SA PÉATEMRENTE ARS EL, VAS PET

qui appartient avec le signe + aux arêtes A,C:, A,0;,

APPLICATIONS À DES INTÉGRALES TRIPLES. 349 avec le signe — aux arètes A,C;, A,C,. Elle exprime que les faces CG, et C, sont normales à l’axe de x le long des arêtes d'intersection, et que, par conséquent, ces faces se raccordent également avec les faces planes A, et A:, ou leur sont tangentes. Ajoutons que l'équation (3) fait disparaître identiquement le coeflicient de dx dans le cinquième terme.

La variation dy, qui tient la place de dy, ou de dy>, suivant la substitution qui l’affecte, ne dépendant plus que de la variable x, on la fera sortir des signes f'et | relatifs aux variables y et z, et l’on réunira tous les termes multipliés par dy, en deux groupes précédés l’un du signe

Lo TL, intégral Î , l’autre du signe de substitution | ; On égax, x} lera ensuite à zéro le coefficient de dy dans chacun de ces groupes. Or puisque l'équation (2) a fait disparaître le coeflicient de d y dans le quatrième terme, cette variation ne figure plus que dans le second et le sixième termes. Egalant à zéro le coefficient de dy dans le second terme,

non aura aux deux limites de y

PZe ( d ay!

| Re (dd eZ | F Vi Fr" #4 H

et en intégrant,

équation qui se rapporte avec le signe + à la face B:, avec le signe — à la face B.

Négligeant le second facteur, qui, égalé à zéro, donnerait un cylindre au rayon a, mais laisserait la valeur limite de z entièrement indéterminée, on devra avoir

24 21 = OV Bi 2 7,

pour chacune des faces cylindriques B, et B;; ces deux faces, par conséquent, se réduisent à zéro.

Cette relation en outre rend nul Le champ du sixième terme qui disparaît ainsi sans donner lieu à aucune équation.

Reste enfin le troisième terme relauf aux faces planes À, et À, et qui donne pour chacune de ces faces

LA 28 | ie dzdy —0 y Z

d'où il résulte que les faces planes A,, À, sont également nulles. En résumé le solide maximum est enveloppé en tous sens par les deux surfaces C, et C:, qui sont en réalité les deux nappes d’une même surface courbe, caractérisée par l'équation

fa TA

ee u =;

\ d’ailleurs, les équations (2} et (3) font voir que les deux à nappes sont perpendiculaires au plan xy, le long de leur é arête commune, d’où l’on conclura que les deux nappes se raccordent et se fondent l’une dans l’autre le long du contour commun ou font réellement une seule surface fermée, donc la courbure moyenne est constante et égale

à —. La sphère au rayon 2 a remplit ceite condition, et

l’on sait par d’autres considérations que la sphère est en effet la solution vraie et unique de notre problème. Mais pour arriver par le calcul des variations à exclure toute

autre solution, il faudrait prouver que la sphère est la seule surface fermée dont la courbure moyenne reste constante; or cette démonstration est restée Jusqu'ici audessus des forces de l’analyse.

Propcime XX VIIT.

179. Quelle doit étre la loi de la densité dans un corps dont la forme, la position et la masse sont connues, pour que, u exprimant la densité au point dont les coodonnées sont x, y, z, l'intégrale

x. “fe AORE jeta) + (TE) dard

soit un minimum ? Îl est d'arlleurs sous-entendu que cette intégrale est prise dans toute l'étendue du corps cherché. La masse du corps ayant pour expression ff fudzdydx,

on doit chercher le minimum absolu de l’intégrale

rx, w Za Fe 7 y ? ; < 4 ’ ° / ÉAe du CMP po I FUN D dy HART TT Le 7 à x, e Ji Z; V à da) a Fa a ‘ si d

. ° ° , Le 4 P lé , I le multiplicateur indéterminé étant représenté par ——. a

En faisant, pour abréger,

du du du

et l’on trouve l'équation indéfinie

7) ete r' d, £ d. 7 di I 0 m m (1) SÉREN QURS" Lee eee a dx dy az

qui détermine la loi générale de la densité.

Si l’on appelle &, B, y les angles compris entre la normale à la surface du corps et les axes des coordonnées, on aura en outre {n° 75) en chaque point de la surface

P cosa + Q cos B + R cosy = 0, ou

(2) p COS & + q COS G + r cos y — 0,

et c’est la condition unique à laquelle se réduisent les équations aux limites, lorsque les limites de l'intégrale, ou les surfaces limites du corps, sont données.

Parmi les intégrales particulières de l’équation (1), on remarquera la suivante

(3) (@—1}+(r—m}+(e— nr) +(u 4 = 9e

analogue aux équations du cercle et de la sphère. Pour qu’elle représentât la solution véritable du problème, il faudrait que la densité assignée à la limite du corps ou sur toute sa surface füt précisément celle que l’on déduirait de l'équation (3) résolue par rapport à uw. C’est ce qui aurait lieu si le corps en question était une sphère dont la densité u füt constante et donnée en chaque point de la surface, et l’on en conclurait qu'en ce cas l’équation (3) représenterait la loi de densité‘pour laquelle l'intégrale proposée deviendrait minimum.

ti À

£ RTL +