QUATORZIÈME LECON
Applications à des intégrales triples. — Surface à aire donnée renfermant le
plus grand volume.—Minimum del’intégrale f f fV1+p°+q°+r°dzdydx, P, 9, r, étant les dérivées partielles d’une fonction indéterminée w.
177. Dans les deux problèmes suivants, dont le premier est au fond identique avec celui que nous venons de résoudre, nous ferons avec M. Sarrus l’application du calcul des variations à la recherche des maxima et minima des intégrales triples.
Pro8LèME XX VII.
Quelle peut étre la surface qui, sous une étendue superficielle donnée, renferme le plus grand volume ? Le volume a pour expression
La Ya 83 U = | a 1h dz dy dx.
€, Ya Z,
Il est limité par six faces que nous désignons de la manière suivante :
1° Deux faces planes À, et À,, correspondantes aux deux limites x, et x, de la variable x;
2° Deux faces cylindriques B, et B, correspondantes aux deux limites y, et y: de la variable y;
3° Deux faces courbes C, et C:, correspondantes aux deux limites z, et z, de la variable z.
Ces diverses faces ont pour expression
x, 2 f = | 1 Vi+p'+ q'.dy dx, Le A 2 [Yi Ze = [à] J Vi+y"®.d dx, x, Z, x, JA 23 a = | |. 7 dz dy, Fa CE axe Ya [73 SE FE i | Vi+p'+ q.dy dx, , C2 Yi XL: [Ta Za sit | | INT e/ X Z
L3 »'e Ze A; =| J | dzdy , Fine,
à la condition que p, g,y' indiqueront les dérivées de z, et de y1, ou celles de z, et de y, suivant le signe de substitution dont ils seront affectés, c'est-à-dire suivant qu'il s'agira des faces C,, B,, ou des faces C,, B:.
Comme l’étendue totale de la surface doit rester invariable, tandis qu'on cherche le maximum du volume, le problème revient à trouver le maximum absolu de l’expression définie
Or, on trouve, d'après les règles données précédemment,
ER Y 2 Ze “4 J@ Ze = f | (dz + pox)dy +] J f (dr + 7'0x)dz, CAT La Z;
Lo LEE Lo [de #2 Are | | | (93 + pox) dy +] f (dy + y'dx)dz, Tri 3; 6
