DIXIÈME LECON

Suite de la recherche des courbes planes. — La courbe rapportée à des coordonnées polaires. — Cas où l’on prend l’arc pour variable indépendante. — Solide de révolution qui exerce la plus grande attraction sur un point donné et dans une direction déterminée. — Courbe qui renferme avec sa développée et ses deux rayons de courbure extrèmes Vaire minima.— Courbe qui a le plus grand ou le plus petit moment d'inertie par rapport à un point donné. — Équilibre d’un fil flexible et inextensible. ;

115. Dans les problèmes résolus jusqu'ici, nous avons rapporté l'équation de la courbe cherchée à un système de coordonnées rectangulaires x, 7, en regardant y comme une fonction inconnue de x. Rien cependant n’empêche de choisir autrement les coordonnées, et il'est quelquefois plus commode de remplacer x, y par des coordonnées polaires r, 0; r désignant le rayon vecteur d’un point de la courbe ou sa distance à l’origine, et 0 l'angle que ce rayon fait avec un axe fixe. Il s’agit alors de déterminer r en fonction de 0, de manière à rendre maximum ou minimum une certaine intégrale f V d9, dans laquelle V peut contenir 6, r, LAS FRA » et pour résoudre le prod9” d9° blème sous cette nouvelle forme, il suffira de remplacer, dans les formules déjà données (n° 56), x, y, y',7”,...

l, rl, ..., étant les dérivées de r re-

Dino Ant or latives à 6.

Prenons pour exemple la question suivante, qui est un cas particulier du problème Il.

Quelle est la courbe qui sous un périmètre donné cir-

conscrit une aire Maxima ?

On peut rapporter la courbe cherchée à un système de coordonnées polaires r, 0. La longueur de la courbe et l'aire circonscrite sont alors exprimées par

are = frd6,

Ca et la question revient à chercher le maximum de l’intégrale ie :

| ose arm) ds

Si l’on appelle, comme auparavant, V Ïa fonction sous le signe intégral, *EtP; Pe ses dérivées partielles relatives à r, r!, en sorte que

V=r—oar+r,

et, puisque V ne renferme pas la variable indépendante 6, elle s'intégrera immédiatement une fois en donnant

2ar° V—P;r = 0, ou D © = CC,

Vre — 7/2?

L'origine des coordonnées étantarbitraire, on peutlJa placer en un pointmême de la courbe. On aura.alôrs pour

ce point } Etam O0, “Gb par suite C—0O, ce qui réduit à 2 A Vrè + 7/2

ea |

l'équation de la courbe en question. On en tire

dr d ai GE LM EEE Ag SÉRIE

d0 aa — 7

Mie Pr

et, en intégrant, r = 24 sin (0 + ).

Pour simplifier davantage, on peut prendre pour axe des coordonnées la tangente à la courbe. On aura alors, pour 0 = 0,

— 04 ou) tang À —= 0 04

sà

ce qui donne

k—0 ‘el. #92 sin 0,

or d’un cercle de rayon a: C’est donc au cercle qu’appartient la propriété der contenir la plus grande surface sous un périmètre donné, En vertu du choix d’origine et d’axe que nous avons fait, les valeurs extrèmes de 8 sont o ei my celles de r sont 0; ces valeurs étant

… données, il n'y a plus d’autres conditions aux limites à

rem plir.

416. Au let de x ou. de 6 on peut prendre pour variable indépendante une autre variable quelconque, par exemple l'arc s de Ja courbe, qui dans beaucoup de

cas se présente tout naturellement pour jouer ce rôle ;

mais dans chaque choix particulier 1l faudra user de certaines précautions pour que le changement de la variable indépendante n’altère pas les conditions essenüelles du problème.

Considérons, par exemple, le problème déjà résolu (Probl. AT) où l'on cherche la courbe qui, par sa révolution autour d'un axe donné, engendre la plus petite surface. Si l’on prend lare s pores variable indépendante, la surface de révolution s'exprime simplement par 27 f yds; et il semble au premier abord que la question se ramène à déterminer y en fonction de s, de manière que

l'intégrale f'yds devienne minimum; cependant, quelles

236 CANCUL DES VARIATIONS.

que soient les restrictions auxquelles on assujettisse les limites de l'intégrale, ainsi formulé analytiquement le problème est impossible à résoudre, parce qu’il conduirait, pour première équation de condition, à l’équation absurde 1 —0; tandis qu'en prenant x pour yariable indépendante, nous avons obtenu une solution réelle, à savoir une chaînette ayant pour directrice l’axe des x.

Cette discordance apparente s’évanouit devant une

analyse plus approfondie. Il est vrai que dans l'équation |

d’une courbe quelconque on peut toujours regarder l’ordonnée y comme une fonction de l'arc s, mais le contraire n'a pas lieu, c’est-à-dire qu'une relation analytique donnée entre yet s ne peut pas toujours représenter une courbe. En effet, l'accroissement positif ou négatif Ay de l’ordonnée ne pouvant jamais être plus grand que l’accrois-

mes , d Le J w".

sement Às de l'arc, la dérivée dans l’équation d’une $

courbe quelconque, ne peut avoir une valeur positive ou négative plus grande que l’unité, ou ne peut varier qu’entre les limites + 1 et — 1. Il en résulte que l’équation

y=a<+bs, dans laquelle Br,

et une infinité d’autres relations entre y et s, sontigéométriquement impossibles. Cette remarque très-simple réduit notablement le nombre des formes que pourra prendre l’ordonnée exprimée en fonction de s. Si l’on n’en tient pas compte, si l’on admet indistinctement toutes les relations analytiques entre y et s, sans écarter"celles qui n'ont pas de signification géométrique, il pourra donc arriver qu'une intégrale n’ait plus de maximum ou de minimum, quoique la grandeur géométrique qu’elle représente doive en avoir; et c’est en effet ce qui rend chimérique la recherche du minimum de l'intégrale, f yds.

117. La conséquence de ce qui précède est que dans tous les cas où l’on cherche une relation entre l'arc s et l’une des coordonnées x, y, que l’on prenne l’arc s pour variable indépendante ou pour fonction à déterminer , il faudra, pour rétablir l’équivalence entre la question analytique et le problème géométrique dont elle est la tra-

duction, introduire la restriction nouvelle que la dérivée

dx dy + ou doit être comprise entre + 1 et — 1. On l'inds ds troduira très-simplement en regardant x, y comme des

fonctions de s assujetties à vérifier l'équation

dx? dy?

en dt lo E ds? ds? £

et il ne restera plus qua chercher les formes de ces fonctions qui conviennent à la question proposée. Dans ces conditions, le problème de la surface de révolution minima se présente sous ce uouvel énoncé analytique :

x et y étant deux fonctions de $s assujetties à vérifier l'équation | dx? dy?