DEUXIÈME LECON

Règles de la différentiation des expressions définies, — Dérivées des expressions définies par substitution. —- Dérivées des intégrales définies. — Dérivées des expressions définies mixtes. — Intégration par parties des expressions définies mixtes. vs

8. Premier cas. — Expressions définies par substitution. — Supposons d’abord que V renferme les seules va= riables x et x, ou que l’on ait V— f(x, x); l'expression

| Ve x)

dépendra du seul paramètre #, et il s’agit de la différentier par rapport à lui. On aura évidemment

d fie df (2, æ) dffa, 2) dx.

d'a dx, dx

ARE TA) cn dV dr, æ) 1h dv

SE — MEET à) dy dx” dx, de

et, d’après la convention admise,

ês

ni

dx.

Fe A PERD NS dNV dx —— NE —— AR AE à à =] | (TR +T &)

On trouverait de même

D REUNS ENTAN EP N d'z TE ENT dde

donc

dx dx TEL = à Phi

et, en retranchant de cette équation la précédente,

ds ROME d dr mm" dx dx dx)

d CA ET a, c'est-à-dire que pour obtenir la dérivée de | V, | V, | Y, æ

par rapport à x, il suffira de diflérentier sous le signe de substitution comme si x était fonction de x.

Si V renferme les trois variables x, x, y, ou si l’on à

La [Ya V=f(:, x, y), et qu'on demande la dérivée de | V

: Li

Ya par rappori à x, on remplacera V par | V dans la dernière équation, qui deviendra

Fe OÙ mis DE af dits do NI Te — NS: Re UT va) dx dr | dr dx |

T AP T, , Yu

Lt

Cette même équation (1) donne d’ailleurs

AE 2 {dN dY dy 4 Med à Au LT ir ml br; A CA

d "7 Mae dNdy\.

def, 2), Va a ax);

en substituant ces valeurs, et considérant que le facteur

SE. dx LS dr 6 dr symbolique —;, tenant la place soit de —; soit de — 7 PTT P dr? da

ne dépend point de y, et qu'il est permis par conséquent

Ya de le faire passer sous le sine | , on arrive à l'équation }