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qui doivent leur existence aux termes (IT).
Telles sont les diverses conditions du maximum ou du minimum absolu de l'intégrale S. On satisfera aux équations (2) au moyen des 272 constantes arbitraires contenues dans la valeur générale de y, et ces constantes se trouveront ainsi déterminées ou exprimées en fonctions des limites x,, x2. Îl ne restera alors qu'à déterminer ces limites, et il semble au premier abord qu’on puisse le faire au moyen des deux dernières équations (3). Mais si lon considère plus attentivement la forme de ces équations, on verra que dans le cas actuel elles ne conduiraïent à aucun résultat utile. Eneffet, comme Îles équations (2), qui servent
MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 113 à l'élimination des 2 constantes arbitraires, forment deuxséries composées la première en x,, comme la seconde l’est en x, , ces deux limites entreront de la même manière dans la valeur définitive de y, qui sera nécessairement symétrique par rapport à Xi et Xa. Il en sera de même de la fonction V, d’où l’on conelura que si l’une des équations {3) prend la forme f(x; , x2) = o, l’autre sera f(X:, X1) — 0. Résolues tour à tour par rapport à x, et X:, ces deux équations donneraient donc la même valeur, ou x, —x,, ce qui rendrait l’intégrale S nulle quelle que füt la fonction y; et dès lors, évidemment, il ne pourrait plus être question ni de maximum, ni de minimum. C’est du reste à quoi l’on devait s'attendre; car si la fonction y et les limites x;, x: peuvent se déformer en même temps, sans être assuJeities à aucune restriction, il est clair que l'intégrale proposée pourra elle-même croître ou décroître indéfiniment, et qu'il n’y aura plus lieu à chercher sa valeur maxima ou minima. L'analyse et le raisonnement s'accordent donc à montrer que le problème n’aura de solution qu’autant que les valeurs limites de quelques-unes des quantités x, y, y',7”,..., y" se-
‘ront données ou assujetties à remplir certaines conditions.
Ces conditions ou restrictions relatives aux limites peuvent être très-diverses ou formulées de plusieurs manières ; le plus souvent elles rentrent dans l'une des hypothèses suivantes.
57. 1° Les limites de l'intégration x;, x, sont données. — En vertu de cette restriction, on a dx; — 0, dx, — 0; les termes (III) sont identiquement nuls et les équations (3) n’ont plus lieu. La solution du problème dépend alors de l'équation indéfinie (r}j,qui donne la valeur de y avec 2n constantes arbitraires, et des 27 équations aux limites (2) qui servent à déterminer ces constantes.
AS te
20 On a donné les limites x,, x, et en outre tes valeurs limites de quelques-unes des fonctions y, y, Vis YU, Par la même raison que dans l’hypothèse précédente, les équations (3) n'existent plus. Il résulte d’ailleurs des équations (2), n° 33, que dans le cas où dx, — 0x, = 0, les valeurs limites des variations
ddy d?0y
, TE dx dx?
coïncident respectivement avec les variations des valeurs limites de
lesquelles seront nulles, si ces valeurs limites doivent rester fixes. Or c’est ce que nous supposons avoir lieu pour
quelques-unes d’entre elles ; donc aussi les valeurs limites dd y
dx
de quelques-unes des variations dy, >: seront
nulles, ce qui fera disparaître un certain nombre des termes (Il) et celles des équations (2) qui leur correspondent. Mais ces équations seront remplacées par les conditions mêmes qui assignent à quelques-unes des fonctions y, 7',7/,:.., (79 des valeurs limites déterminées, conditions dont le nombre est toujours égal à celui des équations disparues. Ces conditions primitives, Jointes à celles des équations (2) qui restent, sufliront donc encore à déterminer les 272 constantes arbitraires.
Supposons, par exemple, qu'on ait donné ou rendu fixes la limite x, et les valeurs limites correspondantes de y, y', de sorte qu’on ait
x, x, \ DEEE 0; | N =,9 ; | V0,
ob aura en même temps
ra TL ‘ddr | DYIE | = = 0;
par suite les deux premiers termes (II) relatifs à x, sont
identiquement nuls et les deux premières équations (2) n'ont plus lieu ; maïs elles se trouvent remplacées de fait par les conditions de fixité des valeurs limites de y et de y’.
3° Les valeurs linutes de quelques-unes des fonctions Fr Y3N 3... VV sont fixes et données, sans que les limites x, x2, soient déterminées. — Supposons qu'on ait donné les valeurs de y, y’, y”,..., 77 correspondantes à la limite inférieure x,. Les variations de-ces valeurs fixes étant nulles, les relations (2) du n° 33 deviennent
L 13 7.4 X X 1 1 L ‘ddr 1 ; D
Xi a F4 | SAC POP
Si l’on substitue ces valeurs dans les 7 termes (II) relatifs à X1, ces termes ramenés à ne plus contenir que la variation dx, se réuniront au second terme (III) dans une seule expression définie
x, 21 [V—(P,)7'— (Pr) 7"—...—(P,)7@]02,, et ne fourniront plus qu'une seule équation
(4) | EM (RARAENC PE TE SNS (Pinto,
laquelle se Joindra aux z conditions de fixité pour rem-
placer les 7 premières équations (2) et la première équation (3).
