IV
De ; À nl. R ser dzdx dx
obtiendra
ANNUEL 1m Rodz = MY
et en iran sposant
PP D € 3, LM A n2:
2 2 2 ! 2 a 3 ; | | [ R ar . j J. Aou dx CAN Ar AT Ta dz dz dy 1 ( PQ dy æ) da
Sn 1
Fa f9s Pé/dR d.Ro dy — — & + ———-" | drdx.
dx dy cx ux, 547 Z;
Cette nouvelle équation réalise la transformation cherchée, puisque son premier membre est précisément l’expression donnée, et que dans le terme du second membre où entre encore la dérivée de w, cette dérivée est prise par
rapport à y, qui dans ce terme est une variable de substitution.
Prenons pour second exemple l'expression
l 4 ie 1 R — dzdy.
X, y, (#4 dy
Z2 En différentiant par rapport à y l'intégrale |. Ro dz,
Zi
nous aurons
d Fa PF 1 IR . 1 — Ro dz = (Re + Fe as + ROUE ay Zi Zi ay 448 / Z; 15
Mulüpliant par dy, intégrant entre les limites Vi EL Ve,
et transposant, il vient
F An, CAN | “1e R 7 dedy = + Î R «w dz — | Re y J'our 7 D NE a
et ce sera la transformation cherchée, quand on aura introduit dans les deux membres le signe de substitu-
T, tion | ; €
19. Cetie même marche qui conduit au but dans tous les cas, se traduit dans la règle suivante :
Lorqu'une expression définie contient en facteur la dérivée d’une fonction w relative à une variable d’intégration x, pour la ramener à une forme où les dérivées de w soient toutes relatives à des variables de substitution, 1° différentiez par rapport à x l'expression entière
soumise à l'intégration relative à cette variable, après avoir remplacé ee par w; 2° intégrez le résultat par Y dx ? P
rapport à x entre les limites x, et x;. L'équation à laquelle vous parviendrez ainsi, donnera, par une simple transposition des termes, la transformation cherchée. En effet, la différentiation relative à x, premier temps de l’opération, donne une équation dans laquelle tous les termes contiennent, sous les signes f et |, w en facteur, à l’exception du premier terme du second membre, qui renferme la dérivée totale relative à x d’un
certain produit Row; or cette EEE Es développée
se composera d’un premier terme RE ee et d’une série de SE
termes ne renfermant plus que des dérivées de w relatives
aux variables de substitution. L'intégration relative à x
entre les limites x, et x,, second temps de l'opération, do, « PR
ramènera le terme en R D be l'expression définie don- (4H 4
née, en laissant dans tous les autres termes des dérivées uniquement relatives aux variables de substitution; donc une simple transposition des termes donnera définitive. ment la transformation cherchée.
20. Comme application particulière, mais très-importante de cette règle, proposons-nous de transformer l’intégrale multiple
Xe [Ya Za d o J URSS 1, dzdydr, Œ; à AT de
de telle sorte que la fonction w n’y soit plus différentiée par rapport à une variable d'intégration. La dérivée relative à x de l'expression ff...Row...dzdy, esi en vertu
de la formule (8), p. 21,
Intégrant les deux membres par rapport à x entre les limites x; et x, après les avoir multipliés par dx, et transposant, on obtient la formule de transformation gé-
nérale des intégrales multiples :
; | 2 3 è do | | -..R -.. dzdydx | dx \ | x, Ji, 2, | CNMAN EE Z; =| | (l +. Ro...dzdy X VŸ, 2, ALL TT NZ dy s'M ss Ro—::.dzdx (c \ 4 D à D EXO dx 9) \ cr Ie 5" FAI EN E dz Er Ro —...dydx (2 4 7 Z;
Ces transformalions sont ce qu'on pourrait appeler l'intégration par parties des expressions définies, en raison de l’analogie qu'elles ont avec le procédé connu sous ce nom dans la théorie des intégrales simples, procédé qui n'est au fond qu’un cas très-particulier des transformations dont il vient d’être question.
21. Nous croyons utile, en terminant cette lecon, de réunir dans un même tableau les formules de réduction, au moyen de lintégration par parties, de toutes les expressions définies qui renferment au plus trois variables principales® Pour simplifier, nous dégageons de leurs limites les’ signes d'intégration et de substitution toujours doubles ; maïs chacun les rétablira sans peine, en se rappelant que les limites qui doivent affecter un quelconque de ces.signes sont celles de la variable qui lui correspond dans l’ordre des lettres, c'est-à-dire de la première variable pour le premier signe, de la seconde variable pour le second, etc.
(a). Expression définie relative à la‘ variable x :
(b). ue définies relatives aux variables x, y:
frge=Îlr- |] +R P)e+R Par,
dy dx dy dx
free] frs [Role | fode
(c). Expressions définies relatives aux variables x,
