DÉFINITION DES VARIATIONS. A

tielles - dU ŒU ŒU

3 ——9 —— d'y VER dx

servent à caractériser le changement continu de forme de la fonction u; nous les appellerons variations de u du premier, du second, du troisième ordre, etc., ou simplement première, seconde, troisième, etc., variation

de u, et nous les désignerons respectivement par OI MOIUS MO ee

Ainsi du, ou la variation du premier ordre de la fonction u, est précisément la valeur que prend pour x = x, la

JC » . dU ñ . .

dérivée partielle ES de même la variation du second ordre

TEE | G ae d'u est la valeur de la dérivée Ts Pour x = %ç, et ainsi [4 pd

des autres. Ces variations doivent être regardées comme de nouvelles fonctions , entièrement arbitraires, des variables x, y, z,..., toutes les fois que le changement de forme de la foncuon u n’est assujetti, par la nature du problème, à aucune restriction particulière. En effet, on peut toujours assigner à Ü une forme telle, que ses dérivées partielles relatives à +, jusqu’à un ordre quelconque n, prennent pour z — x, telles valeurs qu'on voudra. Il suffit pour cela de définir U par l'équation suivante :

mt) (x — x)?

EH MEET p(æ, Jo UE le pme taene (er FINI), (x — 7%)" / \ e + RE TE Er, ANSE A M PE NN ct FR

dans laquelle F(x+, x, y, z,...)est choisie de manière à s’évanouir pour x —%5, et ®, Y,.:.,0 sont des fonctions quelconques. Nous admettons toutefois que ces dernières fonctions, et par suite les variations de « des différents

ordres, restent finies et continues entre les limites des variables que l’on considère.

23. La fonction uw venant à changer de forme, ses derivées prises par rapport aux variables x, y, 3,... deviennent de nouvelles fonctions, susceptibles à leur tour de changer de formes, et qu'on peut identifier avec les valeurs particulières que prennent pour x = x, les dérivées correspondantes de la fonction plus générale U. On trouvera donc la variation d’une dérivée quelconque de u, en différentiant par rapport à x la dérivée correspondante de Ü, et faisant ensuite x — 4,. Or, comme toutes les variables x, x, y, z,... sont indépendantes entre elles, le rang dans lequel on effectue les différentiations successives reste arbitraire ; il en résulte qu'on peut intervertir à volonté l’ordre des opérations indiquées par les caractéristiques d et d, de sorte qu'on a, par exemple,

4 dou SAR ado d'u ke

dx dx ; dy dy j dxdy 1: drdy”

et, en général, dp+i+r+ se 1 de+g+i+. ny

QE —Ù 2 ———— dxP dy1dz'... dx? dy1dz...

24. Considérons maintenant une fonction composée V qui renferme, d’une manière connue, plusieurs fonctions u, V,w,..., avec leurs dérivées successives, et concevons que ces dernières fonctions contiennent toutes un même paramètre arbitraire x, de manière qu'elles changent de forme lorsque ce paramètre change de valeur. Cela posé, V contiendra implicitement ce même paramètre x, ou sera fonction de #, et l’on trouvera sa variation en prenant sa dérivée partielle par rapport à x, d'après la règle ordinaire de la différentiation des foncuüons composées et faisant ensuite x — #9, Ce qui re-