DOUZIÈME LEÇON
Suite de la recherche de courbes dans l’espace. — Courbe de longueurdonnée renfermant l’aire maxima sur une surface. — Courbe de longueur donnée circonscrivant une portion de surface telle que le volime qu’elle recouvre est un maximum.— Courbe de longueur donnée, directrice d’un cylindre à aire maxima.— La brachistochrone sur une surface. — La brachistochrone dans un milieu résistant. — Position d’équilibre d’un fil sur une surface.
Prosrème XIV.
147. Une courbe quelconque étant tracée sur une surface donnée, irouver sur la méme surface une autre L e \'à .
courbe de longueur déterminée qui renferme avec la première la plus grande aire possible.
Soit u — 0 l'équation de la surface donnée, et p, q les dérivées partielles de zqu'on en déduit; l’aire qu’il faut rendre maximum aura pour expression
JJVi+ pr + 9 dyar.
Puisque z, p, q sont des fonctions connues de x, y, on pourra intégrer une fois par rapport à y entre des limites convenables, c'est-à-dire depuis la valeur de y qui correspond à la courbe donnée jusqu’à la valeur de y relative à la courbe que l’on cherche, et l’on aura aïnsi un certain résultat
o= fi +p+ ar, &
y étant une fonction connue des coordonnées x, y de la seconde courbe. | Cela posé, l'expression de l’aire devient fvdæx. Si l'on
prend l'arc s pour variable indépendante, les coordonnées x, y, z de la courbe seront des fonctions inconnues de s, liées entre elles par les équations
f Æ'Hy?Hz=r, u—=0o;
et le problème reviendra à chercher le maximum de l’intégrale
Sa do ox HA (a+ y +221) pu) ds, Si
prise entre des limites dont la différence, s,—5,, est constante, À, x étant des fonctions indéterminées de 5. En conservant les notations de la leçon précédente, on a
V= ox + (x + y + ir) + uu—vx,
du do AU ATEN P,=2)z +», du dv , ve.
de Qi—217, d R= be He 9z
et les équations indéfinies deviennent
dy id du À, dv do nt UM Lie — — TN se .
dx : Fax ds dx dj 7 ?
dv du dy ae NY op" —O,
pi —aNs —213 0, z
Multipliées par x’,y’, z' et ajoutées, elles donnent d’abord
on a d’ailleurs
les équations de la courbe se ramènent par conséquent à
—————— - d — VRP Ep er + pe c2" — 0 P Je pe ;
2) je D A du (1) VIP a Hu De 0;
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Soient /, m, n les cosinus des angles de la droite L, qui serait à la fois tangente à la surface et normale à la courbe, au point X, y, Z; On aura évidemment AGE re du FA du
