EE — NE =, À
dx dy dz s et les trois équations précédentes, multipliées respectivement par /, m, n donneront
(2) . Vi +p+qg'(mx'—ly')=c{(lx" + my" + nz').
Or, la droite L, la tangente T à la courbe et la normale N à la surface étant perpendiculaires entre elles, et faisant avec les axes des x, y, z des angles dont les cosinus sont
respectivement LE at TTL ENTER x ? Ÿ 64 Z ; P q — I
LEP ALTO VUE | TT EE Pros GES 1 A" DETES y mere 9
Vi+p'+ g Vi+p? + g! Vip? + q° si l’on prend L dans une direction telle que la succession des droites L, T, N soit directe, on aura
(mx! — ly') Vi + pi+qg =.
En se rappelant d’ailleurs -que px”, p y/, p z” représentent les cosinus des angles que le rayon p du cercle oscu-
. COURBES DANS L ESPACE. 9) lateur de la courbe fait avec les axes des coordonnées, ce rayon étant complé de la courbe vers le centre, et en désignant par 0 l’angle aigu compris entre le rayon p et la
normale à la surface, on verra le second membre de l’équa - . . A C ° de CE] ° tion (2) se reduire à + -sin 0, le signe supérieur ou inà J
férieursayant lieu suivant que p fait un angle aigu ou obtus avec la droite L. L’équation dont il s’agit pourra donc s’écrire
c sin 0 sin à , OU
p P Concevons une surface développable > tangente à la
= const.
surface donnée suivant la courbe en question s; si la surface > vient à être redressée ou développée sur un plan, la courbe s se transformera en une courbe plane dont la cour-
eue sin 0 À É , bure est précisément — (n° À 39). Cette expression étant Ê
constante, la transformée de la courbe, qui sous un périmètre donné circonserit l'aire maxima, sera un arc de cercle.
148. Cherchons maintenant les conditions auxquelles doivent satisfaire les extrémités de la courbe. La courbe que l'on cherche devant aboutir à la courbe donnée, la fonction v s’évanouit aux deux limites. Donc si l’on appelle indistinctement £, n, € les coordonnées de l’un ou de l’autre des points extrêmes, les termes aux limites de la variation de l'intégrale seront
3, | (Pia — Qiy' —R 7) 5 + PE + Qi +R X|.
Le terme en ds, ramené à la variation 0 (s,— s,) qui est nulle, la différence 5, —s;,
CA(Ss—s,) disparait avec
ou la longueur de l'arc, étant constante; et, en substituant les valeurs de P,, Q,,R;, on verra les autres termes se
réduire à
c. | (al dE + y'On + 20%).
Cette expression est identiquement nulle lorsque les points extrèmes de la courbe sont fixes ; mais en admettant que ces points puissent se déplacer le long de la courbe donnée, on aura pour chacune des limites la condition
x' dE + y'n+z Ü—=o,
exprimant, comme il est facile de le reconnaitre, que les derniers éléments de la ligne cherchée doivent être normaux à cetie courbe.
Le
Parmi toutes les lignes de longueur donnée tracées sur
la surface d’une sphère, celle qui renferme avec une courbe donnée la plus grande aire possible, est donc un arc de cercle, normal à cette courbe à ses deux extrémités. Si la seconde courbe est elle-même un grand cercle, la ligne demandée sera une demi-circonférence.
ProBLeME XV.
149. Une courbe étant donnée sur une surface quelconque, trouver sur la méme surface une autre courbe de longueur donnée, et telle que la portion de la surface circonscrite par les deux courbes recouvre le plus grand volume possible.
Soit u —0 l’équation de la surface donnée, et considérons la portion de cette surface circonscrite par les deux courbes en question. Le volume du cylindre compris entre cette portion de surface et sa projection orthogonale sur le plan xy s'exprime par l'intégrale double SJ zdy dx, dans laquelle, en vertu de l'équation u=o, z est une fonction connue de x, y. Admettons qu'on intègre d'abord par rapport à y, en regardant x comme
COURBES DANS L'ESPÂCE, à : 297 constante, el posons v=— fzdy,
l'intégrale étant prise entre les valeurs de y correspondantes aux deux courbes, # sera une certaine fonction des coordonnées x, y de la courbe cherchée, et l’expression du volume deviendra fvdx, ou fvx'ds, en prenant l'arc s pour variable indépendante. Cela posé, le problème reviendra à chercher le maximum de l'intégrale
Sa if | vx" Lou (ay) + pu ds, on ” la différence s,— s, des limites étant constante, et À, m représentant deux fonctions indéterminées de s.
