LE

qu'il faut rendre maximum, et la longueur de Parc qui doit rester constante, étant exprimées respectivement par les intégrales

1 rs æ}]de, Je pre dk;

le problème se réduira à chercher le maximum absolu de la somme

1 ir—f(x)—cyi+y" dr, ba

c étant une quantité constante, mais inconnue, dont on disposera à la fin du calcul dé manière que l’arc de courbe cherché ait la longueur requise. On aura

PR AE, a — C V=y—f(z)—cVi+y?, P=5, Die ct Vi+ y?

dP, ; ° la formule P — Tr —0 donnera successivement dP, LP 7 Pi zx—a, 5 Ce x ; JE en a LE AE

et, en intégrant,

() (a— 4) +(y—0)= ee.

équation d’un cercle qui est la ligne cherchée.

Puisque les extrémités de l'arc doivent se trouver sur la courbe donnée, les valeurs limites de x, # sont liées entre elles par les conditions cé #,

forcer tr raie

dont il faut tenir compte dans la recherche des équations aux limites. On trouve alors (n° 57, 4°) pour chacune des limites

V— [y —£/(e)}P = 0, ou (2) + y ()=0, équation qui exprime que les deux courbes sont normales l’une à l’autre aux points de leurs interseêtions.

Il en résulte, en particulier, que si la première courbe est une droite, la seconde, dont la longueur est donnée et qui circonscrit ayec la première la plus grande aire possible, sera une demi-circonférence.

Nous avons supposé, dans.ce qui précède, que les points extrèmes de l'arc cherché pouvaient se déplacer sur la courbe donnée y = f (x x). Si, au contraire, ces points étaient entièrement fixes, il n° y aurait plus d’équation aux limites, et les constantes a, b, c seraient déterminées par les condit que Parc de ele doit passer par les points fixes et avoir entre ces points une longueur donnée.

PROBLÈME Il. |

102. Entre deux points donnés, mener une courbe telle, que la surface engendrée par sa révolution autour d'un axe donné soit un minimum.

coURBES PLANES. 205 Si l’on prend l'axe de révolution pour axe des x, l’intégrale qu'il s’agit de rendre minimum est

La f YVi+y" dx.

zx es MS

On a donc ri ee NT ms. 12 Hat Va Y=r\i+rt, ERREUR —; Nip et la fonction y doit satisfaire à l'équation 8 6* PET P sea 1 — pre O0.

Or, comme V ne renferme pas explicitement la variable indépendante x, cette équation différentielle du second ordre s'intègre immédiatement une fois (n° 64) et donne

ou, en substituant les valeurs de V eide P,,

Y97 I ——— —= ( } , Vi + AE 2

a étant une constante arbitraire. Il en résulte

Ne RE ady Treo a NN VER

et, en intégrant de nouveau,

es

AL ,2 DDR ET,

b étant une nouvelle constante arbitraire. De cette dernière équation, on tire successivement

ee mn TT & + YHNS — a = ae x TN PrEEb

LE F y —N y: — a ='at 4 ;

et par suite

HAT, LD 7 hi.

(2) 6 He * j

équation d’une chaînette, qui est la courbe cherchée. Si l’on appelle directrice la droite par rapport à laquelle la chaînette a la propriété caractéristique d’avoir son rayon de courbure égal à la normale, on peut ajouter que la chaînette a pour directrice l'axe même de révolution Les limites de l’intégrale, ainsi que les valeurs limitess

Le

de y, étant fixes, il n’y a pas d'équations aux limites ; on disposera alors des constantes a et b, de manière à faire passer la chainette par les deux points donnés. Si ces points n'étaient pas fixes, mais seulement assujettis à se trouver sur deux courbes données, et que y = f(x) füt l'équation de l’une ou de l’autre de ces courbes, on aurait pour la limite correspondante

V— [y —f(x)]P, —o, ou 1+y'f(x) =0;

la chaînette devrait donc être normale à chacune des courbes limites,

103. Nous venons de dire que, lorsque les deux points extrèmes sont donnés, les constantes a, b doivent être déterminées par la condition même que la chaînette passe par ces points. Mais pour que cela soit possible, c’est-àdire pour-qu’on puisse Joindre les deux points donnés par une chaînette ayant pour directrice l’axe de révolution, la distance entre ces points ne doit pas excéder une cértaine limite qui dépend de leurs ordonnées ou de leurs distances à l’axe. Remarquons d’abord que si l’on prend pour origine des coordonnées le point de l’axe auquel correspond la plus petité ordonnée'y = a, on aura b—0;

Péquation de la chaînette prendra la forme plus simple

ne (er) nt à AA Q | a!

3e Ve

et l’on trouvera, en divisant par x,

éd e

L HAPCY # a