V. par
dV #/4N ne dz ne par Ne mr, 9
dV /d4N : dN dz\ —— ar — — dy E? RAT da 4 :
À dt dy. dy et faisant passer les facteurs — , -—, -—, sous le nouveau dx dx dx
signe de substi iution / , Ce qui est permis, puisque les li- 3,
miles Li, os Vas Ve, elles-mêmes, et par suite leurs-déri-
vées, sont indépendantes de z ; on verra que l’ensemble des
termes affectés dans l'équation (2) des signes de substi
tutiont, auxquels s’est Joint le signe relauf à t, s’aécroit
du terme CAR ME @z |. dy VONT me) |
rie Me dy Vas EU
Le
EXPRESSIONS DÉFINIES. 19 et devient la dérivée totale de V prise par rapport à x», comme si chacune des variables x, x, y, z était fonction de celles qui la précèdent. Si l’on désigne cette dérivée
dN par == |» on aura donc
2 AN ALES CIN LE Aus ep av “ M AMIE X, CR £, TI DAS Z1
Le même raisonnement, apphqué successivement à un nombre de variables de plus en plus grand, conduirait évidemment à la formule générale
d Ta JA Z9 l, La Ja fZs {3 lV.
ENS TS dx x, Z; , rh Poe: 2x ki SH
dans laquelle É
| désigne wla dérivée totale de V
relative à x, prise comme si chacune des variables #4, Ÿ3 25°, t était fonction de toutes celles quila précèdent. La signification réelle de cette formule symbolique, après les explications données, n'a rien d’obscur.
* ES dN :
Quand on aura formé la dérivée totale | ; d on dé- ŒR
l, composera la substitution double | en deux substitu- A
ti EE | ANAL AN AE L'd de, 10nsS simples, On rEMPIACETA —» —+ ——9s — 95 Dar -s Fe P dx deltody". di EE
dt dt. de, née ù
— —) —..., dans tous les termes précédés du signe
drndÿ à dz F
, { TIRANT dE l | HIER
EL par — > —"s —, 2", ..., dans les termes précédés dd: dx dx dy, dz | J
du sigie | ; on fera ensuite pour les autres variables
, ne co .
SRI Vi LÉRQUE lon a fait pour {, et l’on arrivera à la valeur définiuve de la dérivée cherchée.
9. La démonstration rigoureuse de la formule générale (4) est d’ailleurs très-facile; il suflira, comme c’est la marche ordinaire en pareil cas, de prouver que si elle est vraie pour 2 — 1 variables, elle l’est encore pour n variables. Admettons, en effet, qu'elle est vraie. pour les variables x, y, z,:.., s; l’ensemble des termes affectés des substitutions relatives à ces variables sera
AN) UN. dr: dN dr! re , dV[ ds it daldano areas li oeil ax | PME ESS
» + , d 1# À dz S ds À À les dérivées totales À —=— |, | = |,..., | = | devant être dx dy d'y
prises comme si chacune des variables x, x, y, z,...,s était fonction de toutes celles qui la précèdent. Si pour introduire une nouvelle variable f, nous remplaçons V par
le | V, il faudra en même temps remplacer Û
eV: Fe At dx, PO MN as | dar)
PAU BON. dN dt Let e. DU DUR
dYV l Lee dY ) Se Par Fe Ù l,
dy dt dy
SU ee10 1e + jert plots les eo vs ENST eNeT
AN: LE UE LAN NIANEAQ | TONI MR ee ul l'ensemble des termes affectés des signes de substitution,
auxquels s’est joint le signe relatif à £, se sera accru du nouveau terme
aVNet , Waz 2 SON MP dé | ds |] dt (dr dx dr dy dx 8 ‘ds |
et deviendra précisément la dérivée totale de V par rap-
EXPRESSIONS DÉFINIES. 11 port à x, prise comme si chacune des variables x, Es 1 Z,.:., 8, t était fonction de toutes celles qui la précèdent. Donc si la formule est vraie pour #7 — 1 variables, elle le sera encore pour 7. Or elle est demontrée directement dans le cas de trois variables: donc elle subsistera quel que soit le nombre des variables affectées de substitutions.
