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Si l’on décomposait toutes les substitutions doubles en substitutions simples correspondantes, on auraït dix-

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huit termes au lieu de six que contient cette équation. Quant aux signes + et == dont nous avons fait usage, afin de resserrer la formule dans le moindre espace possible, il importe peu, pour les conclusions que nous allons en tirer, que l’on prenne le signe supérieur ou le signe inférieur; il est uüle cependant d'indiquer quel

APPLICATIONS A DES INTÉGRALES TRIPLES. 347 signe il faut prendre. Dans les trois premiers termes, qui n'ont chacun qu’un seul signe de substitution, le signe + se combine avec la limite supérieure, et le signe — avec la limite inférieure de la variable à laquelle se rapporte la substitution. Dans les trois derniers termes, renfermant chacun deux signes de substitution, on prendra : 1° sous le signe intégral, le signe +, lorsque les substitutions se rapporteront toutes deux aux limites supérieures ou toutes deux aux limites inférieures des variables, c'est-à-dire aux combinaisons Y1Z4, Yo Zos XiZ13 220 La Vis L2Ÿ23 le signe —, lorsque les substitutions se rapporteront l’une à une limite supérieure, l’autre à une limite inférieure, ou aux combinaisons y: 22, VaZis LaZos Le Zi, L1Y25 La V13 2° en dehors du signe intégral, le signe — ou le signe +, suivant que la première des subsuitutions, en lisant de gauche à droite, se rapporte à la limite supérieure ou à la limite inférieure de la variable qu’elle concerne.

Cette formule est identique au fond avec celle donnée par M. Sarrus, maïs la simplification apportée aux notations nOus a permis de réunir en six termes la variation ÔS, qui se compose chez M. Sarrus de trente expressions définies. La forme abrégée a en outre l’avantage de représenter par une seule expression tous les termes de même nature, dont la discussion se ferait de la même manière et donnerait lieu à des conséquences analogues.

478. Arrivons aux diverses conclusions que l’on peut urer de l'équation 98 — o, lorsque les limites sont entièrement indéterminées ou n’ont été l’objet d'aucune restriction.

On remarque d’abord que chaque terme qui contient en facteur la variation 97, laquelle représente soit dz,, sait À z,, selon le signe de substitution qui précède, four-

uit une équation distincte qui doit avoir lieu dans toute l’étendue de ce terme, à moins que cette étendue ne soit elle-même nulle. Ainsi le premier terme fournit l’équaion indéfinie

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