On trouve d’abord, comme dans le problème précédent, les équations indéfinies
[ do Fr du ar " ant F0 ne STE er NAME dv d (1) De TET Nr no, d p— Du 5 UE D NAS 0
Muluüpliant par x’, y',2" et observant que
dv dv ; de ; He EN — ù HSE PL
on en tire
on a d’ailleurs
les équations (1) deviennent par conséquent
| du
— 2! SR dr CR TO; (2) dv orihgr à CU tp dy ni NES
Multipliées respectivement par les cosinus /, m, n de la droite L qui serait à la fois tangente à la surface et normale à la courbe, elles donnent
z2(max— lj')—=c(lax" + my" + ns’).
En appelant p, g les dérivées partielles de z, tirées de l'équation de la surface u — 0, et 8 l'angle aigu compris entre le rayon de courbure p de la courbe cherchée et la normale à la surface, il est facile de voir, comme dans le
Problème XIV, que
mx" — ly' — AE à à lx" + my" —+- hr a sin 6 VE p° +4" p
La ligne cherchée sera done caractérisée par l’équation
Z PNR Viper P OU Pis DA PO. Po REPAS Se
sin 0 Vi + p'+ q° Lorsque les points extrêmes de cette ligne ne sont pas fixes, mais seulement assujettis à rester sur la courbe donnée, l’équation TODE + 7'dn Rx — 0,
fournie par les termes aux limites de la variation de l’in-
tégrale, nous apprend que les deux courbes doivent se couper sous un angle droit.
ProgrèmEe XVI.
150. Étant donnés deux plans parallèles et un point À dans l’un d’eux, on se propose de mener de ce point à l'autre plan une ligne de longueur donnée, telle que l'aire de la surface cylindrique ayant cette ligne pour directrice, et pour génératrices des perpendiculaires terminées aux deux plans, soit maximum.
Prenons le plan renfermant le point donné pour plan des xy, et pour axe des z la perpendiculaire élevée au point À : soit À la distance des deux plans ou l’ordonnée de l'extrémité B de la ligne cherchée AB. Puisque la hauteur À de la surface cylindrique est constante, l’aire de
cetie surface aura pour expression h/f dx? + dy? ; si l’on prend l’arc s pour variable indépendante, il s’agira donc de trouver le maximum absolu de l'intégrale
; Sa R jh | Var PER RE 28 — 1) ds, S,
À étant une fonction indéterminée de s.
Ce problème présente une particularité à laquelle il faut bien faire attention pour ne pas introduire des équations inutiles et étrangères à la question. En effet, x’ et y” n’entrent dans le problème que par la combinaison æ'°+y’?, en sorte qu'elles ne constituent effectivement qu’une seule fonction à déterminer; rien dans les données du problème ne les distinguant l’une de l’autre, elles ne doivent donc pas être non plus séparées dans le calcul. La conséquence est qu’il est inutile et même illicite de faire varier séparément x' et y": inutile parce que les conditions du problème ne le de-
mandent pas, illicite parce qu’en établissant une variabi- | lité hors de propos, on pourrait faire perdre à la vraie solution du problème son caractère de maximum.
En appelant © la projection de l'arc s sur le plan xy, on aura
de VE, où eV
et l'intégrale qu’il faut rendre maximum deviendra
sf s'+A(o?+z— :) | ds.
Au lieu de x, y, z elle ne renferme plus que deux fonctions, 6, z à déterminer, ainsi que cela doit être.
La condition de maximum fournit les équations générales G) 1+2)0 — a,
J 2% 56, a et b étant deux constantes arbitraires, et, pour la seconde limite de la courbe restée indéterminée, l'équation particulière
Sa (2) ] (1 +210) — 0.
Celle-ci donne a — o, et par suite 26 —— 1,
d’où l’on tire Me b—0o, dz+ bdo—=o,
et en intégrant z2+ bo +c—=o.
Si l’on compte Parc o à partir du point À, o devra s’éva-
nouir en même temps que Z, la constante c sera nulle, et l’on aura simplement
2 Li —0:
Telle est l’équation de la ligne cherchée. Elle exprime que si l’on développe la surface cylindrique sur laquelle la courbe est tracée, celle-ci se transformera en une droite ; la ligne cherchée est donc une hélice. Quant à sa projection sur le plan xy ou à la forme de la surface cylindrique, elle reste indéterminée, ainsi que cela doit être.
Si l'extrémité B était fixée, aussi bien que le point initial À, rien ne serait changé au calcul précédent; la ligne serait donc encore dans ce cas une hélice.
M. Vieille a fait remarquer (Cours d'Analyse et de Mécanique rationnelle, Paris, 1851) que dans le second cas, ou lorsque les points À, B sont fixes, le calcul des variations ue donne plus cette solution, quand on fait varier séparément les coordonnées x et y; etil en attribue la cause à un défaut de la règle d'Euler pour les maxima relatifs. Il nous semble cependant qu'il n’y a point là : d’anomalie, et que si le maximum n'est plus indiqué par le calcul, c’est parce qu'il cesse véritablement d’avoir lieu, du moins dans le sens analytique, aucune relation déterminée entre x et y n'ayant, plutôt qu'une autre, le vrai caractère de maximum.