10. Tout ce que nous venons de dire des expressions définies qui renferment un ou plusieurs signes de substitution double
s applique de même et sans aucun changement aux expressions dans lesquelles tous ces signes ou quelques-uns d’enire eux sont remplacés par des signes simples. On aura ainsi, par exemple,
d Fi Yi fZ in 22 Ji Ze f, dN CEE DS NO EN BI À
68 aN1, ; ou la dérivée symbolique + | étant formée d’après la même
loi de dépendance rétrograde entre les variables. Cette formule, à laquelle on parviendrait directement par des raisonnements analogues à ceux qui nous ont conduit à l'équation (4), est d’ailleurs assez évidente en elle-même pour qu’on puisse l'écrire immédiatement; car le seul fait des substitutions successives de t,, 51,..., 21. Vis LA établit entre les variables principales x, y, z,...,t, contenues dans la fonction V, une dépendance telle que chacune est essentiellement fonction de toutes celles qui la précèdent et de ». Évidente quand il s’agit de substitutions simples, cette formule ne le sera pas moins dans le cas de substitutions doubles, puisqu'une expression définie à substitutions doubles est, comme on l’a vu, la somme ou la AV. 2
da 2!
différence d'expressions définies à substitutions simples, et que la dérivée de la somme ou de la différence est égale à la somme ou à la différence des dérivées.
A1. Deuxième cas.— /ntégrales définies. — Pour trouver la dérivée de l'intégrale définie simple
Lo De [ V dx,
\ dans laquelle la fonction V ainsi que les limites x, et x, dépendent du paramètre x, donnons à ce paramètre un accroissement À 4, et désignons respectivement par AV, Axr,, Ax;, les accroïssements correspondants de V, Xi, x». L'accroissement de l'intégrale sera évidemment
Ts + AX Te as= f (VIH AV) AE f Var x, + AZ, «x
œe T, AE, | svar+ f (V + AV)dx cs Le
Tr, + Ar, = [ (V +AY dx.
Or, si les fonctions V et AV croissent par degrés insensibles et ne deviennent pas infinies entre les limites qe et x, + Ax;, le dernier terme est égal au produit de la différence entre les limites ou Ax; par une valeur moyenne de la fonction V + AV entre ces mêmes limites.
Désignons par | V +e, cette valeur moyenne, €, étant nécessairement une quantité qui disparaît avec A, ilen
X,-+AX, CE ‘à (V+AV)dr — Ax, “+ | Ver & 19
résulte
On aura de même, en admettant que Vet AV croissent
par degrés insensibles et ne deviennent pas infinies entre les limites x, et x, + A x,
MÉRITE La il (V+AV)dx —Axr, “+ | v).
Es
£, étant une nouvelle quantité qui s’évanouit avec Ax.On peut donc écrire
La T, T, as | AV dx +Ax,!| e, +] V | —Ax, “| Vi:
En divisant par A+ les deux membres de cette équation, et passant à la limite, on trouve
AN SAN dx; 4 dx, 12 NN el Url #7
ou simplement (5) ( a ee CRT
en faisant usage de la notation symbolique adoptée. Considérons maintenant l'intégrale double
Ta Ya “1 [ V dy dx, 5 4
TE
et cherchons sa dérivée par rapport à x, en supposant que lafoneuon V ainsi queles limites x,, x:, y:, y: dépendent de ce paramètre. Si, dans la formule (5) relative à l’in-
e tégrale simple, on remplace V par V dy, on trouve SE je d [va TE op da ie CEan ue a fie
2 TRS er le Re or Se , M 4 2 RU ed ‘@Ee SR de k 2 D 20 CALCUL DES VARIATIONS. b
Cette même formule (5) donne d’ailleurs
d 1. dy rs idy — mn — 0 —— DPI ES d LU dx
En introduisant cette valeur et faisant passer sous le signe
6 » ° \ dx “ Le ST intégral relatif à y le facteur 7.” Qui se trouve dans le ses = [4 % A cond terme, ce qui est permis puisque ce facteur symboli- % y» dx; dx, 0 a que, représentant = Où = est indépendant de la va-
riable y, on arrive à la formule
LEE dY ‘ (La [Ya dy x A dx + | V. == "dx d'y CA F4 + de L | F4 NU PTER:
