La règle énoncée n° 52 revient à dire que, dans
l'expression de 92, ordonnée comme:elle doit l'être, on
peut regarder les variations et leurs-dérivées contenues
dans les diflérents termes comme.des quantités arbitraires
el indépendantes les unes des autres. Nous savons d'’ailleurs que les valeurs limites des variations et de leurs'dérivées sont liées aux variations des valeurs limites des
fonctions inconnues et de leurs dérivées par des relations simples et linéaires, d'où il suit qu'on pourrait encore regarder ces dernières variations comme arbitraires et indépendantes les unes des autres. Done, si l’on avait introduit, au moyen des relations dont il s’agit, les variations des valeurs limites, et qu’on eût ordonné 92 par rapport à elles, de manière que chaque terme renfermât l variation soit d’une inconnue, soit de la valeur limite d’une inconnue ou de sa dérivée prise toujours par rapport à une ou plusieurs variables de substitution, on trouverait encore les diverses conditions du maximum ou du minimum, en égalant à zéro le coefficient de la variation pour chaque terme séparément, Seulement si, par sa nature même, la variation était indépendante de certaines variables, on devrait la faire sortir des signes de substitution et d'intégration relatifs à ces variables, avant d'appliquer la règle. Cette règle pourrait d’ailleurs se déduire facilement du principe qu'on peut assujettir une fonction indéterminée u à conserver des valeurs fixes quelconques aux limites de certaines variables, tout en la faisant varier arbitrairement entre ces limites. Maïs nous croyons inule d’entrer dans les détails d’une nouvelle démonstra-. tion ; il nous suflira d’avoir donné cette indication d’une manière générale.
Pour faire disparaître ce qui semblerait peut-être un peu vague dans ces considérations abstraites, et pour établir en même temps des formules générales dont nous ferons plus tard des applications particulières, nous allons chercher successivement les conditions du maximum ou du minimum des intégrales simples, doubles et triples, en. discutant pour chacune d'elles les diverses restrictüons relatives aux limites qui peuvent se présenter.
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