PROBLEME I

100. Trouver la ligne la plus courte entre deux points donnés.

La longueur d’une courbe, plane étant en général exprimée par l'intégrale

Lo 0 Vi+y®.dx, x,

il s agit de déterminer y en fonction de x de manière que cetté intégrale soit un minimum. En conservant les nOtations du numéro précédent, on a

V—Vi+ y”, PO}, D dr

(rer

# e e , . dP e et l'équation indéfinie P en — o devient VA dP,

a € A TEL P, — constante.

Il en résulte

et en intégrant (1) Y = ax + b,

équation d’une droite qui est la ligne cherchée. Les constantes arbitraires a et b seront déterminées par la condiion que la droite doit passer par les deux points donnés.

L'examen de la variation seconde (n° 97) montre que le minimum a réellement lieu, pourvu que les deux conditions suivantes soient remplies, à savoir : 1° que le

dy ] Ab ne prenne pas a même

valeur pour deux valeurs différentes de x, comprises entre les limites de l’intégration ; 2° que la dérivée par-

AE Ar rapport des deux dérivées = ; «a

| d?V SE tielle du second ordre Tr reste constamment posilive y 2

enire ces mêmes limites. Or, on à dans le cas actuel

dy da (AA RICE I

. 202 CALCUL DES VARIATIONS, valeurs qui satisfont évidemment aux conditions FE il s’agit. Donc la solution (1) correspond à un vrai minifoum de l'intégrale proposée.

Considérons maintenant quelques modifications du problème que nous venons de résoudre. -”

1° Si l’on ne fixe que les limites de x, en laissant indé; terminées les valeurs limites de y, ce qui revient à chercher la ligne la plus courte entre deux droites parallèles à l'axe des y, l'équation indéfinie (1) restera la même et l’on aura engputre

Pi D, OUR pEE 0,

pour les deux limites, ce qui prouve que la ligne minima est perpendiculaire aux deux droites parallèles.

2° Si l’on fixe, au contraire, les valeurs extrêmes de y, sans déterminer celles de x, c’est-à-dire si l’on cherche

la ligne la plus courte entre deux droites données parallèles à l'axe des x, l'équation

V ee P, pr” —= 0) qui alors aura lieu aux deux limites, donne

HErz

ét prouve ainsi que la ligne cherchée est encore perpen-

—QROU . JE RCS

diculaire aux deux droites données.

"3° Considérons enfin le cas plus général où les extrémités de la ligne cherchée sont seulement assujetties à se trouver sur deux courbes données. Soit Fes f(x) lé-

me: à à quation de l’une de ces courbes, par exemple de celle qui correspond à la limite inférieure, de sorte que la fonction 2 soit assu] ettie à priori à la restricüon

à Dire;

on aura pour la même limite la condition V—{y=f'(x)|P=0o;, où 1+y'f(x) —=0o,

et on en conclura que la ligne cherchée, qui est toujours une ligne droite, est normale à chacune des courbes limites données.

PROBLÈME Il.

101. Une courbe plane étant donnée, trouver une seconde courbe de longueur donnée et telle, que l’aire comprise entre les deux courbes soit un maximum.

Soit y — f (x) l'équation de la courbe donnée; l'aire