacune des limites seront par conséquent ,

«5 vds er À

3° La ligne cherchée doit aboutir à deux courbes fixes. — Soit f(x, y) — 0, l'équation de l’une de ces courbes limites, les coordonnées £, n de l’extrémité correspondante de la ligne cherchée seront assujetties à la restric-

tion (Es n) Gi Cha

qui établit entre leurs variations une dépendance mutuelle exprimée par

d£ df — dE + — Ô0n —= 0.

Les termes aux limites en 0£ et 0n donnent d’ailleurs pour l’extrémité que l’on considère

dpP, dQ; (re. ds je+(e— ds Jar = 0,

A . . N ou, en éliminant d0£ ou 0»,

dP; dQ;:

Py— ART:

5 ds à ds () | FU ANETREPT) Si dE dis

Dans le cas particulier où la courbe limite serait une