TROISIÈME LECON

Définition de Ja variation d’une fonction. — Variation d’une fonction composée. — Variation d’une intégrale multiple. — Transformation de la variation d’une intégrale multiple, — Formule de M. Ostrogradsky. — Variation d’une expression définie quelconque.

22. Dans le calcul des variations, on considère certaines fonctions inconnues comme variables de forme, de sorte qu'elles puissent passer successivement d’une valeur à une autre, sans que les variables x, y, z,... dont elles dépendent, changent elles-mêmes de valeur. Il faut d’ailleurs que ce passage d’une forme à une autre, qu’on pourrait appeler déformation, se fasse d’une manière continue, et qu'on puisse, eu parlant d’une fonction donnée, arriver à une autre fonction quelconque.

Pêûr réaliser d’une manière nette et précise un semblable changement de forme , le mieux est d'introduire une nouvelle variable indépendante +, que nous appelons paramètre, afin de la distinguer. des variables XL, Yr Z,-.., Qui conservent le nom de variables principales. On regarde alors la fonction proposée w qui doit changer de forme, comme une valeur particulière d’une fonction plus générale U, laquelle, en plus des variables principales X, Y» 2,..., renferme le paramètre indéterminé x, de sorte qu’elle se réduise à u pour une certaine valeur’ xs de +, et qu'elle puisse en outre représenter une infinité d’autres fonctions de x, y,z,..., suivant les différentes valeurs qu'on attribue successivement au paramètre . Considérée dans toute sa généralité, cette fonction peut donc être différentiée par rapport à x; et les valeurs que prennent, lorsqu'on y fait 2 — %0, les dérivées par-