Pro8zeme XVII.
191. Trouver la courbe de plus vite descente sur une surface donnée.
Considérons un point matériel assujetti à rester sur une surface donnée et sollicitée par des forces quelconques. Soit R la résultante de ces forces, X, Y, Z les composantes de R suivant les axes des coordonnées et v la vi-
tesse, on aura
‘6 ds LRPTE do dx dy dz RON OV RAR dé ds ait É0de!
et par suite v do = X dx + Y dy + Z di.
Les forces X, YŸ, Z seront en général des fonctions des coordonnées x, y, z du mobile ; admettons que par la nature de ces forces X dx + Y dy + Zdz soit une différentielle exacte, l'équation précédente pourra s'intégrer immédiatement, et conduira à un résultat de la forme
—2 f[(Xdx +Ydy + Zdz)=F (x, 75 z) Eee For z)+ c?,
Li, Vis Z1 étant les coordonnées du point de départ, pour lequel nous supposons la vitesse donnée et égale à c. Dans l'hypothèse que nous venons d'admettre sur la nature des forces qui agissent sur le point mobile, la vitesse # sera donc fonction des seules coordonnées x, y, z du point occupé actuellement par le mobile, et ne dépendra nullement du chemin qu il a pu suivre pour y arriver. |
star ANS - ds Le temps, exprimé par lintégrale f + pendant lequel
le mobile descend d’un point À à un autre point B, sera, au contraire, différent selon les différents chemins qu’on l’oblige de prendre, et il sera minimum pour un certain chemin ou trajectoire qu'il s’agit de déterminer. Cela posé, si l’on prend l'arc s pour variable indépendante, et qu'on représente par u — 0 l'équation de la surface donnée, les conditions du problème seront
ds £ ” ; ; #:
f— = min., LP VRP RUES RE 0 [4
et la question reviendra à chércher le minimum absolu de
l'intégrale
L 3 3 Si
À, w étant des fonctions indéterminées de s.
On a
2 Ha + y + ai) + pu ds, (
Me A (CORTE EE 2 n) eu 4 ie V »
1 dv du F —— — PAR Gr PET 1 de du ùT-, Q où dy FE y Q: J »
l d nt nonr
et les équations indéfinies deviennent
lo d + p—— 2\aæ — ox 201:
1 dp du , } (1) M SN — 27" =o, 1 dy du ne T vie ae Ne AO
Multipliées respectivement par x, y’, z'et ajoutées, elles donnent
S+mæ,
dont l'intégrale est
En examinant les termes aux limites, on verrait que la constante À est nécessairement nulle, en sorte qu’on a simplement
304 CALGUL DES VARIAPIONS.
Concevons que par le point x, y, z on mène dans le plan tangent à la surface une droïte L normale à la courbe cherchée et faisant un angle aigu o avec le rayon de courbure p de cette courbe; désignons par /, m, n les cosinus des angles que cette droite L fait avec les axes des x, Y, Z3 nous trouverons, en multipliant respectivement par /, m, n les équations (1), et ajoutant, s
1 {de dv do 2. À Melon — — COSy = 0.
Mettons pour 2 la valeur que nous venons de trouver, et rappelons-nous que
dv dv do ) — — X er ae } — — tn TE NE il viendra (2) (IX +mY HrZ)+ = cosg = 0.
Enfin, si l’on appelle d l'angle compris entre la résultante R et la droite L, cette équation s’écrira plus simplement
De —— cosy — R cosy.
Or, on sait que la force centrifuge est égale à e que sa direction est opposée à celle du rayon de courbure p. Ainsi le premier membre représente la force centrifuge estimée suivant la droite L, tandis que le second membre exprime la force R estimée suivant la même direction. Ces deux composantes étant égales, on en conélura que la pression exercée dans la direction latérale L par le mobile sur sa trajectoire, lorsque cette trajectoire est une brachistothrone, est le double de celle qui aurait lieu en
COURBES DANS L ESPACE. 305 vertu de la seule force R, si la vitesse # était nulle, c’està-dire si le point matériel était en repos; en d’autres termes : la force centrifuge vient s'ajouter aux forces réelles de manière à produire une pression latérale double. C'est la propriété la plus générale de la ligne de plus vite descente sur une surface quelcenque.
152. Dans le cas particulier où le mobile est soumis à la seule action de la pesanteur, on a, en faisant coïncider l’axe des z avec la direction de la pesanteur, et en désignant par g l’accélération dans la chute libre,