Si l’on avait fixé seulement les valeurs limites inférieures de y, y’, les deux premières équations (2) et la première équation (3) seraient remplacées par l'équation unique
| EV— (Pi) —(P:)7"1=0,
3 laquelle on ajouterait les deux conditions qui assignent à y, y’ des valeurs limites déterminées.
4° Les valeurs limites de x, y, y’, y",..., y"-Msont liées entre elles par des relations Ne ant — Soit TL; (5) | fx, Je J' Vi ss A EE
une condition à ULQUE doivent satisfaire les valeurs limites de x, ÿ, Y',.-., 771), En prenant la variation et désignant, pour abréger, par f” la dérivée totale de f relative à x, où posant
df df df
mn AP D ma ee AE
on trouve (n° 30)
TX . "fdf df dd y df d"9y 6] (Por+ RE Te. OR ri ut
+ fl dx )=e équation dont on peut se servir pour éliminer des n+1 termes (II; et (EI) relatifs à x,, soit dx, soit la valeur
ddy dy, Dès
AE €) æ
limite de l’une des variations dy, es % (4 1 5
lors ces termes ne fourniront que 7 équations qui, jointes
MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 117 à la condition primitive (5), remplaceront les 7 premières équations (2) et la première équation (3).
Admettons, par exemple, qu'à la limite inférieure de l'intégrale, y doive coïncider avec une fonction connue f (x), de sorte que l’on ait
(7) tr te) = 0
el, par suite,
les deux termes
=) (P;) | Vox,
ne contiendront plus qu'une seule variation indépendante el s’uniront pour fournir une seule équation
(8) Liver l'(e)(P)}= 0,
laquelle, jointe à la condition (5), remplacera la première équation (2) et la première équation (3).
Quelles que soient les restrictions auxquelles on assujettisse les limites x,, xa et les valeurs limites de la fonction y et de ses dérivées y’, y”,..., 7-1), on a en général autant d'équations que d'inconnues, et à moins qu’il n'arrive par des suppositions particulières que ces équations deviennent équivalentes ou incompatibles, elles sufliront toujours pour déterminer la fonction y avec ses 2 n constantes arbitraires, et les limites x,, x, de l’intégrale.
99. Au lieu d'éliminer immédiatement une ou plusieurs variations, comme nous l'avons fait dans ce qui
précède, on pourrait tenir compte d’une restriction
= 0, dans laquelle U est fonction de
quelconque |
TL, Ÿs Ÿ's Y's-.., en introduisant un facteur indéterminé (n° 48), c’est-à-dire en cherchant le maximum ou le minimum absolu de la somme
La L, [ Var + al U.
ec’ 3% 1 1
Il faudrait alors ajouter à la variation déjà calculée de l'intégrale ou du premier terme, celle du second terme
A (au dU dd y | ô. + ES PAU 4 U 1 br td Le “ +U El
U’ étant la dérivée totale de U relative à x,
Ro ONE d'U Firdz dr” dy?
et égaler à zéro la somme des deux variations, ce qui donnerait : 1° la même équation indéfinie (P) — o qu'auparavant, 2° les équations aux limites
Si U ne renferme les dérivées de y que jusqu’à l’ordre r» — x inclusivement, ces équations aux limites seront en nombre 27 + 2, et sufliront généralement à déterminer
MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 119 les 272 constantes introduites par l'intégration, et les limiles Xi, X+. Quant à la nouvelle constante a, on en dis-
posera pour satisfaire à la condition | ÜU = o. Mais
lorsque l’ordre des dérivées de y, contenues dans U, excède 2— 1, on aura plus d'équations aux limites que de constantes à déterminer, et le problème ne serwplus possible, si ce n’est dans des cas exceptionnels et très-particuliers. Donc, en général, pour qu'uneintégraleS— f Vdx ait un maximum ou un minimum, il faut avant tout que les restrictions auxquelles on assujettit les valeurs limites de y et de ses dérivées successives, n’atteignent pas la deruière des dérivées contenues dans V, ni celles qui la
suivent.
99. Il est des cas où l’équation indéfinie (1) peut s’intégrer une ou plusieurs fois sans qu’on ait besoin de connaître ou de déterminer complétement la forme de Îa fonction V. Il suffit, en effet, de savoir qu'elle ne renferme pas la première, ou les deux premières, ou les trois premières, etc., des fonctions y, y’,y”,..., y!" pour qu'on puisse effectuer immédiatement une, deux, trois, etc., intégrations successives. Supposons, par exemple, que V ne renferme pas y, mais seulement ses dérivées y”, y”,..., 7. Puisque alors la dérivée partielle — P est nulle, équation (1) devenue
dPis4 42; d'P, ina RATS STARS
F4 dx dx?
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+ 2,51 \ . » 1e s intègre immédiatement et donne
